КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 1 часть

F I		- площадь двутавра, [см2];
F II		- площадь уголка, [см2];
xC ; yC			- координаты центра тяжести всего сечения, [см];
x I	; y I		- координаты центра тяжести двутавра, [см];
C		C
x II	; y II		- координаты центра тяжести уголка, [см].
C		C
		x		=	0 × 34,8 + (- 4,82)× 33,69			= − 2,37 см;
		C		34,8 + 33,69
		y			=	0 × 34,8 + 14,52 × 33,69		= 7 ,14 см .
		C		34,8 + 33,69

На чертеже в масштабе отложим точку С (– 2,37; +7,14 ).

(Центр тяжести всего сечения должен попасть на отрезок, соединяющий центры тяжести двутавра и уголка. Центр тяжести всего сечения будет ближе к центру тяжести того профиля, у которого больше площадь.)

7)Проведем через центр тяжести сечения (т.С ) оси XC и YC (центральные).

8)Найдем расстояния от центральных осей сечения до параллельных осей:

-от ХС до горизонтальной оси двутавра:

a I = yCI − yC = 0 − 7 ,14 = −7 ,14 см;

- от ХС до горизонтальной оси уголка:

aII = yCII − yC = 14,52 − 7 ,14 = 7 ,38 см ;

- от YС до вертикальной оси двутавра:

bI = xCI − xC = 0 − (− 2,37) = 2,37 см; - от YС до вертикальной оси уголка:

bII = xCII − xC = −4,82 − (− 2,37 ) = −2,45 см.

51

xII	yI
xcII	bдвутавра /2
yo
	a
YC
bII	bI
	xc
Y0 (min)
α0
		yII
		o
		x
	II
	a	X0 (max)
С		II
		c
		y
α0		XC
		h/2
	I	c
	a y
	0	xI
	ymax
Рис. 4.4 - Геометрические характеристики сложного сечения

52

Определим величину моментов инерции сечения относительно центральных осей XC и YC при помощи формул параллельного переноса:

I Xc = I XI + F I (a I )2 + IYII + F II (a II )2 ;

I Xc = 3460 + 34,8 × (-7 ,14)2 + 324,09 + 33,69 ×7 ,382 = 7393,09 см4 ;

IYc = IYI + F I (bI )2 + I XII + F II (bII )2 ;

IYc = 198 + 34,8 × 2,372 + 1122,56 + 33,69 × (- 2,45)2 = 1718,25 см4 ;

		I XcYc = I XYI + F I a I bI + I XYII			+ F II a II bII ;
	I XcYc = 0 + 34,8 × (-7 ,14)× 2,37 + 347,11 + 33,69 ×7 ,38 × (- 2,45) = - 850,92 см4 ,
	где I XI ; IYI ; I XYI		- моменты инерции двутавра, [см4];
	I XII ; IYII ; I XYII		- моменты инерции уголка, [см4];
	F I	- площадь двутавра, [см2];
	F II	- площадь уголка, [см2];
	aI, bI	-	расстояния	от центральных осей XC		и YC	до осей
двутавра, [см];
	aII, bII	- расстояния от центральных осей XC и YC до осей уголка,
[см].
	Значение центробежного момента инерции уголка в последнем
	выражении положительно (+347,11), так как уголок в заданном сечении
	расположен таким образом, что его ось минимум проходит через 1 – 3
	квадрант.
9)	Определим	угол наклона		главных	центральных	осей	сечения

(− 45° ≤ α0 ≤ + 45°):

53

tg 2α0 = −

2I XcYc

,

I Xc − IYc

где IXсYс –

центробежный момент инерции сечения относительно осей XC и

YC , [см4];

IXс

–

момент инерции сечения относительно оси XC

(горизонтальной), [см4];

IYс

–

момент инерции сечения относительно оси YC (вертикальной),

[см4].

tg 2α0 = −

2 × (- 850,92)

= 0,299

;

7393,09

− 1718,25

α0 =

arctg 0,299

=

16°42'

= 8° 21' .

