4. Интегральное исчисление

3. Неопределенный интеграл.

   1. Найти интегралы:

а) ; б); д).

4. Несобственные интегралы.

   1. Вычислить интеграл или установить его расходимость:

5. Применения определенных интегралов.

   1. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

2. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

5. Функции нескольких переменных

6. Частные производные и дифференциал функции.

   1. Найти частные производные ,,функции .

   2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

7. Приложения частных производных.

   1. Для функции в точкенайти градиент и производную по направлению.

   2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 4x² + y² – 4mx – 2ny + m² + n² в области заданной неравенствами:

x ≥ 0; nx – my 0; x+ y – m – n 0

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы

8. Двойные интегралы.

   1. Изменить порядок интегрирования:

.

2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точкии.

3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

3.9. Тройные интегралы.

1. Найти , если телоV ограниченно плоскостями и.

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

1. Криволинейные интегралы.

   1. Вычислить , где,, а контурС образован линиями ,: а) непосредственно; б) по формуле Грина.

   2. Вычислить , где контурС является одним витком винтовой линии:

.

7. Элементы теории поля

10. Дифференциальные операции.

    1. В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

2. Найти в точке градиент скалярного поля

.

3. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

4. Найти в точке ротор векторного поля

.

11. Интегралы и интегральные теоремы.

    1. Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

    2. Даны поле и цилиндрD, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

3. Даны поле и замкнутый виток, (обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контураγ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

8. Дифференциальные уравнения

12. Уравнения первого порядка.

    1. Найти общее решение уравнения:

а) ; в).

1. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляламиллионов рублей.

1. Линейные уравнения высших порядков.

   1. Решить задачу Коши:

а)

б)

14. Системы линейных уравнений.

    1. Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями .