Диференціальні рівняння Латышев

Варіант 5

1. y′ = 2 y; y(0) = 3

2.4 + y2 + 1− x2 y′ = 0

3.y2 + x2 y′ = xyy′

4.

y

′

=

y + x

;

y(1) = 0

x

5.

xy′+ y −ex

= 0; y(0) =1

6.

y′

ex

ex +5

−

y =

ex +5

1− x2

7.

y′+

y

= −2 y2ln x

x

9.y′′+ 2 y( y′)3 = 0

10.y′′−10 y′+ 25y = 6e5x

11.y′′+ 25y = 2x2 +1

12.y′′−2 y′ = ex (x2 + x −3)

13.y′′−2 y′+ y = 4sin x;

′	= 0
y(0) =1, y (0)

14. y′′− y = 3ex +6e2 x

15.		′′		4e−2 x
	y		+6 y +8y = 2		+e2 x

8.y′′− 3 cos+sinx x y′ = 0

16.У середовищі зі сталою температурою 20°С помістили тіло, нагріте до 100°С. Через 10 хв температура тіла знизилася до 60°С. Через який час температура тіла дорівнюватиме 25°С?

17.Знайти лінію, у якої площа трапеції, яка утворюється: вісями координат, ординатою довільної точки і дотичною у цій точці, дорівнює половині квадрата абсциси.

	dx		= y	x(0)	= −2
18. dt
				y(0) = 2
dy			= −x + y,
dt

41

Варіант 6

1.

y′ = y + 2;

y(0) = 6

2.

y′sin2 x = y ln y

3.

(x2 + y2 ) y′ = 2xy;

y(1) =1

4.

2

′

y

2

y

x

y ln

= y

+ xy ln

x

x

5.

y

′

− ytgx =

1

;

y(0) = 0

cos x

6.

y′−

y

= x2 arcsin x

1− x2 arcsin x

7.

y′

−

4xy

=8x y

x2 −1

8.

y′′−

2e2 x

y′+e2 x +1 = 0

e2 x +1

9.y′′tgy = 2( y′)2

10.y′′+ y′+ 4y = x2 +1

11.y′′+ 4 y = xe2 x

12.y′′+9 y = cos3x

13.y′′−3y′ = x −2;

′	=1
y(0) = 0, y (0)

14.y′′+ y′ = 3e−x +sin x

15.y′′+9 y = sin93x

16.Куля, рухаючись зі швидкістю υ0=200 м/с, пробиває дошку товщиною h=0,1 м і вилітає з неї зі швидкістю υ1=60 м/с. Вважаючи, що сила опору дошки пропорційна до квадрата швидкості руху кулі, знайти час t руху кулі в дошці.

17.Знайти лінію, у якої відрізок, який відсікається на вісі ординат дотичною в довільній точці, є пропорційним до квадрата ординати точки дотику.

	dx		= x	− y	x(0)	= 0
18. dt
					y(0)	= 2
dy			= 2x + y,
dt

42

Варіант 7

1.	y′sin x = y ln y; y								π
									= e
									2
2.	4x + 4xy + 2 − x2 у′ = 0
3.	xy	′	− y = x tg			y
						x
4.	xyy′ = x2e−			y2		+ y2 ;			y(1)	= 0
				x2

5.(2x +1) y′−

6.e−x y′+ 7 +e−x

2 y = 4x; y(0) =1

y = 2x(7 +e−x ) 1+ x2

7. y′−2 y = y2ex

9.y′′+ 6y ( y′)2 = 0

10.y′′−7 y′ = (x −1)2

11.y′′+ y = 4sin x

12.y′′− y′ = 3ex ;

′	= 3
y(0) = 2, y (0)

13.y′′−4 y′+5y = 2xex

14.y′′−4 y′+ 4 y = 3e2 x −4sin 2x

15.y′′+9 y = cos93x

8.y′′− y′ = x2ex

16.Тіло масою m починає свій рух зі стану покою вздовж горизонтальної прямої лінії під впливом сили F=kt2. Знайти закон руху.

17.Знайти рівняння кривої, у якої площа криволінійної трапеції, утворена: осями координат, цією кривою і ординатою довільної точки на ній, дорівнює кубу цієї ординати.

	dx		= 2x −	9 y	x(0)	= 4
18. dt
					y(0) = 0
dy			= x +8y,
dt

43

Варіант 8

1.

