Задачи 1-10

На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы P₁,P₂ и P₃. Размеры допустимых затрат которых ограничены соот­ветственно величинами , ,. Имеется матрица А=норм расхода ресурсов, в которой элемент, стоящий на пересеченииi-той строки и к-го столбца, равен количеству ресурса , расходуемого на единицу продукции. Цена единицы продукции равна ден. ед.

Требуется: составить математическую модель задачи, позволяющую найти сбалансированный по ресурсам план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход; симплекс методом найти оптимальный план выпуска продукции по видам.

№ 1

сырье	Продукция					Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3	П4
Р1 Р2 Р3	2 3 0	2 1 1	3 1 1	0 2 4	20 37 30
Цена, ден. ед.	11	6	9	6

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через Х=(х₁, х₂, х₃, х₄) – план производства, показывающий какие виды продукции и в каких количествах необходимо производить. Общая величина прибыли – это целевая функция, которую необходимо максимизировать

.

Так как – это расходi-го вида сырья (i=) на производство x_j единиц j-ой продукции (j=), то, просуммировав расход i-го ресурса на выпуск всех 4 видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить b_i единиц. Т. е. просмотрев таблицу по сторокам, получим систему ограничений на сырье

,

,

.

Чтобы искомый план был реален, наряду с ограничениями на сырье нужно наложить условие неотрицательности на объемы x_j выпуска продукции

Итак, математическая модель задачи о наилучшем использовании сырья:

,

,

.

, ,,.

Решим задачу симплекс методом. Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. Во 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 0; 20; 37; 30). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
	20	2	2	3	0	1	0	0	10
	37	3	1	1	2	0	1	0	12,3
	30	0	1	1	4	0	0	1	-
-F	0	-11	-6	-9	-6	0	0	0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы», из них выберем наименьшее – 10.

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	План
	10	1	1	3/2	0	1/2	0	0	-
	7	0	-2	-7/2	2	-3/2	1	0	3,5
	30	0	1	1	4	0	0	1	7,5
-F	110	0	5	15/2	-6	11/2	0	0

Полученный опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы», из них выберем наименьшее – 3,5.

Следовательно, 2-ая строка является ведущей. После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	План
	10	1	1	3/2	0	1/2	0	0	6,67
	7/2	0	-1	-7/4	1	-3/4	1/2	0	-
	16	0	5	8	0	3	-2	1	2
-F	131	0	-1	-3	0	1	3	0

Полученный опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы», из них выберем наименьшее – 2.

Следовательно, 3-ая строка является ведущей. После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	План
	7	1	1/16	0	0	-1/16	3/8	-3/16
	7	0	3/32	1	1	-3/32	1/16	7/32
	2	0	5/8	0	0	3/8	-1/4	1/8
-F	137	0	7/8	0	0	17/8	9/4	3/8

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (7; 0; 2; 7; 0; 0; 0).

Таким образом, продукцию 1 вида необходимо производить в количестве 7 ед., 2-го вида – не производить, 3-го вида – 2 ед., 4-го вида – 7 ед. Прибыль при этом составит 137 ден. ед.

Значения х₅=0, х₆=0, х₇=0 показывают остатки ресурсов соответственно 1-го, 2-го и 3-го вида при оптимальном плане производства. Таким образом, все виды сырья будут израсходовано полностью.

№ 2

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	2 1 3	3 4 4	4 5 2	150 180 120
Цена, ден. ед.	8	7	6

Решение.

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

Целевая функция Z(x) будет выражать доход от продажи изделий, равный (ден. ед.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами сырья. На производство изделий вида П₁ в количестве штук будет использованоед. сырья первого вида, а на производство изделий вида П₂ в объеме штук будет затраченоед. сырья первого вида, на производство изделий вида П₃ в объеме штук будет затраченоед. сырья первого вида. Поскольку запас сырья первого вида равен 150 ед., то расход этого виды сырья на изготовление продукции трех видов не может превышать этой величины. Получили первое ограничение.

Аналогично получим ограничение, связанное с запасом сырья второго вида: .

Ограничение, связанное с запасом сырья третьего вида: .

Учитывая условия не отрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую математическую модель задачи:

,

,

, ,.

Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃* переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющих линейным нера­венствам и доставляющих максимум линейной функции.

