2.1.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины

Одной из самых важных характеристик дискретной случайной величины является «математическое ожидание».

Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений значений случайной величины на их вероятность. Обозначается математическое ожидание М(X) или МХ:

. (2.4)

Бытовой и практический смысл математического ожидания – это среднее значение ДСВ. Аналогично среднее значение функции f от ДСВ X вычисляется по формуле

, (2.5)

поскольку случайная величина f(X) распределена так же, как СВ X

Если ДСВ задана законом распределения,

xi	x1	x2	x3	...	xn-1	xn
pi	p1	p2	p3	...	pn-1	pn

то математическое ожидание МХ находится по формуле

МX=х₁р₁+х₂ р₂+...+х_n p_n=.

Задача 2. Из100 лотерейных билетов в тридцати выигрыш составляет 100 тыс. рублей, в 10 – 200 тыс. рублей, в 5 – 300 тыс. рублей, в одном – миллион рублей. Найти математическое ожидание случайной величины суммы выигрыша.

Решение: Случайная величина X – выигрыш – принимает значения х₁=0, х₂=10 тыс. руб., х₃=20 тыс. руб., х₄=30 тыс. руб., х₅=100 тыс. руб.

Найдем вероятность того, что СВ X принимает соответственно значения

р₁=;p₂=;p₃=;p₄=;p₅=.

Тогда закон распределения этой ДСВ имеет вид:

xi	0	10 тыс.	20 тыс.	30 тыс.	100 тыс.
рi	0.54	0.3	0.1	0.05	0.01

Математическое ожидание найдем по формуле МХ=:

MХ=00.54+100.3+200.1+300.05+1000.01=7.5 тысяч рублей – это и есть среднее значение выигрыша.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

М(C)=C, где C = const.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(kХ)=kM(X), где k = const.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(XY)=M(X)M(Y).

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(XY)=M(X)M(Y).

Задача 3. Найти математическое ожидание случайной величины Y=5X+9, если известно, что MX=2.5.

Решение. Зная свойства математического ожидания, имеем:

M(Y)=M(5X+9)=M(5X)+M(9)=5M(X)+9=52.5+9=7.5+9=16.5.

Задача 4. Найти математическое ожидание случайной величины:

а) X – суммы очков, выпавших при подбрасывании двух кубиков;

б) T – произведения числа очков на их гранях.

Решение. Пусть случайная величина Y и Z случайные величины, выпавшие одновременно на первом и втором кубиках соответственно. Эти случайные величины имеют одинаковый ряд распределений (одинаково распределены). Тогда отдельно каждое из их математических ожиданий можно найти по известной формуле:

M(Y)=M(Z)=11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6=(1+2+3+4+5+6) 1/6=7/2.

а) Математическое ожидание суммы очков M(X) находим по формуле

M(X)=M(Y+Z)=M(Y)+M(Z) =7.

б) Так как случайные величины Y и Z независимы, имеем:

M(T)=M()=M(Y)(Z) =12.25.

Задача 5. Контролеры отдела технического контроля проводили контроль качества работы двух бригад, производящих болты. Отклонение длины болта от заданных размеров (стандарта) в мм для каждой из бригад есть случайные величины Х₁ и Х₂ соответственно, заданные таблично:

x1i	-10	-6	-2	1	3	5	8	10
pi	1/16	1/8	1/4	1/16	1/4	1/16	1/8	1/16

x2i	-2	-1	0	2	3	4	5
pi	1/4	1/4	1/16	1/16	1/8	1/8	1/8

Какая бригада работает лучше?

Решение. Сравним математические ожидания двух случайных величин Х₁ и Х₂, заданных рядами распределений:

M(Х₁)=,

M(Х₂)=.

В этом примере видно, что недостаточно знаний одного математического ожидания: оно может совпадать для явно различных распределений этих случайных величин. Если сравнить распределение этих случайных величин на числовой прямой (Рис. 8), то видно, что случайная величина Х₁ имеет большой разброс на отрезке 10; 10, а случайная величина Х₂ сосредоточена вокруг М(Х₂)=7/8.

