§7.Равновеликость и равносоставленность

Df1Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.

Очевидно, что отношение равновеликости на множестве М всех многоугольников есть отношение эквивалентности.

Df2 Два многоугольника F и F^/называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников.

Отношение равносоставленности (обозначим f) тоже является отношением эквивалентности на множестве всех многоугольников.

1.рефлексивность - очевидна 2. симмeтричность - очевидна. 3. F=F^/,F^/F^//FF^//?

, гдеF_iF^/_i,F^/=, где^/_j_j^//

Рассмотрим многоугольники F^/_iи Ф^/_jP^/.F^/_iФ^/_jможет быть пустым, точкой, состоять из нескольких отрезков или являться многоугольником. ОбозначимF^/_iФ^/_j =F^/_ij. Т.к.F^/_i, но(1)

Аналогично , и т.к. Ф_i^/Ф^//_j, точ.т.д.

Очевидна следующая теорема:

Th1. Если два многоугольника равносоставлены, то они равновелики.

Th2(Ф.Бояйи-Гервина). Если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.

Д-ву предпошлем маленькую лемму (Sпарал=ab sina)

Леммалюбые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.

Доказательство: Заметим, что если параллелограмм А равновелик с прямоугольником В и имеет одну одинаковую сторону, то они равносоставлены.

?

Самостоятельно.

Пусть Р₁и Р₂- два параллелограмма, S(P₁)=S(P₂), а - наибольшая сторона Р₁, с - наибольшая сторона Р₂. Тогда прямоугольник со сторонами а и с имеет не меньшую площадь чем Р₁(если ас<ahÞc<h, но ch₁=ah и т. к a>h, h>c, c>h₁,с и h₁меньше а и h, то равенства неп - противоречиво)ÞS(П)³S(Р₁)

$a: ac*sina=S(P₁).Пусть Р - параллелограмм со сторонами а, с и угломaмежду ними и S(Р)=S(Р₁)=S(Р₂). Но Р и Р₂имеют одинаковую сторону аÞони равносоставны с прямоугольником из замечания. Р и Р₂тоже.ÞР, Р₁и Р₂-равносоставныÞР₁и Р₂- равносоставленны . Лемма доказана.

Доказательство теоремы Б-Г (по лемме). Любой треугольник Т равносоставлен с

некоторым параллелограммом: ÞТ равносоставлен с любым параллелограммом той же площади. Пусть М- многоугольник, Q - квадрат той же площади., P_i- прямоугольники: S (P_i)=S (T_i) это всегда можно. Но T_iи P_i– равносоставленыÞM и Q- равносоставлены. Если M₁и M₂два разных многоугольника т. что S(M₁=S(M₂), то оба они равносоставлены с квадратом Q той же площади, а следовательно равносоставлены. Ч.т.д.

Сказать об объемах. Самостоятельно.

ДОКЛАД.

Величины и их измерение.

Отражение этой темы некоторых существующих курсах школьной геометрий.

В школьной практике и повседневной жизни мы часто сталкиваемся с вопросами измерения величин (длина, площадь, объем, масса, скорость, температура, время). Список, конечно, можно продолжить. Мы не задумываемся над тем, что мы измеряем, почему так мы измеряем. Не говоря уже о таких вопросах как: что такое величина? Что такое измерение? Как связаны эти две сущности? (Почему я сказала сущности? Да потому что не понятно объекты это или процессы, особенно это не ясно по отношению к величинам.) На самом деле этот вопрос стоял перед математиками очень давно. Ведь известно, что у древних греков носителями чисел служили отрезки, площади (равновеликость).(Сказать о величинах по Евклиду).

Мы теперь все грамотные и сразу, конечно, говоря об измерений, думаем о числах. Грекам было труднее и они философствовали- что такое величина (Евклид, Аристотель).Всем ясно, что чтобы сказать о том какой отрезок длиннее, какой угол больше вовсе не требуется никаких чисел. Несколько сложнее обстоит дело с площадями. Можно, конечно, их сравнить, используя теоремы о равновеликости и равносоставленности. А вот как быть с объемами? Конечно, все это требовало от греков хитроумных различных способов. Сравнить теорему Депа. В самом деле, дайте ответ на вопрос что такое величина угла? Как правильно сказать: измеряем угол? Или измеряем величину угла? Скорость или величину скорости? То есть появляется такая тройка объекта (в частности геометрическая фигура)- величина измерение. Т.е. у каждой фигуры мы что-то, как-то измеряем. У простейших фигур и величину, которую мы измеряем: отрезки равны, если равны их длины; углы равны, если равны их градусные меры.… Более сложно с фигурами, с площадями, объемами. Но, тем не менее, можно проиллюстрировать это различие уже для углов, как это сделано в SMP(BookB): Там оставляются интуитивными понятия направления и оборота. Т.е.: Если вы смотрели на север, затем повернулись и снова смотрите на север, значит, вы сделали полный оборот. С N на Е на «четверть оборота». Затем авторы определяют вращение- это математическое название для поворота на какую-то часть полного оборота. Вращение имеет центр вращения, направление вращения и меру вращения (они здесь употребляют бытовое слово - Size).[Оставим в стороне вопросы строгости данного изложения, ясно, что можно подвести теоретическую базу при желании].

