КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 1 часть

pi - полное напряжение, Па, кПа, МПа;

dPi – элементарная сила [кН], действующая в элементарной площадке поперечного сечения dFi, [м2].

Разложим вектор полного напряжения на две составляющие (рис. 1.3): нормальное напряжение σi, направленное перпендикулярно рассматриваемому сечению, и касательное напряжение τi, расположенное в плоскости рассматриваемого сечения.

τi

pi

σi

dFi

Рис. 1.3 - Напряжения в элементарной площадке dFi (в точке)

Общее условие прочности материала в сечении:
σmax ≤ [σ];	(1.2)
τmax ≤ [τ],	(1.3)

σmax - максимальное расcчетное нормальное напряжение в сечении, МПа; τmax - максимальное расcчетное касательное напряжение в сечении, МПа; [σ], [τ] - допускаемые нормальное и касательное напряжения для данного

материала, МПа.

1.4 Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Рассмотрим элементарную площадку dF поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке нормальным σ и касательным τ напряжениями (рис. 1.4). Разложим напряжения τ на составляющие τx и τy,

11

параллельные соответственно осям x, y. На площадку dF действуют элементарные силы dN, dQx, dQy, параллельные соответственно осям z, x, y. Элементарные силы создают относительно осей x, y, z элементарные моменты

dMx, dMy, dMz.	dQy
	τxy
y	τy	pi
		dQx
dF		τx dN
		x
	σ
Qy	Qx
y		z
	x	N

F

Рис. 1.4 - Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Выразим элементарные силы и элементарные моменты через напряжения, а затем их просуммируем (проинтегрируем):

Pi - полное напряжение

Элементарные внутренние	Суммарные внутренние
усилия в произвольной точке	усилия в сечении:
сечения:
dN = σ × dF ;	N = ∫σ × dF
	F
dQ y = τ y × dF ;	Q y = ∫τ y × dF
	F
dQx = τ x × dF ;	Qx = ∫τ x × dF
	F

12

dM z = τ y × dF × x -τ x × dF × y ;	M z = ∫τ y × x × dF - ∫τ x × y × dF
	F
dM y = -σ × x × dF ;	M y = -∫σ × x × dF
	F
dM x = σ × y × dF ;	M x = ∫σ × y × dF
	F

1.5 Деформации и перемещения

Деформация - это изменение формы или размеров тела под действием нагрузок (рис. 1.5).

Деформации можно разделить на два вида: линейные и угловые. Линейные деформации – это изменение (удлинение или укорочение)

линейных размеров детали или элемента, вызванное нормальными напряжениями.

Угловые деформации – это искажения прямых углов, связанные со

сдвигом (вызываются касательными напряжениями).
На рис. 1.5 показаны деформации и перемещения элемента тела:
А, В, С –	положение точек до приложения нагрузки;
АІ, ВІ, СІ	– положение точек после приложения нагрузки;
dx, dy	- абсолютные	линейные деформации материала	в точке
	по осям X и Y соответственно.
Отношение абсолютной деформации к первоначальной длине
представляет собой относительную линейную деформацию εx, εy.
	dx = ε x ;	dy = ε y ,	(1.4)
	dx	dy

εx, εy - относительные линейные деформации материала в точке по осям X и Y.

13

y

P1

B		P4
dy π/2	C
A	B'	x
dx
dy+	dy
	π/2+γ
	A'
P2	dx+ dx C'

P3

Рис. 1.5 - Деформации и перемещения

γ- угловая деформация в точке (рад).

Перемещение – это расстояние между одноименными точками до и после деформации.

Расстояние АА' - линейное перемещение точки А в результате деформации.

Расстояние ВВ' – линейное перемещение точки В в результате деформации.

Расстояние СС' – линейное перемещение точки С в результате деформации.

Вопросы на самостоятельную проработку

1.Классификация тел, изучаемых в курсе "Сопротивление материалов" (брус, оболочка, пластина, массивное тело).

2.Понятие расчетной схемы.

3.Основные типы идеальных опор.

14

Контрольные вопросы

1.В чем состоит задача расчета на прочность, на жесткость, на устойчивость?

2.Что представляет собой расчетная схема сооружения?

3.Что представляют собой внутренние силы?

4.В чем суть метода сечений?

5.Какие деформации называются линейными, абсолютными, относительными и угловыми?

15

Тема 2: РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

Вопросы

2.1Продольная сила.

2.2Напряжения в поперечных и наклонных сечениях.

2.3Деформации.

2.4Перемещения сечений.

2.5Диаграммы растяжения. Диаграммы напряжений.

2.1Продольная сила

Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N.

Правило знаков для продольной силы: если продольная сила N направлена от сечения (растяжение), то она положительна, если к сечению (сжатие) - то отрицательна.

Продольная сила определяется с помощью метода сечений (рис. 2.1).

		z
			P1=12 кН			z
		A				P1=12 кН
I					I
	C				I		I
						NI-I
P2				P2=8 кН

	B	x
		RB

Рис. 2.1 - Применение метода сечений

16

ΣZ = - P1 - NI-I,

NI-I = - P1 = - 12 кН (сжатие, т.е. продольная сила направлена в противоположную сторону).