Приведем задачу к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

Решим полученную задачу симплекс методом.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 150; 180; 120). Составим начальную симплекс таблицу:

Базис	План
	150	2	3	4	1	0	0	75
	180	1	4	5	0	1	0	180
	120	3	4	2	0	0	1	40
-Z	0	-8	-7	-6	0	0	0

В Z-строке есть отрицательные элементы, поэтому делаем шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-8) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим.

Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 40 стоит в третьей строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	70	0	1/3	8/3	1	0	-2/3	26,25
	140	0	8/3	13/3	0	1	-1/3	32,3
	40	1	4/3	2/3	0	0	1/3	60
-Z	320	0	11/3	-2/3	0	0	8/3

В Z-строке есть отрицательный элемент, поэтому делаем шаг симплекс метода. Отрицательный элемент (-2/3) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 26,25 стоит в первой строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	105/4	0	1/8	1	3/8	0	-1/4
	105/4	0	17/8	0	-13/8	1	3/4
	45/2	1	5/4	0	-1/4	0	1/2
-Z	675/2	0	15/4	0	1/4	0	5/2

В Z-строке нет отрицательных элементов. Получен оптимальный план (45/2; 0; 105/4; 0; 105; 0).Максимальная прибыль Z()=675/2.

Основными переменными являются : ,и. Их значения=45/2,=0 и=105/4 показывают, что предприятию следует производить 45/2 штук изделий вида П₁ и 105/4 штук изделий вида П₃, изделия вида П₂ вообще не производить.

Дополнительные переменные =0,=105/4,=0 показывают, что останется 105/4 ед. сырья второго вида, сырье первого и третьего вида используется полностью.

№ 3

сырье	Продукция					Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3	П4
Р1 Р2 Р3	2 1 1	1 0 2	1 1 1	1 1 0	280 80 250
Цена, ден. ед.	4	3	6	7

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, - количество изделий вида П₄, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные ,,,должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 2 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 1 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 1 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₄ затрачивается 1 ед. сырья Р₁ тогда на х₄ изделий сырья Р₁ понадобится ед.

В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 280 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, ,,.

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 0; 280; 80; 250). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
	280	2	1	1	1	1	0	0	280
	80	1	0	1	1	0	1	0	80
	250	1	2	1	0	0	0	1	-
-F	0	-4	-3	-6	-7	0	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-7) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 80 стоит во второй строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	200	1	1	0	0	1	0	-1	200
	80	1	0	1	1	0	1	1	-
	250	1	2	1	0	0	0	0	125
-F	560	3	-3	1	0	0	0	7

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-3) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 125 стоит в третьей строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	75	0,5	0	-0,5	0	1	-1	-0,5
	80	1	0	1	1	0	1	0
	125	0,5	1	0,5	0	0	0	0,5
-F	935	4,5	0	2,5	0	0	7	1,5

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 125; 0; 80; 75; 0; 0).

Основные переменные =0,=125,=0,=80 показывают, что предприятию следует изготовить 125 изделий вида П₂, 80 изделия вида П₄, изделия вида П₁ и П₃ не изготавливать. Доход равен 935 ден. ед.

Дополнительные переменные =75,=0,=0 показывают, что останется 75 ед. сырья Р₁, сырье второго и третьего вида используются полностью.

№ 4

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	15 2 35	20 3 60	25 25 60	1200 150 3000
Цена, ден. ед.	300	250	450

Решение.

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

Целевая функция Z(x) будет выражать доход от продажи изделий, равный (ден. ед.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами сырья. На производство изделий вида П₁ в количестве штук будет использованоед. сырья первого вида, а на производство изделий вида П₂ в объеме штук будет затраченоед. сырья первого вида, на производство изделий вида П₃ в объеме штук будет затраченоед. сырья первого вида. Поскольку запас сырья первого вида равен 1200 ед., то расход этого виды сырья на изготовление продукции трех видов не может превышать этой величины. Получили первое ограничение.

Аналогично получим ограничение, связанное с запасом сырья второго вида: .

Ограничение, связанное с запасом сырья третьего вида: .

Учитывая условия не отрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую математическую модель задачи:

,

,

, ,.

Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃* переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющих линейным нера­венствам и доставляющих максимум линейной функции.

Приведем задачу к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

Решим полученную задачу симплекс методом.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 1200; 150; 3000). Составим начальную симплекс таблицу:

Базис	План
	1200	15	20	25	1	0	0	48
	150	2	3	25	0	1	0	6
	3000	35	60	60	0	0	1	50
-Z	0	-300	-250	-450	0	0	0

В Z-строке есть отрицательные элементы, поэтому делаем шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-450) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим.

Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 6 стоит во второй третьей строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	1050	13	17	0	1	-1	0	80,8
	6	2/25	3/25	1	0	1/25	0	75
	2640	151/5	264/5	0	0	12/5	1	87,4
-Z	2700	-264	-196	0	0	18	0

В Z-строке есть отрицательный элемент, поэтому делаем шаг симплекс метода. Отрицательный элемент (-264) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 75 стоит во второй строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	75	0	-5/2	-325/2	1	-15/2	0
	75	1	3/2	25/2	0	1/2	0
	375	0	15/2	-755/2	0	-35/2	1
-Z	22500	0	200	3300	0	150	0

В Z-строке нет отрицательных элементов. Получен оптимальный план (75; 0; 0; 75; 0; 375).Максимальная прибыль Z()=22500.

Основными переменными являются : ,и. Их значения=75,=0 и=0 показывают, что предприятию следует производить 75 штук изделий вида П₁, изделия вида П₂ и П₃ вообще не производить.

Дополнительные переменные =75,=0,=375 показывают, что останется 75 ед. сырья первого вида и 375 ед. сырья третьего вида, сырье второго вида используется полностью.

№ 5

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	10 1 5	20 1 6	23 1 6	600 30 144
Цена, ден. ед.	35	60	63

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные ,,должны удовлетворять ограничениям связанным с ресурсами.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 10 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 20 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 23 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 600 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃ .

Так как выпуск продукции не может быть отрицательным, то переменные должны быть неотрицательными.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, ,.

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 600; 30; 144). Составим симплекс таблицу.

Базис	план
	600	10	20	23	1	0	0	26,09
	30	1	1	1	0	1	0	30
	144	5	6	6	0	0	1	24
-F	0	-35	-60	-63	0	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-63) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 24 стоит в третьей строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	план
	48	-55/6	-3	0	1	0	-23/6
	6	1/6	0	0	0	1	-1/6
	24	5/6	1	1	0	0	1/6
-F	1512	35/2=17,5	3	0	0	0	21/2=10,5

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 0; 24; 48; 6; 0).

Основные переменные =0,=0,=24 показывают, что предприятию следует изготовить 24 изделия вида П₃, изделия вида П₁ и П₂ не изготавливать. Доход равен 1512 ден. ед.

Дополнительные переменные =48,=6,=0 показывают, что останется 48 ед. сырья Р₁ и 6 ед. сырья Р₂, сырье третьего вида используется полностью.

№ 6

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	5 5 2	7 2 1	4 1 1	24 10 6
Цена, ден. ед.	18	12	8

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Допустим предприятие намерено изготовить - изделий вида П₁, - изделий вида П₂, - изделий вида П₃.

Учитывая цену каждого изделия предприятие получит прибыль от продажи выпущенных изделий: .

Но выпуск изделий ограничен запасы сырья, переменные ,,должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 5 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 7 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 4 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На предприятии имеется только 24 ед. сырья Р₁, имеем первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Учтем, условие неотрицательности на переменные, так как выпуск изделий не может быть отрицательным.

Получена экономико-математическая модель задачи:

,

,

,

, ,.

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 24; 10; 6).

Составим симплекс таблицу.

Базис	План
	24	5	7	4	1	0	0	4,8
	10	5	2	1	0	1	0	2
	6	2	1	1	0	0	1	3
-F	0	-18	-12	-8	0	0	0

Просматриваем последнюю оценочную строку. В этой строке есть отрицательные элементы: -18, -12, -8. План не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-18) показывает, что столбец - разрешающий. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 2 стоит во второй строке и соответствует переменной- разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	14	0	5	3	1	-1	0	2,8
	2	1	2/5	1/5	0	1/5	0	5
	2	0	1/5	3/5	0	-2/5	1	10
-F	36	0	-24/5	-22/5	0	18/5	0

В последней оценочной строке снова есть отрицательные элементы. Полученный план не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-24/5) показывает, что столбец является разрешающим. Наименьшее из симплекс – отношений, число 2,8 стоит в первой строке и соответствует переменной- разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	14/5	0	1	3/5	1/5	-1/5	0	4,67
	22/25	1	0	-1/25	-2/25	7/25	0	-
	36/25	0	0	12/25	-1/25	-9/25	1	3
-F	1236/25	0	0	-38/25	24/25	66/25	0

В последней оценочной строке снова есть отрицательные элементы. Полученный план не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-38/25) показывает, что столбец является разрешающим. Наименьшее из симплекс – отношений, число 3 стоит в третьей строке и соответствует переменной- разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	1	0	1	0	1/4	1/4	-5/4
	1	1	0	0	-1/12	1/4	1/12
	3	0	0	1	-1/12	-3/4	25/12
-F	54	0	0	0	5/6	3/2	19/6

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (1; 1; 3; 0; 0; 0).