Видимо, авторы и поставили себе цель проиллюстрировать различие между объектами и величиной. Для этой цели они используют два понятия cornerи angle.

Corner Это геометрическая фигура, а

вот если вы начнете вращать

одну сторону, до тех пор, пока

она не совместиться с другой, то

вы скажите, что данному «corner», соответствует мера вращения на “angle” в какую-то часть оборота

объект-corner

величина-angle

измерение- мера вращения в оборотах

Таким образом, если есть геометрический объект, то возникает желание сопоставить ему некоторое число. Величина выступает в роли промежуточного звена между объектом и числом. Так возникают скалярные величины. Конечно, чтобы сравнить объекты. Но это не совсем верно. Впервые систематично этим занялся Лебег.

Он говорит о том, что учителя никогда не дают никакого определения величины, считая его заранее известным. В чем же заключается не обойденное до сих пор затруднение, препятствующее логическому определению понятия величины? Лебег считает, что оно имеет ту же природу, что и затруднение с которым мы встречались при определений понятия числа. И приводит фразу Дарбу: «Попробуйте извлечь все, что возможно из такого определения :,, величина есть все то, что способно увеличиваться и уменьшаться,, т.е. создать теорию величины и то же самое, что создать теорию, которая была бы приложима одновременно к объектам и честолюбию, температуре и аппетиту, госбюджету и плодородию почвы, уму, уровню воды в Сене, удивлению, образованию и т.д. Т.е. труднее будет определить то, что не является величиной …

Поэтому Лебег предлагает остановиться на,,измеримых величинах,, и поэтому сразу апеллирует к понятию числа.

Если задано семейство тел, но говорят, что для этих тел определена величина G, если каждому из этих тел и каждой части любого из них поставлено в соответствие определенное положительное число.

Если разбить тело на некоторое число частей С₁,С₂,…,С_Ки если значение величины G для тела С равно g, а для тел С1,С2,…,С_Кравно g₁, g₂,…, g_К, то g=g₁+g₂+…+g_К. Этого достаточно, чтобы доказать теорему:

Если две величины G и G₁определены для одного и того же семейства тел и если для любых двух тел, для которых величина G принимает одно и то же значение g ,величина G₁так же принимает одно и то же значение g₁, то g и g₁связаны соотношением g₁=kg, где k- некоторое постоянное число. И опять вопрос о том, что такое не скалярная величина остается открытым.

Попытку дать определение величины и ее измерения. Можно найти в книге Любецкого,, Основные понятия школьной математики,, (ссылки в этой книге нет).

Когда речь идет о величине и ее измерении, то явно или не явно предполагается известными ответы на следующие вопросы: Что измеряется? Каким образом измеряется? Что является результатом измерения? Когда речь идет об измерений, то предполагается известный некоторая инструкция по измерению. Т.е., способ приписывания. Каждому измеряемому объекту некоторого объекта из множества результатов измерений, т.е. определяется некоторое сюрьективное отображение T:UR_T, где U-множество измеряемых объектов,R_T- множество всех возможных результатов измерений. Пусть фиксировано некоторое измерение; , т.е. задано отображение T:UR_T

Df1Величиной относительно фиксированного измерения Т будем называть всякое множество вида Т^-1(), гдеR_Тфиксировано

U

R_T

T^-1()

Df2 системой однотипных величин относительно фиксированного измерения Т будем называть совокупность всех множеств вида Т^-1():={Т^-1()\R_Т}

Они, конечно же, не пересекаются.

Рассмотрим отношение эквивалентности на множестве U: uvТ(u)=Т(v), где Т ориентир. Ясно, что это эквивалентно т.к. uv;u и vuvuvvwuw;в силу свойствам равенства.