Эпюрой внутренних усилий называется график, характеризующий изменение внутренних усилий по длине элемента конструкции.

Для построения эпюр внутренних усилий необходимо:

1)разбить брус на участки, границами которых являются:

-точки приложения сосредоточенных сил;

-точки приложения сосредоточенных моментов;

-точки начала и окончания действия распределенной нагрузки;

-точки скачкообразного изменения интенсивности распределенной нагрузки;

-точки скачкообразного изменения площади поперечного сечения бруса;

-точки излома оси бруса;

2)в пределах каждого участка на произвольном расстоянии Zi , используя метод сечений, определяют внутренние усилия в функции от координаты Z;

3)используя полученные зависимости, строят эпюру.

Пример: Для заданного стержня построить эпюры внутренних усилий с учетом собственного веса и заданной расчетной нагрузки (рис. 2.2):

Р1 = 5 кН, Р2 = 4 кН, γ = 78 кН/м3, а = 2 м, b = 2,5 м, F1 = 20 см2, F2 = 40 см2.

Решение

Для заданного стержня разрабатываем расчетную схему, представляя конструкцию осевыми линиями, указывая сосредоточенные силы и заменяя собственный вес линейно распределенной нагрузкой (рис. 2.2).

17

		Расчетная схема		Эп.N, кН
	P1=5кН		P1=5кН
			0 A	A	5
F1			1
	м		Z
	a=2	1	q1=0,156 кН/м		+
P2=4кН	P2	2	2P2=8кН
		Z		3,312 D
			D		4,688
2F1	м	2
	b=2		q2=0,312 кН/м	-
			B	4,092	B
	Рис. 2.2 - Построение эпюры продольных сил

Определим величину интенсивности распределения веса q для каждого участка.

q - интенсивность распределения веса

q = γ F·1 пог. м = γ·F;				кН/м;
q1	= γ F1	= 78·20·10	= 0,156
		-4
q2	= γ F2	= 78·40·10	= 0,312	кН/м.
		-4

Разбиваем стержень на участки и, пользуясь методом сечений, определим величину продольной силы в функции от z и строим эпюру.

I участок: 0 ≤ Z1 ≤ 2 м

P1=5кН q1=0,156 кН/м

Z1

N1

z

II участок: 2 ≤ Z2 ≤4 ,5 м

ΣZ = -P1 + N1 + q1·Z1 = 0; N1 = P1 - q1·Z1;

При Z1 = 0 N1 = P1 = 5кН;

При Z1 = 2м N1 = P1 - q1·2 = 5-0,156·2 = 4,688

кН.

ΣZ = -P1 + N2 + q1·2+2P2+q2·(Z2 - 2) = 0;

18

Z2

			N2 = P1 - 2q1 - 2P2 - q2·(Z2 - 2).
		P1=5кН	При Z2	= 2 м N2 = P1 - 2q1 - 2P2 =
		q1=0,156 кН/м
м				= 5-8-0,156·2 = -3,312 кН.
2			При Z2 = 4,5м N2 = P1 - 2q1 - 2P2 - q2·(Z2 - 2) = 5-
		2P2=8 кН
				8-2·0,156-0,312(4,5-2) = -4,092 кН.
		q2=0,312 кН/м

N2

z

Зная значение продольной силы для каждого участка, построим эпюру.

Правила проверки эпюры N

1)скачки возникают в сечениях, в которых приложены внешние сосредоточенные силы;

2)Величина скачка равна величине внешней силы, приложенной в этом сечении.

2.2 Напряжения в поперечных и наклонных сечениях

Продольная сила N , возникающая в поперечном сечении (рис. 2.3) бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения. Продольная сила связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:

N = ∫σ × dF =σ ∫ dF =σF;

F		F
		σ = N/F	.	(2.1)

Равномерно распределенные нормальные напряжения σ, возникающие в поперечном сечении бруса при центральном растяжении-сжатии, равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

19

α

P	h	P

l

P

N

σ

Рис. 2.3 - Напряжения в поперечном сечении бруса

Рассмотрим напряжения в наклонных сечениях бруса (рис. 2.4).
α		σα
P	Nα z	α α	pα

pα

τα Рис. 2.4 - Напряжения в наклонных сечениях бруса:

α - угол между наклонным и поперечным сечениями; P - внешняя сила, действующая на брус;

pα - напряжения в точках наклонного сечения;

Nα - внутренняя продольная сила наклонного сечения; Fα - площадь наклонного сечения.

Выведем формулы для определения напряжений в произвольных наклонных площадках.

F = bh; Fα = bh /cosα = F /cosα; Nα=P;

рα = Nα /Fα = Pcosα /F = σ cosα;

τα = рα sinα;

τα = τ cosα sinα = 1/2 σ sin2α;

σα = рα cosα;

20