Основные переменные =1,=1,=3 показывают, что предприятию следует изготовить 1 изделие вида П₁, 1 изделие вида П₂, 3 изделия вида П₃. Доход равен 54 ден. ед.

Дополнительные переменные =0,=0,=0 показывают, что все ресурсы будут израсходованы полностью.

№ 7

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	2 0 0	1 2 1	0 1 0	500 550 200
Цена, ден. ед.	3	4	1

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Допустим предприятие намерено изготовить - изделий вида П₁, - изделий вида П₂, - изделий вида П₃.

Учитывая цену каждого изделия предприятие получит прибыль от продажи выпущенных изделий: .

Но выпуск изделий ограничен запасы сырья, переменные ,,должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 2 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 1 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 0 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится 0 ед. На предприятии имеется только 500 ед. сырья Р₁, имеем первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Учтем, условие неотрицательности на переменные, так как выпуск изделий не может быть отрицательным.

Получена экономико-математическая модель задачи:

,

,

,

, ,.

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 500; 550; 200).

Составим симплекс таблицу.

Базис	План
	500	2	1	0	1	0	0	500
	550	0	2	1	0	1	0	275
	200	0	1	0	0	0	1	200
-F	0	-3	-4	-1	0	0	0

Просматриваем последнюю оценочную строку. В этой строке есть отрицательные элементы: -3, -4, -1. План не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-4) показывает, что столбец - разрешающий. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 200 стоит в третьей строке и соответствует переменной- разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	300	2	0	0	1	0	-1	150
	150	0	0	1	0	1	-2	-
	200	0	1	0	0	0	1	-
-F	800	-3	0	-1	0	0	4

В последней оценочной строке снова есть отрицательные элементы. Полученный план не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-3) показывает, что столбец является разрешающим. Наименьшее из симплекс – отношений, число 150 стоит в первой строке и соответствует переменной- разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	150	1	0	0	1/2	0	-1/2	-
	150	0	0	1	0	1	-2	150
	200	0	1	0	0	0	1	-
-F	1250	0	0	-1	3/2	0	5/2

В последней оценочной строке снова есть отрицательные элементы. Полученный план не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-1) показывает, что столбец является разрешающим. Наименьшее из симплекс – отношений, число 150 стоит во второй строке и соответствует переменной- разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	150	1	0	0	1/2	0	-1/2
	150	0	0	1	0	1	-2
	200	0	1	0	0	0	1
-F	1400	0	0	0	3/2	1	1/2

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (150; 200; 150; 0; 0; 0).

Основные переменные =150,=200,=150 показывают, что предприятию следует изготовить 150 изделие вида П₁, 200 изделие вида П₂, 150 изделия вида П₃. Доход равен 1400 ден. ед.

Дополнительные переменные =0,=0,=0 показывают, что все ресурсы будут израсходованы полностью.

№ 8

сырье	Продукция					Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3	П4
Р1 Р2 Р3	2,5 4 8	2,5 10 7	2 4 4	1,5 6 10	100 260 370
Цена, ден. ед.	40	50	100	80

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, - количество изделий вида П₄, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные ,,,должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 2,5 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 2,5 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 2 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₄ затрачивается 1,5 ед. сырья Р₁ тогда на х₄ изделий сырья Р₁ понадобится ед.

В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 100 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, ,,.

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 0; 100; 260; 370). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
	100	2,5	2,5	2	1,5	1	0	0	50
	260	4	10	4	6	0	1	0	65
	370	8	7	4	10	0	0	1	92,5
-F	0	-40	-50	-100	-80	0	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-100) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 50 стоит в первой строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	50	5/4	5/4	1	3/4	1/2	0	0	66,6
	60	-1	5	0	3	-2	1	0	20
	170	3	2	0	7	-2	0	1	24,2
-F	5000	85	75	0	-5	50	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-5) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 20 стоит во второй строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	35	3/2	0	1	0	1	-1/4	0
	20	-1/3	5/3	0	1	-2/3	1/3	0
	30	16/3	-29/3	0	0	8/3	-7/3	1
-F	5100	250/3	250/3	0	0	140/3	5/3	0

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 0; 35; 20; 0; 0; 30).

