КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 1 часть

σα = σ cosα cosα = σ cos2α;

σα = σ cos2α

(2.2)

τα = 1/2 σ sin2α;

при соsα=1	σмах = σ = N/F;
при sin2α=1; α=45˚	τмах = σ /2 = N /2F.

Таким образом, при растяжении-сжатии наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет на прочность растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в поперечных сечениях.

σмах = N /F ≤ [σ]	;	(2.3)

– условие прочности при растяжении-сжатии

Правила знаков для нормальных напряжений

Т.к. продольная сила N – следствие действия нормальных напряжений σ в поперечных сечениях, то нормальные напряжения будут положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

2.3 Деформации

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, жестко закрепленный с одной стороны и нагруженный растягивающей силой Р с другой стороны (рис. 2.5). Под действием силы Р брус удлиняется на величину

l (		l - абсолютная продольная деформация).
		l = l1-l0 , м:
l0	–	длина бруса до приложения нагрузки, м;
l1	–	длина бруса после приложения нагрузки, м.

21

dz	d	d	d1	l

P

l0

l1

Рис. 2.5 - Деформации при растяжении бруса

Относительную продольную деформацию ε можно определить по формуле:

ε = l/l0.

Закон Гука: Относительная продольная деформация прямо

пропорциональна нормальному напряжению.
ε = σ/Е	,	(2.4)

где Е – модуль продольной упругости (справочная величина). Абсолютные продольные деформации определяем, используя закон Гука.

ε = l/l0;		σ = N/F;
	l/l0 = N/EF ;
		.	(2.5)
	l = Nl0/EF

Кроме продольной деформации, при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении - уменьшаются.

d - абсолютная поперечная деформация круглого бруса при растяжениисжатии:

d =(d1-d)/2

22

где d – поперечный размер бруса до приложения нагрузки;

d1 – поперечный размер бруса после приложения нагрузки. Относительная поперечная деформация:

εпоп = d/d.

Относительные поперечные деформации пропорциональны относительным продольным деформациям:

εпоп = -µε,

µ(коэффициент Пуассона):

µ- коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации), (упругая постоянная материала):

µ = 0,24-0,36 (0,4)		- для стали
µ = 0,5	- для резины

|εпоп/ε| = µ.

Правило знаков: Деформацию удлинения считают положительной, а деформацию сжатия – отрицательной.

2.4 Перемещения сечений

Перемещение любого сечения стержня равно алгебраической сумме абсолютных деформаций всех участков, расположенных между этим и неподвижным сечением (рис. 2.6).

Абсолютные продольные деформации определяются из закона Гука

l = Nl/EF,

где N – продольная сила; l – длина участка;

F – площадь поперечного сечения бруса;

EF – жесткость стержня при растяжении-сжатии.

23

Пример:		Эп.	l
	С
	P2	2
			l2
	В
	А	1
	P1	l2+ l1

Рис. 2.6 - Определение перемещений сечений бруса

Определим абсолютные деформации участков: l1 = N1 l1 /EF ,

l2 = N2 l2 /EF ,

где продольную силу определим, как:

N1=-P1 ,

N2=-P1+P2 .

Таким образом, перемещения сечений стержня в точках А, В, С равны: lC = 0 ;

lB = l2 ; lA = l2+ l1 .

2.5 Диаграммы растяжения. Диаграммы напряжений

Для расчета на прочность необходимо знать механические свойства материалов. Эти свойства делятся на 2 группы:

1)прочностные – показывают, какие предельные нагрузки может выдержать материал;

2)деформационные – показывают, какие деформации может выдержать материал.

Механические свойства материалов определяются экспериментально,

24

путем нагружения образца стандартного размера (рис. 2.7) на испытательных

машинах.

d0=10 мм

l0=100 мм

Рис. 2.7 - Образец, испытуемый на растяжение

Одним из основных видов испытаний является растяжение образцов до разрушения. По результатам испытаний строят диаграммы растяжения. Вид диаграмм зависит от свойств материалов. Наиболее характерной является диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (рис. 2.8).

P

Рпч	D
Рi

Рраз E

Рт	C C'	dωi
Ру	B
Рпц	A

0		lB					d li		l
			lост					lуп

Рис. 2.8 - Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

Элементарная работа, совершаемая силой Pi на перемещении d li равна dAi= dωi = Pid li ,

25

где dωi – элементарная площадь криволинейной трапеции. Площадь диаграммы растяжений:

ω = A = ∫dωi.

Найдя отношение нагрузки к площади поперечного сечения образца, вычислим напряжения, соответствующие характерным точкам диаграммы растяжения. Относительные линейные деформации ε определим, разделив абсолютные деформации на первоначальную длину образца.

σ = P /F0	ε = l /l0;
σ = PB /F0	ε = lB /l0.

