Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

Питання до класу:

1. Що називається електромагнітними коливаннями ?

2. Що називається коливальним контуром?

3. За якою формулою визначається енергія конденсатора ?

4. Чому дорівнює повна енергія електромагнітного контура ?

5. Як в коливальному контурі перетворюється енергія електричного поля?

6. Чому дорівнює енергія контура в довільний момент часу ?

7. У чому проявляється аналогія між електромагнітними коливаннями в контурі і коливаннями математичного маятника ?

8. Чому роль жорсткості пружини к в коливальному контурі виконує , а не С ?

9. Чому дорівнює швидкість зміни магнітної енергії в контурі ?

II. Виклад нового матеріалу.

Розглянемо коливальний контур, опором якого можна знехтувати (мал. 1) Рівняння, яке описує вільні електричні коливання в контурі, можна вивести із закону збереження енергії.

Повна електромагнітна енергія W контура

в будь-який момент часу дорівнює сумі енергій магнітного і електричного полів:

(1)

Ця енергія з часом не змінюється, якщо опір контура R = 0.

Похідна повної енергії т часом дорівнює нулю, оскільки енергія—величина стала. Отже, дорівнює нулю й сума похідних за часом від енергій магнітного і електричного полів:

(2)

або

(3)

Фізичний зміст рівняння (3) полягає в тому, що швидкість зміни енергії магнітного поля за модулем дорівнює швидкості зміни енергії електричного поля; знак „мінус” вказує па те, що коли енергія електричного поля збільшується, то енергія магнітного поля зменшується (і навпаки), Саме тому не змінюється повна енергія.

У рівнянні (3) візьмемо обидві похідні:

(4)

Але похідна заряду за часом—це сила струму а даний момент часу:

(5)

Тому рівняння (4) можна записати так:

(6)

Похідна сили струму за часом не що інше, як друга похідна заряду за часом, подібно до того як похідна швидкості (прискорення)—це друга похідна координати за часом . Підставивши у рівняння (6) і поділивши ліву й праву частини цього рівняння на Li, дістанемо основне рівняння, яке описує вільні електромагнітні коливання в контурі:

(7)

Друга похідна заряду за часом відповідно до рівняння (7) прямо пропорційна самому заряду і має протилежний до нього знак. Але ж як саме заряд залежить від часу?

Зрозуміло, він має змінюватися періодично. З курсу математики 11-го класу відомо, що функції синус і косинус мають властивість, за якою друга похідна синуса або косинуса пропорційна самим функціям, взятим з оберненим знаком. Математичний аналіз доводить, що ніякі інші функції такої властивості не мають. Усе це дає підставу твердити, що електричний заряд (або струм) під час вільних коливань змінюється в часі за законом синуса або косинуса.

Періодичні зміни фізичної величини залежно від часу, що відбуваються за законом синуса чи косинуса, називають гармонічними коливаннями.

Тіло на пружині або маятник також коливаються гармонічно, оскільки рівняння руху цих тіл математично еквівалентне рівнянню (7).

Важливою характеристикою будь-яких коливальних процесів є амплітуда. Амплітудою гармонічних коливань називають модуль найбільшого значення коливної величини. Це може бути модуль електричного заряду або іншої періодично змінної величини.

Амплітуда може мати різні значення залежно від того, який заряд мав конденсатор у початковий момент часу. Інакше, амплітуда визначається початковими умовами. Але максимальне значення модуля синуса чи косинуса дорівнює одиниці. Тому розв'язком рівняння (7) не може бути просто синус чи косинус. Цей розв'язок має бути добутком амплітуди q_m на синус або косинус.

Розв'яжемо рівняння, яке описує вільні коливання. Яку ж форму має розв'язок рівняння (7)? Не можна припускати, що або, бо замість рівняння (7) мали б рівність

Проте незначне доповнення розв'язання одразу приведе до мети. Щоб у виразі другої похідної був множник, запишемо розв'язання рівняння (7) так:

(8)

Тоді перша похідна матиме вигляд:

(9)

а друга похідна

(10)

Отже, ми маємо точно рівняння (7). Це означає, що функція (8) є розв'язком початкового рівняння (7). Зрозуміло, що розв'язком початкового рівняння буде також функція

(11)

Позначимо сталу величину , яка залежить від властивостей системи, через:

(12)

Тоді (8) можна записати компактніше:

(13)

А рівняння (7), яке описує вільні електромагнітні коливання, набуде вигляду:

(14)

Графік залежності заряду від часу відповідно до ( 13) — це косинусоїда (мал. 2).

З'ясуємо фізичний зміст величини .

Під час коливань значення заряду конденсатора періодично повторюються. Мінімальний інтервал часу Т через який процес повторюється повністю, називають періодом коливань.

Знаючи період, можна визначити частоту коливань, тобто кількість коливань за одиницю часу, наприклад за секунду. Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за 1 с визначається так:

(15)

Нагадаємо, що в Міжнародній системі одиниць (СІ) частота коливань дорівнює одиниці, коли за 1 с відбувається одне коливання. Одиниця частоти дістала назву герц (скорочено —Гц) на честь німецького фізика Генріха Герца.

Через інтервал часу, що дорівнює періоду T, тобто коли аргумент косинуса збільшиться на , значення заряду повторюється і косинус набуває попереднього значення. Але з курсу математики відомо, що найменший період косинуса дорівнює. Отже,

(16)

звідки

(17)

Виходить, що величина — це кількість коливань, але не за 1 с, а зас. Ця величина дістала назвуциклічної, або колової частоти.

Частоту вільних коливань називають власною частотою коливальної системи.

Розглянемо формулу Томсона. З'ясувалося, що коефіцієнт пропорційності у рівнянні (7) — це квадрат циклічної частоти коливань заряду:

(18)

Період вільних коливань у контурі

(19)

Формулу (19) називають формулою Томсона.

Збільшення періоду коливань внаслідок зростання L і C можна пояснити так: із збільшенням індуктивності струм повільніше зростає з часом і повільніше спадає до нуля. А чим більша ємність тим більше потрібно часу для перезарядження конденсатора.