ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ

Виды дисперсии и правило их сложения

Правило сложения дисперсий

Для сгруппированной, т. е. разделенной на i-ое количество групп, статистической совокупности изучение вариации признака по всей совокупности в целом дополняется изучением вариации для каждой из составляющих ее групп, а также  между этими группами.

В простейшем случае, когда совокупность разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой (случайной)  и внутригрупповой (факторной).

Эти показатели взаимосвязаны друг с другом. Эта взаимосвязь называется правилом сложения дисперсий.

=

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную.

Общая дисперсия σ² измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, выхвавших эту вариацию. Она может быть вычислена как: 1. простая дисперсия   2. взвешенная дисперсия

(для несгруппированных данных)

(для вариационных рядов)

Межгрупповая дисперсия (факторная)  δ² характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних  от общей средней:

где – среднее значение признака, рассчитанное для i-ой группы,

– среднее значение для всей совокупности данных,

- количество элементов в i-ой группе (частота группы)

Внутригрупповая дисперсия (частная, остаточная, случайная)   отражает случайную вариацию неучтенных факторов (не лежащих в основе группировки) и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по следующей формуле:

Где – дисперсия, рассчитанная внутри i-ой группы,

- количество элементов в i-ой группе (частота группы)

Эмпирическое корреляционное отношение

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак. Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (η²) - показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии  результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице. 

Эмпирическое корреляционное отношение (η) – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации. Он показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

3. Имеются следующие данные 10% -ного случайного бесповторного выборочного обследования рабочих механического цеха.

Таблица

Табельный номер рабочего	Возраст, лет	Заработная плата за сентябрь, руб.	Стаж работы, лет	Тарифный разряд
2	25	4480	7	3
17	24	2360	7	2
28	43	4510	25	4
35	41	4670	23	5
44	37	3880	18	5
47	42	4965	24	5
102	29	2744	11	5
112	36	4030	16	5
123	56	5150	34	6
135	29	3740	11	5
138	18	2215	1	2
140	37	3582	20	4
147	25	2500	8	3
149	30	3630	12	4
150	26	3520	9	3

Требуется:

1. определить дисперсию заработной платы рабочих;

2. произвести группировку рабочих по стажу работы, выделив три группы; для каждой выделенной группы исчислить внутригрупповую дисперсию по уровню месячной заработной платы;

3. определить среднюю внутригрупповую дисперсию по уровню месячной заработной платы и ее долю в общей дисперсии.

Сформулировать вывод.

4