Метод вузлових напруг

Метод вузлових напруг ( рисунки 6.7, 6.8) застосовують для визначення струмів у вітках схеми, використовуючи закони Ома та Кірхгофа.

Приклад 1 Визначити струми у вітках схеми, якщо відомо:

R1 = 5 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 4 Ом; R4 = 10 Ом; R5 = 5 Ом; E1 = 20 В; E2 = 40 В; J1 = 2 А. Розв’язок:

У якості базового вузла виберемо, наприклад, вузол 3 і його потенціал прирівняємо до нуля. Невідомими будуть потенціали вузлів 1 та 2 (напруги U13, U23).

1 Розраховуємо власні і взаємні провідності:

G11 = 1/ R4 + 1/ R1 + 1/ R5 = 1/10 + 1/5 + 1/5 = 0,5 см;

G22 = 1/ R4 + 1/ R1 + 1/ R2 + 1/R3 = 1/10 + 1/5 + 1/20 + 1/4 = 0,6 см.

G12 = G21 = – (G1 + G4 ) = – (1/R1 + 1/R4 ) = 1/5 + 1/10 = – 0,3 см.

2 Розраховуємо вузлові струми:

J11 = J1 + Е1 G1 = J1 + Е1( 1/R1) = 2 + 20× 1/5 = 6 А;

J22 = – Е1G1 – Е2 G2 = – Е1(1/R1) – Е2 (1/R2) = – 4 – 2 = – 6 А.

3 Записуємо систему рівнянь:

U13 G11 – U23 G12 = J11; U23 G22 – U13 G21 = J22 ;

U13 0,5 – U23 0,3 = 6; U23 0,6 – U13 0,3 = – 6.

4 Розв’язавши систему рівнянь, одержуємо: числові значення вузлових напруг U13 = 8,57 В; U23 = – 5,71 В.

5 Розраховуємо струми у вітках, попередньо вибравши ( довільно )

їх умовний додатний напрям:

І1 = (Е1 – U13 + U23) G1 = ( 20 – 8,57 – 5,71 ) / 5 = 1,144 А;

І2 = (Е2 + U23) G 2 = ( 40 – 5,71 ) / 20 = 1,715 А;

І4 = (U13 – U23 ) G 4 = ( 8,57 + 5,71 ) / 10 = 1,428 А;

І3 = – U23 G 3 = 5,71 / 4 = 1,43 А; І5 = U13 G1 = 8,57 / 5 = 1,714 А. 7 Перевірка : І5 + І2 = J1 + І3 ; 1,714 + 1,715= 2 + 1,43, або 3,43 = 3,43

МЕТОД НАКЛАДАННЯ

Розрахунок електричних кіл постійного струму методом накладання ( рисунок 6.9) застосовують, коли у колі два або більше джерел електричної енергії у різних вітках. Струм у k-й вітці складної електричної схеми дорівнює алгебраїчній сумі часткових струмів у цій вітці від кожної із ЕРС зокрема. Для знаходження часткових струмів із електричного кола почергово вилучають всі джерела електричної енергії, крім одного. Схема із складної перетворюється у просту і її розрахунок спрощується. Так поступають стільки разів, скільки у схемі є джерел електричної енергії.

Приклад 1 Дано електричне коло з параметрами елементів: Е1 = 10 В; Е2 = 20 В; R1 = 2,5 Ом; R2 = R3 = 5 Ом; R4 = 3 Ом; R5 = 2 Ом. Необхідно визначити струми увітках електричної схеми (рисунок 6.10).

Рисунок 6.10 Рисунок 6.11 Рисунок 6.12

Розв’язок:

1 Визначаємо часткові струми І1', І2', І3' іеквівалентний опір Rе', вилучивши із схеми джерело з електрорушійною силою Е2 (рисунок 6.11):

І1' = Е1 / R' екв = 10 / 10 = 1 А; U 245 = І1' × R245 = 1 × 2,5 = 2,5 В;

І2'' = U245 / R2 = 2,5 / 5 = 0,5 А; І3 ' = U245 /(R4+ R5) = 2,5 / 5 = 0,5 А.

2 Визначаємо часткові струми І1", І2", І3" і еквівалентний опір Rе", вилучивши із схеми джерело з електрорушійною силою Е1 (рисунок 6.12):

І2" = Е2 / Rе = 20 / 8 = 2,5 А; U1345 = І2" × R1345 = 2,5 × 3 = 7,5 В;

І1" = U245 / R13 = 7,5 / 7,5 = 1 А; І3" = U245 / R45 = 7,5 / 5 = 1,5 А.

3 Задаємо довільно напрямки струмів І1, І2, І3 (рисунок 6.10) і визначаємо їх значення, як алгебраїчну суму часткових струмів І1', І2', І3' і І1", І2", І 3".

І1 =І1' – І1" = 1 – 1 = 0 А;І2 = –І2 ' + І2" = – 0,5 + 2,5 = 2 А;

І3 = І3' + І3" = 0,5 + 1,5 = 2 А.

СтрумиІ1", І2' ( рисунок 6.11, 6.12 ) взяті із знаком „ – „ , так як їхні напрямки не співпадають із напрямками струмів І1, І2 ( рисунок 6.10).