Рис.8

Очевидно, «лучшим» результатом считают такое распределение, которое наименее отклоняется от своего среднего значения – от стандарта, т.е. интуитивно мы ожидали получить результат, что лучше работает вторая бригада.

Чтобы определить степень «сосредоточенности» ДСВ вокруг ее математического ожидания, надо найти среднее отклонение случайной величины X от ее математического ожидания M(X), то есть М(XМ(X)). Так как такое отклонение всегда равно нулю и такая характеристика не может являться ответом на поставленную задачу, то находят математическое ожидание не самого отклонения, а его квадрата.

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины X от ее математического ожидания. Дисперсия ДСВ X обозначается D(X) или DХ. Тогда

D(X)=М(XМ(X))²_. (2.6)

Найдем дисперсию в задаче 5:

x1i	-10	-6	-2	1	3	5	8	10
X1MX1
(X1MX1)^2
p1i
р1(X1MX1)^2

Тогда DX₁ =М(X₁MX₁)²9.

x2i	-2	-1	0	2	3	4	5
X2MX2
(X2MX2)^2
p2i
p2(X2MX2)^2

DX₂=М(X₂MX₂)²= .

Итак, если отклонение от среднего значения длины (стандарта) – дисперсия – небольшая, то считается, что станки работают нормально. Аналогично, весы с меньшим отклонением от стандарта (с меньшей дисперсией) считаются лучше.

Свойства дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C)=0, где C= const.

2. Дисперсия – всегда неотрицательная величина

D(X)0, так как p_i(x)>0 и (XM(X))²0.

3. При вынесении постоянного множителя за знак дисперсии, необходимо его возвести в квадрат: D(kХ)=k²D(X), где k=const.

4. Для независимых случайных величин X и Y дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых: D(X+Y)=D(X)+D(Y).

5. Для независимых случайных величин X и Y дисперсия разности равна сумме дисперсий слагаемых: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Действительно, D(X-Y)=D(X)+D(-Y)= (X)+(-1)²D(Y)=D(X)+D(Y).

6. Если существуют МX и МX², то дисперсия ДСВ равна математическому ожиданию квадрата ДСВ минус квадрат ее математического ожидания:

D(X)=M(X²)-(MX)² (2.7)

Действительно, так как математическое ожидание есть постоянная величина, то

D(X)=M(X-M(X))²=M(X²-2XM(X)+M(X)²)=M(X²)-(2XM(X))+M²(X)=M(X²)-M²(X).

Формула (2.7) более удобна при вычислении дисперсии, чем формула (2.6).

Например, дисперсия D(X) в задаче 5 могла быть вычислена таким способом:

xi	-10	-6	-2	1	3	5	8	10
xi^2	100	36	4	1	9	25	64	100
pi	1/16	1/8	1/4	1/16	1/4	1/16	1/8	1/16
pixi^2	25/4	9/2	1	1/16	9/4	25/16	8	25/4

Тогда M(X²)=9, поэтому

D(X)=М(X²)М²(X)=9.

	-2	-1	0	1	2	3	4	5
	4	1	0	1	4	9	16	25
рi	1/4	1/4	1/16	0	1/16	1/8	1/8	1/8
	1	1/4	0	0	1/4	9/8	2	25/8

M(X )²=7, аD(X )=M(X )²(MХ )²=7.

Размерность дисперсии D дискретных СВ не совпадает с размерностью самой ДСВ, что вызывает определенные трудности при подсчетах. Поэтому на практике чаще используют не саму дисперсию, а среднеквадратическое отклонение .

Среднеквадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии этой ДСВ.

(X)=. (2.8)

В нашем примере (X)=(X )=.

Среднеквадратическое отклонение является мерой разброса значений ДСВ около ее математического ожидания. В экономике среднеквадратическое отклонение называют стандартным отклонением.

Иногда ДСВ удобно задавать графически. При этом на оси абсцисс откладываются значения ДСВ, а на оси ординат – вероятность (или частота) их появления. Полученные точки соединяют отрезками. Такой график называют «многоугольник распределений».

Многоугольник распределений еще раз проявляет дискретный (прерывистый) характер ДСВ.