- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
- •Математика
- •Оглавление
- •ВВеДение
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •1. Линейная алгебра
- •4. Интегральное исчисление
- •8. Дифференциальные уравнения
- •9. Ряды
- •10. Функции комплексного переменного
- •11. Операционное исчисление
- •12. Теория вероятностей
- •13. Элементы математической статистики
- •14. Линейное программирование
- •15. Математические методы в экономике
- •16. Дискретная математика
- •Краткое содержание (программа) курса
- •1. Линейная алгебра.
- •2. Аналитичеcкая геометрия.
- •3. Дифференциальное исчисление.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Функции нескольких переменных.
- •6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.
- •7. Элементы теории поля.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы.
- •9. Ряды.
- •10. Функции комплексного переменного.
- •11. Операционное исчисление.
- •12. Теория вероятностей.
- •13. Математическая статистика.
- •14. Линейное программирование.
- •15. Математические методы в экономике.
- •16. Дискретная математика.
- •Список учебной литературы
- •Математика
- •191015, Г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7
9. Ряды
Числовые ряды.
Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:
а) ; б);
в) ; г).
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:
а) ; б).
Степенные ряды.
Найти область сходимости степенного ряда:
а) ; б).
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0:
а) ; б).
С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:
а) ; б).
Ряды Фурье.
Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:
а)
в интервале ;
б) в интервале.
в) в интервале.
10. Функции комплексного переменного
Действия с комплексными числами.
Выполнить действия:
а) ; б).
Решить уравнения:
а) ; б).
Аналитические функции.
Показать, что функция аналитична.
Известна вещественная часть u(x,y)=m(x2-y2)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).
Интегрирование функций комплексного переменного.
Вычислить , где контурС – незамкнутая ломанная, соединяющая точки ,и.
Вычислить с помощью интегральной формулы Коши
.
Ряды Тейлора и Лорана.
Разложить функцию в окрестности точкив ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.
Разложить функцию в окрестности точкив ряд Лорана.
Разложить функцию в ряд Лорана по степенями найти область сходимости ряда.
Вычеты и их приложения.
Определить тип особых точек функции и найти вычеты в конечных особых точках.
Вычислить с помощью вычетов , где контурC, заданный уравнением , обходится против часовой стрелки.
11. Операционное исчисление
Нахождение изображений и восстановление оригиналов.
Найти изображения функций:
а) ; б).
Восстановить оригиналы по изображениям:
а) ; б).
Приложения операционного исчисления.
Решить операционным методом дифференциальное уравнение:
а) ;
б) .
12. Теория вероятностей
Случайные события.
В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.
В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производитсяn+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.
Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,1(m + n) и за кандидата В – с вероятностью 1–0,1(m + n). Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000 избирателей) один из кандидатов опередит другого:
а) ровно на 1900 голосов;
б) не менее, чем на 1900 голосов.
Случайные величины.
Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).
Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
xi |
-2 |
-1 |
0 |
m |
m+n |
pi |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
p4 |
p5 |
Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.
Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
Найти:
а) параметр а; б) функцию распределения ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал
;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
Построить график функций и.
Случайные величины имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожиданияMξi=m+n, а дисперсия Dξ1=n2/3. Найти вероятности: а) ; б); в).