(1+ex ) yy′ = ex ; y(0) =1

2.

y′cos2

x =

4 + y2

y

3.

xy′ = y − xe

y

;

y(1) = 0

x

y′ = y

+ e

−cos

y

4.

x

x

sin

y

5.

y

x

π

y′+

= cos x;

y

= 0

x

3

6.y′− y tgx = cosx x

7.y′− y tg x = y4 cos x

9.y′′−2 yy′ = 0

10.y′′−4 y′ = x2 −24x

11.y′′+ 2 y′+5y = 4sin x

12.y′′+6 y′+9 y = 9e−3x

13.	y	′′	+ y	′	= e	x	; y(0)	=1,	′	=1
									y (0)

14.y′′+ y = 2ex +cos x

15.y′′− y′ = 2ex1+1

8.y′′+ x( y′)2 = 0

16.Швидкість охолодження тіла у повітрі пропорційна різниці температур тіла і повітря. Температура повітря дорівнює 10°С. Відомо, що протягом 30 хв тіло охолоджується від 100°С до 20°С. Знайти закон зміни температури тіла від часу.

17.Знайти рівняння кривої, яка проходить через точку М0(1;2), якщо відношення ординати довільної її точки до абсциси втроє більш кутового коефіцієнта дотичної до цієї кривої, проведеної в тій самій точці.

	dx		= −x −2 y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0)	=1
dy			= 3x + 4 y,
dt

44

Варіант 9

1.

y′ = 2 yx;

y(1) =1

2.

y′cos2 x = sin2 2 y

3.

xy′− y = (x + y)ln

1

+

y

x

y 2

y

4.

y′ =

+

7

+9;

y(1) =1

x

x

5.

y′+ 2 y = 4

6.

y′+ 2xy = x2e−x2 ;

y(0) = 0

7.

y′+

2 y

4

3

x

= x

y

e

x

9.yy′′ = ( y′)2 (1− y′)

10.y′′−5y′+ 4 y = e2 x (4x +1)

11.y′′−7 y′ =14x

12.y′′+ 4 y′ = sin x;

′	=1
y(0) =1, y (0)

13.y′′− y′ = 2ex

14.y′′+16 y =16cos 4x −12e4 x

15.y′′+ 4 y = 4ctg 2x

8.(1+ x2 ) y′′+ 2xy′ = x3

16.Тіло масою m рухається прямолінійно. На нього діє сила

F=kt і сила опору середовища Fсопр=αυ. Знайти залежність швидкості тіла від часу, якщо при t=0 швидкость υ=0.

17.Знайти лінію, у якої довільна дотична перетинається із віссю ординат у точці, однаково віддаленою від точки дотику і від початку координат.

	dx		= 4x − y	x(0)	=1
18. dt
				y(0)	= −1
dy			= x + 2 y,
dt

45

Варіант 10

1.

xyy

′

=1− x

2

; y(1) =1

9.

2 yy

′′

=

′

2

( y )

2.

y ln y + x3 y′ = 0

10.

y′′− y′ = 6x2 +3x

3.

yy′ = x + y;

y(1) =1

11.

y′′+ 2 y′ = 2cos 4x

4.

y′ =

3y −2x

12.

y′′+ 4 y′−12 y =8sin 2x;

x + y

y(0) = 0,

y′(0) = 0

5.

xy′+ y −ex

= 0; y(1) = 0

13.

y′′−2 y′+ y =16ex

6.

y′−

y

= x

2

cos x

14.

y′′+36 y = 24sin 6x +36e6 x

x

7.

y′+ 2 y = y2ex

15.

′′

′

1

y

−3y

+ 2 y = 3 +e−x

8.y′′(x + 2) − y′ = e−x (x + 2)2

16.Матеріальна точка масою m=1 г віддаляється вздовж прямої від деякого центру з силою, яка пропорційна її відстані від

цього центру (к1=4 дин/см). Опір середовища пропорційний швидкості руху (к2=3 дин/см). На початку руху відстань від центра

1см, а швидкість дорівнює нулю. Знайти закон руху.

17.Знайти рівняння кривої, довільна дотична якої утворює з вісями координат трикутник, площа якого дорівнює 2.

	dx		= −x − y	x(0)	= 2
18. dt
				y(0) = −1
dy			= −7x −3y,
dt

46

Варіант 11

1.

xy′ = y −3;

y(1) = 0

2.

(x2 y3 + x2 ) y′+ x +1 = 0

xy′− y = cos2

y

3.

; y(1)

=1

x

4.

xy′ = yln

y

;

y(1) = e

x

5.

y

y′−

= x2 ;

y(1) = 2

x

6.

3x2

1

y′+

y = x4 −

x3 +1

x

7.

y′+

4 y

= 2x y

x

9.2 yy′′ =1+( y′)2

10.y′′− y′−2 y = (3x +7)e2 x

11.y′′+ y′ = 49 −2x2

12.y′′−4 y′+13y = (26x +5)

13.y′′+5y′+6 y =12cos 2x;

′	= 3
y(0) =1, y (0)

14. y′′+ y′ = ex +e−x

15.		′′		′			4e2 x
	y		−6 y		+8y = 1		+e−2 x

8.y′′− xy+′1 = x2 + x

16.Матеріальна точка масою m вільно падає під силою земного тяжіння. Нехтуючи опором повітря, знайти закон руху точки.