Построим диаграмму напряжений (рис. 2.9), учитывая зависимость напряжений в образце от относительных линейных деформаций (рис. 2.9).

σ

σпч

σраз

σт	C C'
σу B
σпц	A

Истинная диаграмма напряжений (учитывает изменение площади образца)

D

E

0			εB	εост		εу	ε

ε

Рис. 2.9 - Диаграмма напряжений малоуглеродистой стали

26

Характерные точки и участки диаграммы

Участок ОА представляет собой прямую линию.

т. А - точка соответствует пределу пропорциональности σпц. На участке ОА относительные линейные деформации ε прямо пропорциональны нормальным напряжениям σ (выполняется закон Гука).

Участок АВ криволинейный участок; т. В - точка соответствует пределу упругости σу. До точки В в испытуемом

образце возникают только упругие деформации.

Деформации делят на упругие εуп и пластические (остаточные) εост.

Деформации считаются упругими, когда после снятия нагрузки полностью восстанавливаются размеры образца, пластические деформации остаются после снятия нагрузки. До т.В возникают только упругие деформации, после т.В – упругие и пластические. Полная деформация ε равна сумме упругих и остаточных деформаций

ε=εуп+εост .

Материалы, у которых остаточные деформации значительно превышают упругие деформации, называются пластичными. К пластичным материалам относятся стали, медь, латунь и др.

Участок ССІ - площадка текучести. Точки С и СІ соответствуют пределу текучести σт. На этом участке наблюдается рост деформаций при постоянном значении нагрузки. Текучесть наблюдается только у пластичных материалов. Текучесть – рост деформаций при постоянном значении приложенной силы за счет сдвигов в кристаллической решетке.

Участок СІD - зона упрочнения.

Т. D – точка соответствует пределу прочности σпч (его еще называют временным сопротивлением σВ). Предел прочности это максимальное напряжение, выдерживаемое образцом.

Участок DE - зона разупрочнения. На образце появляется местное сужения – « шейка». Точка Е – точка разрыва.

Полученная диаграмма построена сплошной линией и называется

27

условной диаграммой напряжений, т.к. не учитывает изменение площади поперечного сечения образца при растяжении. Истинная диаграмма напряжений показана пунктирной линией.

Диаграмма растяжения-сжатия хрупких материалов

При испытании на растяжение-сжатие чугунного образца получим зависимости, показанные на рис. 2.10. Так как остаточные относительные деформации примерно равны упругим деформациям (εост ≈ εупр), то чугун относят к хрупким материалам.

σ

σпчсж	I
σпчр	I-диаграмма сжатия
	II-диаграмма растяжения
	II

	εост	εупр		ε

Рис. 2.10 - Диаграмма растяжения-сжатия хрупких материалов (чугуна)

Диаграмма растяжения чугуна (ІІ) по форме аналогична диаграмме сжатия (І), но предел прочности σпчр (σвр) при растяжении значительно ниже, чем предел прочности σпчсж (σвс) при сжатии (рис. 2.10). Т.е. чугун значительно хуже сопротивляется на растяжение, чем на сжатие. При сжатии чугунный образец разрушается в результате образования наклонных трещин, направленных примерно под углом 45˚ к оси образца, т.е. параллельно площадкам с максимальными касательными напряжениями.

Разрушение для хрупких материалов происходит без появления значительных пластических деформаций.

28

Условие прочности в общем виде:

σmax ≤ [σ], τmax ≤ [τ].

Допускаемое напряжение [σ] – отношение величины опасного напряжения σопасное к коэффициенту запаса прочности n:

[σ]= σопасное ,	[τ] =	τопасное	.
n		n

Коэффициент запаса прочности принимают:

-для сталей: n = 1,5…2,5;

-для чугунов: n = 2,5…5.

При растяжении-сжатии опасным напряжением является:

-для сталей – предел текучести (σопасное = σТ), т.к. при его превышении в брусе появляются остаточные деформации;

-

[σ] = σТ /n,

-для чугунов – предел прочности (временное сопротивление) (σопасное = σВ (σпч)), т.к. чугун не имеет предела текучести.

-

[σ]сж = σпчсж/n, [σ]раст = σпчраст/n.

Вопросы на самостоятельную проработку

1Допускаемые напряжения. Расчеты на прочность.

2Работа силы при ее статическом действии. Потенциальная энергия деформации.

3Местные напряжения.

29

Контрольные вопросы

1Какие случаи деформации называются центральным растяжением - сжатием?

2Что представляет собой эпюра продольных сил?

3Что называется абсолютной продольной деформацией и относительной продольной деформацией?

4Что называется модулем упругости Е?

5Как формулируется закон Гука?

6Что называется коэффициентом Пуассона?

30