Основные переменные =0,=0,=35,=20 показывают, что предприятию следует изготовить 35 изделий вида П₃, 20 изделия вида П₄, изделия вида П₁ и П₂ не изготавливать. Доход равен 5100 ден. ед.

Дополнительные переменные =0,=0,=30 показывают, что останется 30 ед. сырья Р₃, сырье первого и второго вида используются полностью.

№ 9

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	18 6 5	15 4 3	12 8 3	360 192 180
Цена, ден. ед.	9	10	16

Решение.

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

Целевая функция Z(x) будет выражать доход от продажи изделий, равный (ден. ед.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами сырья. На производство изделий вида П₁ в количестве штук будет использованоед. сырья первого вида, а на производство изделий вида П₂ в объеме штук будет затраченоед. сырья первого вида, на производство изделий вида П₃ в объеме штук будет затраченоед. сырья первого вида. Поскольку запас сырья первого вида равен 360 ед., то расход этого виды сырья на изготовление продукции трех видов не может превышать этой величины. Получили первое ограничение.

Аналогично получим ограничение, связанное с запасом сырья второго вида: .

Ограничение, связанное с запасом сырья третьего вида: .

Учитывая условия не отрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую математическую модель задачи:

,

,

, ,.

Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃* переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющих линейным нера­венствам и доставляющих максимум линейной функции.

Приведем задачу к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

Решим полученную задачу симплекс методом.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 360; 192; 180). Составим начальную симплекс таблицу:

Базис	План
	360	18	15	12	1	0	0	30
	192	6	4	8	0	1	0	24
	180	5	3	3	0	0	1	60
-Z	0	-9	-10	-16	0	0	0

В Z-строке есть отрицательные элементы, поэтому делаем шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-16) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим.

Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 24 стоит во второй строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	72	9	9	0	1	-3/2	0	8
	24	3/4	1/2	1	0	1/8	0	48
	108	11/4	3/2	0	0	-3/8	1	72
-Z	384	3	-2	0	0	2	0

В Z-строке есть отрицательный элемент, поэтому делаем шаг симплекс метода. Отрицательный элемент (-2) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 8 стоит в первой строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	8	1	1	0	1/9	-1/6	0
	20	1/4	0	1	-1/18	5/24	0
	96	5/4	0	0	-1/6	-1/8	1
-Z	400	5	0	0	2/9	5/3	0

В Z-строке нет отрицательных элементов. Получен оптимальный план (0; 8; 20; 0; 0; 96).Максимальная прибыль Z()=400.

Основными переменными являются : ,и. Их значения=0,=8 и=20 показывают, что предприятию следует производить 8 штук изделий вида П₂ и 20 штук изделий вида П₃, изделия вида П₁ вообще не производить.

Дополнительные переменные =0,=0,=96 показывают, что останется 96 ед. сырья третьего вида, сырье первого и второго вида используется полностью.

№ 10

сырье	Продукция			Запасы сырья, ед
	П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3	4 3 1	2 1 2	1 3 5	180 210 244
Цена, ден. ед.	10	14	12

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные ,,должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 4 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 2 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 1 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 180 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, ,.

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: ,,.

,

,

,

Переменные ,,- означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 180; 210; 244). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
	180	4	2	1	1	0	0	90
	210	3	1	3	0	1	0	210
	244	1	2	5	0	0	1	122
-F	0	-10	-14	-12	0	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-14) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 90 стоит в первой строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	90	2	1	1/2	1/2	0	0	180
	120	1	0	5/2	-1/2	1	0	48
	64	-3	0	4	-1	0	1	16
-F	1260	18	0	-5	7	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-5) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбецявляется разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 16 стоит в третьей строке и соответствует переменной, эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строкаявляется разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	82	19/8	1	0	5/8	0	-1/8
	80	23/8	0	0	1/8	1	-5/8
	16	-3/4	0	1	-1/4	0	1/4
-F	1340	57/4	0	0	23/4	0	5/4

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 82; 16; 0; 80; 0).

Основные переменные =0,=82,=16 показывают, что предприятию следует изготовить 82 изделия вида П₂, 16 изделий вида П₃, изделия вида П₁ не изготавливать. Доход равен 1340 ден. ед.

Дополнительные переменные =0,=80,=0 показывают, что останется 80 ед. сырья Р₂, сырье первого и третьего вида используются полностью.