Рассмотрим U/пусть [u]U/, если v[u] и=Т(v), то ясно, что (легко доказать от противного) [u]=Т^-1()=Т^-1(Т (v)) и, значит, множества U/ипри фиксированном Т совпадают.

Df3Измеряемые объекты u и v будем называть равновеликими, если они принадлежат одной величине, т.е. если Т(u)=Т(v).

Df4 Измерением системы однотипных величинназываются отображение Т^/:R_T, определяемое равенством Т^/([u])=Т (u), т.е.

Опускание отображение Т на .

UT R_TT=T¹*j, гдеj- каноническая проекцияj: U®U/=

 в чем уже сила Т¹- оно биективно!Þ$Т^/-1:R_T®. Таким образом, выражение,, измерение величины объектаu,, означает вычисление композиции Т^/(j(u)).

И хотя вроде бы с величиной определились, возникает несколько вопросов, ясных ответов на которые нет. А именно 1. Какие именно отображения задают измерения? Значит, какие именно фактор- множества определяют системы однотипных величин? 2. Можно ли сравнивать величины, складывать и т. д.…..3. Вопрос (который возникает из аналогий с отрезками и углами): Можно ли определить понятия величины, системы однотипных вершин, операцию сложения величин, порядок, на множестве величин, не используя измерения, которое возникает, как только дело касается конкретных примеров.

На третий вопрос ответ такой: иногда - да. Пример. Отрезок на арифметической прямой R можно определить как упорядоченную пару точек <а, в>, где а, вÎR и а£в. Множество всех отрезков на R обозначим U.Положим Т(u)=в-а, тогда R_Т=R_³0и назовем Т – измерением длины. Таким образом, величиной отрезка, относительно измерения длины называется совокупность всех отрезков имеющих одинаковую длину <а, в>~<с, д>Û$hÎR⁽⁺⁾будем писать <a,b>+h=<c,d>.

Таким образом, величину отрезка можно определить, не используя само измерение Т, а лишь действие группы <R,+> на R. Аналогично можно поступить и с углами в R², но тогда придется использовать действие ортогональной группы в R². А вот с площадями так не получается!

Может быть, поэтому углы равны, если равны их меры и отрезки равны, если равны их длины. Ведь и R⁺на Rи О(2) наR²- изометрии!

И поэтому с площадями так не выходит. И хотя мы ,,ругались,, на число , а пример привели именно из R, тем не менее ясно, что поднатужившись это можно сделать и без чисел.

Ответ на второй вопрос: иногда – да. Ведь очень многое зависит от множества R_Т! Скорее всего, это должно быть алгебраическая система (?).Примером таких величин является множествоположительных скалярных величин. Тут мы несколько отойдем от Любецкого. Можно просто привести 10 аксиом, определяющих положительные скалярные величины, используя, Столяр стр. 362-363 (аксиоматику Колмогорова положительных скалярных величин.

Частично ответ на вопрос об отображениях дают теории измерения, построенные в известных учебниках. Например, с длинами и с площадями.

Говорят, что установлено измерение отрезков, если определено отображение l: LR₊, где L- множество всех отрезков.

L1 если отрезки АВ и А^/В^/равны, то l(АВ)=l(А^/В^/) (класс однотипных (равновеликих) величин).

L2 если А-В-С, то l (АВ)+l (ВС)=l (АС).

L3 отрезок РQ, так чтоL(PQ)=1.

Аналогично с площадями и объемами. Чуть- чуть сложное обстоит дело с углами:

Установлено измерение углов, если установлено отображение Р: АR₊

1.Равным углам соответствует равные числа, т.е. если hk равен углуlm, то P(hk)=P(lm).

Если луч l проходит внутри (hк) через его вершину, то P(hl)+P(lk)=P(hk).

 угол pq, т. что P(pq)=1.

Имеет место Тh. Пусть при некотором выборе единицы измерения прямоveуглу соответствует число; тогда любому числу, 02соответствует угол, величина которого равна.

Даже: А какое число может соответствовать прямому углу? Да любое.

Абрамов:Th1c0угловая мера (отображение Р), сопоставляющая прямому углу числоc.

Th2c0не более одной угловой меры, сопоставляющей прямому углу числоc.

Тут, конечно, сразу возникают много геометрических и, конечно, методических вопросов.

Как все это излагать в школе?

Атанасян …вообще никак (транспортир)

Погорелов аккуратно вводит понятие луча, «лежания» между. И определяет сумму углов, а потом формулирует свои аксиомы.

Интереснее Jorgensen и SMP B и SMP(A).

Методическое пособие Фетисов А.И.

12