2

2

Т.к. получили положительное значение α0, значит, для того, чтобы найти главную ось, необходимо заданные оси повернуть против часовой стрелки на угол α0.

10)Повернув центральные оси (XC и YC) на угол α0 , получим главные

центральные оси сечения (X0 и Y0).
Т.к.	центробежный	момент	инерции	сечения
отрицателен(I XcYc = − 850,92 см4 ), значит,			осью минимум будет та из
главных осей, которая проходит через 2 – 4			квадрант.
Тогда:
Y0 –	ось минимум,

X0 – ось максимум

(соответственноIY0 = Imin , I X 0 = Imax ).

11)Определим величину моментов инерции относительно главных центральных осей:

54

Imax =	I Xc + IYc	±		(I Xc − IYc )2 + 4(I XcYc )2	;
	2			2
min

Imax =	7393,09 + 1718,25		±				(7393,09 − 1718,25)2 + 4(− 850,92)2				=
								2
min		2
= 4555,67 ± 2962,27 см4 .
Тогда:
				I		max		= 7517 ,94 см4 = I	X0,
				Imin				= 1593,40 см4 = IY .
									0

Проверка:

Imax + Imin = I Xc + IYc ;

7517,94 + 1593,40 = 7393,09 + 1718,25;

9111,34 = 9111,34.

(Можно заметить, что формула для определения I max аналогична формуле

min

для определения главных напряжений σmax при плоском напряженном

min

состоянии).

12)Определим момент сопротивления сечения относительно оси максимум. Для этого момент инерции сечения относительно оси максимум необходимо разделить на расстояние от этой оси до наиболее удаленной от нее точки.

Если Imax = I X 0 , тогда

WX 0 = I X 0 .

ymax

(Величину ymax найдем, опустив на чертеже перпендикуляр на ось максимум из точки, которая от нее наиболее удалена. Измерив длину полученного перпендикуляра и умножив ее на масштаб чертежа, найдем истинное расстояние ymax , которое подставим в знаменатель формулы).

55

Вопросы на самостоятельную проработку

1.Определение статического момента сложного сечения.

2.Определение центробежного и осевых моментов инерции сложного сечения.

Контрольные вопросы

1.Что называется статическим моментом сечения относительно оси?

2.Что называется осевым, полярным, центробежным моментом инерции сечения?

3.Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечений?

4.Формулы, выражающие изменение моментов инерции при повороте осей.

5.Зависимости между моментами инерции для параллельных осей.

6.Какие оси называются главными центральными осями инерции?

7.Что представляют собой главные центральные моменты инерции?

8.Чему равен центробежный момент инерции сечения относительно осей симметрии?

56

Список литературы

1.Корнілов О.А. Опір матеріалів: Підручник для вищих навчальних закладів. -

Київ: Логос, 2002. – 562 с.

2.Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов: Учеб. для техн. вузов.-

М.: Высш. шк., 1989. – 624 с.

3.Анурьев В.И. Справочник конструктора машиностроителя: В 3 т. - М.: Машиностроение, 1980. – 728 с. – Т.1.

57

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………….…….......................3
Основные понятия…………………………………….…...................................	.....5
Растяжение-сжатие………….….............................................	.................................16
Теория напряженного состояния…………………………...…………..................31
Геометрические характеристики сечений…………………………….……..........41
Список литературы………………………………………………………...............57

58

Конспект лекцій з дисципліни "Опір матеріалів" для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальностей 6.090202 - "Технологія машинобудування", 6.090203 - "Металорізальні верстати та системи", 6.090258 - "Автомобілі та автомобільне господарство", 6.090211 - "Колісні та гусеничні транспортні засоби", 6.090214 - "Підйомно– транспортні машини та обладнання" (у тому числі скорочений термін навчання). Частина перша.

Відповідальний за випуск

проф. В.М.Комір

59