1. процесс итерации (n=1,2,..) сходится независимо от начального значения ;

2. Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке при .

Для оценки погрешности приближения x_n получается формула:

,

где ; а на [a,b] При заданной точности ответа ε итерационный процесс прекращается, если

. Если q<|0.5| , то .

Преобразование уравнения к итерационному виду

Сходимость итерационной последовательности определяется видом функции φ(х). Преобразование к виду (2) можно провести различными способами. Чтобы обеспечить сходимость, можно искать решение в виде:

, (4)

где k-целое число. Уравнение (4) это уравнение (2) с . И оно равносильно исходному уравнению (1). Для сходимости метода итераций по теореме 3 необходимо, чтобы . Дифференцируем φ(х) и получаем . Решаем неравенство:

.

Чтобы условие сходимости выполнялось на всем промежутке [a,b], нужно взять , где .

Итак, если выполняются условия то метод итераций сходится для уравнения

Пример 6 Методом итераций найти корень уравнения

на промежутке (-10,-9,6)

22