17.Знайти рівняння кривої, у якої точка перетину довільної дотичної з віссю абссцис однаково віддалена від точки дотику і від початку координат.

	dx		= −7x −5y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = 4
dy			= 4x −8y,
dt

47

Варіант 12

1.

y′cos x = ( y +1)sin x

9.

′′ 3

=1

y y

2.

x2 (e2 y +1) y′+ x + 2 = 0

10.

y′′−3y′−10 y = sin x;

′

y(0) =1, y (0) = -1

3.

xy′ = y +

xy

11.

y′′−4 y′ = 6x +1;

′

y(0) = 2, y (0) = 3

4.

xy

′

= y ln

2

x

y(1) =1

12.

5y′′−6 y′+5y =13e2 x

y ;

5.

y′+ y tg x = cos

2

π

1 13.

y′′+6 y′+9 y =10sin x + 2e−3x

x;

y

=

2

4

6.

y′

cos x

14.

y′′+ 4 y = cos 2x

+

y

= 2

1+sin x

7.

2 y′−

x

xy

15.

y′′+

4

=

4 y =

y

x2 −1

sin 2x

8.y′′(2 +cos x) + y′sin x = 0

16.Тіло масою 200 г підвішене на пружині і відведено із стану спокою відтягуванням пружини на 2 см, після чого відпущено без початкової швидкості. Знайти рівняння руху тіла, якщо опір середовища пропорційний швидкості руху (коефіцієнт пропорційності μ=10 дин/см·с; жорсткість пружини k=5000 дин/см).

17.Знайти рівняння кривих, у яких точка перетину довільної дотичної з віссю абсцис має абсцису вдвоє меншу за абсцису точки дотику.

	dx		= −5x −8y	x(0)	= 2
18. dt
				y(0) =1
dy			= −3x −3y,
dt

48

Варіант 13

1.

′

9.

′′

′

+1

2

y tg x = y

xy = (1+ x

) y ;

y(0) =1

2.

x

3

′

0

10.

y

′′

−5y

′

= e

2 x

(3x −1)

y ln y + 2 y =

3.

xy′ = y +

x

2

− y

2

11.

y′′−6 y′+9 y = 3x −1;

y(0) =1,

′

y (0) = 0

4.

′

1

y

12.

y′′−10 y′+ 25y =10e5x

y

=

arcsin

y + x ; y(1) =1

x

5.

y′

+

y

= x2

+2x

13.

y′′+ 225y = 2sin15x

x +2

6.

y′−3y = e−5x ;

y(0) = 4

14.

y′′− y = 2x −1+3ex

7.

y′

y

3

15.

y′′

16

+

= y

+16 y =

x

cos 4x

8.2 yy′′ = ( y′)2

16.На тіло діє сила, пропорційна часу, і опір середовища, пропорційний швидкості. Знайти закон руху тіла.

17.Знайти рівняння кривої, у якої відстань довільної дотичної від початку координат дорівнює абсцисі точки дотику.

	dx		= 3x + y	x(0)	=1
18. dt
				y(0) = 0
dy			=8x + y,
dt

49

Варіант 14

1.

x2 y2 y′+1 = y;

y(1) =1

2.

( y2 +1)tg xy′+ y3 = 0

3.

xy′ = y +

4x2 + y2 ;

y(1) = 0

4.

y′

=

4 y3 + x3

3xy2

5.

y′

−

y

= ex (x +1);

y(0) =1

6.

x +1

1

y′

+

y

=

ex

x2

x2 +1

7.

y′

+

y

= y

2

(x

3

+ 4)

x

9.y′′ = −2 y( y′)3

10.y′′+5y′+6 y = 4e−2 x

11.y′′+121y =11sin x;

′	= 0
y(0) =1, y (0)

12.y′′−4 y′ = 2x +5; y(1) = 2, y′(1) = 0

13.y′′+ 4 y′ = 2sin x

14.y′′+6 y′+9 y =sin3x −e−3x

15.y′′+16 y = sin164x

8.(1− x2 ) y′′ = xy′

16.Матеріальна точка масою m притягується до нерухомого центру з силою, пропорційною віддаленню її від центра. Знайти закон руху точки.

17.Знайти рівняння кривої, яка проходить через точку М0(0;-2), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в довільній точці є пропорційним квадрату ординати цієї точки.

	dx		= x + y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = 3
dy			= −10x − y,
dt

50