- •Глава II. Длина, площадь и объем.
- •§1.Измерение и длина отрезка
- •§2. Теорема существования
- •§3 Теорема единственности и некоторые следствия из нее
- •§4. Многоугольник и его характеристика (плоский)
- •§5. Площадь многоугольника. Теорема существования
- •§6. Теорема единственности
- •§7.Равновеликость и равносоставленность
§3 Теорема единственности и некоторые следствия из нее
Докажем, что в абсолютной геометрии при данном выборе единичного отрезка единственное отображениеl:LR+, удовлетворяющееL1-L3. Обозначим АВ, СД,…- отрезкиАВ,СД,…-их длины в выбранной единице измерения.
Теорема (единственность длины в абсолютной геометрии).Если выбран единичный отрезок PQ, то существует не более одного отображения l:LR+, удовлетворяющего трем аксиомам измерения отрезков.
Для доказательства понадобятся три простые леммы, доказательство которых вы разберете самостоятельно.
Лемма 1Пусть установлено измерение отрезков с единицей измерения PQ. Если точки А0, А1, А2, …, Аn расположены так, что А0-А1-А2, А1-А2-А3,…, Аn-2- Аn-1-Аn и А0А1 = А1А2 = … = Аn-1Аn = РQ, то А0Аn =n.
Лемма 2 Пусть установлено измерение отрезков. Если АВ<СД, то АВ<СD .
Лемма 3Пусть установлено измерение отрезков. Если точка O - середина отрезка АВ, то А0=0В=АВ
Доказательство теоремы (от противного) Пустьl:LR+иl/:LR+удовлетворяетL1-L3.l(PQ)=l/(PQ)=1(1)
Т.к.lиl/-различные отображения, тоотрезок АВ т. чтоl(АВ)=а,l/(АВ)=bи аb. Пустьb>а. На луче АВ отложим последовательно отрезки АА1, А1А2,…Аn-1Аn, причемnвыберем так чтобы А-В-Аn. Аn-1принадлежит отрезку АВ, т.е. Аn-1может совпадать с В. По аксиоме Архимеда такое n-$, тогда по лемме 1.
l(AAn-1)=l/(AAn-1)=n-1 (2)
A An-1 B
l(AAn)=l/(AAn)=n (3)
A B В не может совпадать с Аn-1, т.к отрезок один, а измерения разные. Это противоречит тому, что а¹b. Значит Аn-1-В-АnÞААn-1<АВ<ААnl(AAn-1)<l(AB)<l(AAn) или
n-1<a<n n-1<в<n Þв-а<1. Пусть Р1середина отрезка Аn-1Аnтогда из L2 и L3Þl(AP1)=l(AAn-1)+l(An-1P1)=n-1+1/2=n-1/2 Аналогично получаем l/(AP1)=n-1/2. Снова получаем, что Р1не совпадает с В. Либо Аn-1-В-Р1, либо Р1-В-Аn. В первом случае получаемAAn-1<AB<AP1,n-1<a<n-1/2 иn-1<b<n-1/2. Во втором случае:AP1<AB<AAn, иn-1/2<a<n,n-1/2<b<n. В обоих случаяхb-a<1/2. Продолжая, получимb-a<1/2k, и этот процесс никогда не остановится в силу условияab. Значитb-a=0 и, поэтому l и l/совпадают. Ч.т.д.
Теорема 2 .Каково бы ни было вещественное число а>0, при данном выборе единичного отрезка$отрезок, длина которого равна а. (без доказательства)
С помощью этой Тh можно ввести систему координат на прямой, т.е. ввести координаты значит:
Следствие 1 В теориях содержащих абсолютную геометрию можно установить измерение отрезков с произвольно выбранным единичным отрезком. При этом установленное измерение является единственным.
Следствие 2 .В теорияхÁ(åр)Á(åк) при данном выборе единичного отрезка результат процесса измерения отрезков совпадает с тем, который следует из аксиом меры, а вÁ(åw) из W3.
§4. Многоугольник и его характеристика (плоский)
Напомним несколько определений.
Опр. 1.Ломаная называетсяпростой, если смежные звенья не лежат на одной прямой и не смежные звенья не имеют общих точек. Если концы ломаной А1А2…АnА1и Аnсовпадают, то она называетсязамкнутой: в этом случае звеня Аn-1Аnи А1А2тоже являются смежными. Простая замкнутая ломанная разделяет множество всех точек плоскости не принадлежащих ломаной, на два подмножества, одно из которых называетсявнутреннейобластью, а другое - внешней.
Опр. 2.Объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называетсяпростым многоугольником,а сама эта ломанная называется его границей.
Пусть F- многоугольник, А и В - точки на его границе. Соединим точки А и В простой ломаной L, все точки которой, кроме А и В, лежат внутри многоугольника, тогда получим два новых многоугольника F1и F2: F1ÇF2=L, F=F1ÈF2.
Опр. 3.Многоугольник F в этом случае будем называть суммой многоугольников F1и F2и записывать F=F1+F2 (в отличи от объединения).
Опр. 4.Многоугольник F назовемориентированным, если указан порядок обхода его вершин, обозначаем=. (Каждый простой многоугольник гомеоморфен двумерной клетке.)
Опр. 5.Пусть F=F1+F2. Ориентированный многоугольникбудем называть суммой ориентированных многоугольникови, если ориентации,,согласованы, т.е. общей стороне приписывается противоположное направление обхода в каждом многоугольнике.
Обозначим через М- множество всех многоугольников евклидовой плоскости s.единичный вектор^s. Пустьи– векторы //s. Смешанное произведение (,,) обозначим через(оно определяется без площади). В направляющем пространстве плоскостиsвыберем базис (), так чтобы=1, т.е. чтобы он был ориентирован положительно. В базисе () векторы=(а1,а2),(в1,в2). В=(а1,а2,0)(в1,в2, 0)=(0,0,1) тогда
Свойство 1=(,,)==.
Следствие =0
Свойство 2
Свойство 3если,,, то(+)=+и (+)=+: по свойствам смешанного произведения.
Пусть - ориентированный n-угольник, О, положим,i=1,…,n.
Опр. 6.Число(1)
Называется характеристикой многоугольника .
Если в системе координат ОвершиныАi(xi,yi), то (1)
Запишется в виде (2)
Ch 1Характеристика многоугольникане зависит от выбора т. О на плоскости.
Доказательство : Пусть О/- другая точка плоскости.- характеристика многоугольника относительно этой точки. Тогда обозначимпо Опр.6.
Ai
O
O/
Ch 2Если, тои(без доказательства)
Сh 3Если- произвольный многоугольник, то, и значит.
Доказательствосамостоятельно.
Ch 4Любой многоугольник можно ориентировать так, чтобы его характеристика была положительной.
ДоказательствоИзменив ориентацию многоугольника на противоположную и заменив нумерацию:и т. д. из (1) получим :по свойству 2все слагаемые поменяли знак , а абсолютная величина не изменилась из Ch 3 получаем ч.т.д.