Диференціальні рівняння Латышев

Варіант 25

1.

уy

′

+ х = sin 3x; y(0) =1

9.

′

2

у′′+

2( y )

= 0

1− у

2.

y′cos2 хcos2 y +sin x +1 = 0

10.

y′′+ 2 y′+ у = 2 −3х2

3.

y′ =

у2

у

11.

y′′+100 у = 20sin10x

+ 2

; y(1)

=1

х2

х

4.

2

′

у2

12.

y′′+11y′ =11 е−11х;

х

y

=

+ ху

x

y(0) = 0,

′

sin

y (0) = 22

у

5.

y′+ ху = −х3; y(0) = 3

13.

y′′−4 y′+5у = sin x

6.

y′−

у

= lnx

14.

y′′−4 y′+ 4 у = 4xе3х +sin 2x

хlnx

7.

y′+

3у

= х3 у2 sin x

15.

y′′+3y′+

1

2 у =

х

ех +1

8.2ху′y′′ = ( у′)2 +1

16.Куля, яка рухається зі швидкістю υ0=400 м/с, пробиває стіну товщиною h=0,2 м і вилітає з неї із швидкістю 100 м/с. Якщо вважати, що сила опору стіни пропорційна до квадрата швидкості руху кулі, знайти час Т руху кулі в стіні.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(2;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці є пропорційним до квадрата ординати точки дотику з коефіцієнтом пропорційності k=2.5.

	dx		= х+ y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = −2
dy			= −8x −5y,
dt

61

Варіант 26

1.

y′ =

у+1; y(1) = 0

9.

уу

′′

′

2

−1 = 0

+( y )

2.

′ у

cos х

10.

y′′−4 у = 6е2 х

y е

+

= 0

у+1

3.

y′ =

у− х

y(1)

= 2

11.

y′′+ 25у = 30sin 5x

;

y + х

4.

y′ =

у2

12.

y′′−4 y′+8у = 3ех

ху− х2

y′′+5y′ = 2x;

5.

y′−

2 у

= ех(х

+1)2

; y(0) =1

13.

х+1

y(0) = 2,

′

6.

14.

y (0) =1

−х3

y′′−2 y′+ у = 3xех + 4sin x

7.

y′+ х2 у = xе 3

15.

1

у

х2

′′

′

y

+5y

+6 у = 1+е2 х

8.

y′−

х = у3

y′′−2ctg x у′ = sin3 x

16. Знайти закон руху матеріальної точки масою 2 кг вздовж

вісі ОХ, якщо на точку діє сила опору руху F=ν2 , де х – відстань до

х

початку координат. В момент часу t = 0 швидкість точки дорівнює

1м/с, відстань до початку координат дорівнює 1 м.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(1;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в кожній її точці є зворотно пропорційним квадрату ординати точки дотику з коефіцієнтом пропорційності k=1.

	dx		= х	−2 y	x(0)	= −1
18. dt
					y(0) = 0
dy			= 3x + y,
dt

62

Варіант 27

1.

хy′ = у2 ; y(1) =1

2.

е

у

у

′

+

cos 2х

= 0

у

3.

y′ =

у

+

х

;

y(1) =1

х

у

4.

х2 y′+ у2 −2ху = 0

5.

′

3

1

y

−4ху = −4

х

; y(0)

= −

2

6.y′+ cosу2 x = е−tg x − cos12 x

7.y′− 3ху = х5 3 у

8.		′ х
	y′′+	уе	= 0
		ех +1

9.1+( y′)2 = 2 уу′′

10.y′′+9 у =18sin 3x

11.y′′−4 у′+ 4 у = 5е2 x

12.y′′+8y′+ 20 у = х2 −5

13.y′′−3y′+ 2 у = 2cos x;

y(0) =1,	′	= 2
	y (0)

14. y′′+16 y′ = 2x +sin 2x

15.	y′′+	у	=	1
		4		cos	x
					2

16.Знайти закон руху матеріальної точки, якщо її швидкість зростає пропорційно до квадрата пройденого шляху і якщо при t = 0 точка знаходилась на відстані 4 м від початку руху і мала швидкість

16 м/с.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(2;3), в кожній точці якої дотична перпендикулярна до радіуса-вектора точки дотику.

	dx		= 2х− y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) =1
dy			= x + 4 y,
dt

63

Варіант 28

1.

хy′ = (х2 +1) у; y(1) = 2

2.

уу′cos х+е−2 у sin x = 0

3.

y′ =

2ху

y(1) = 2

;

х2 − у2

4.

хy′cos

у

= уcos

y

− х

х

х

5.

y′−

у

2

;

y(1) =1

= −

х

х2

6.

y

′

+

у

=

е−arcsin x

1− x2

х

7.y′− х2у+1 = ху

8.(е2 х +1) y′′−2е2 х у′ = (е2 х +1)2

9.( y′)2 + 2 уу′′ = 0

10.y′′−6 у′+9 у = 4е3x

11.y′′+ 4 у =8sin 2x

12.y′′−3y′+ 2 у = 5хех

13.y′′−9 y = 2x2 ;

y(0) =1,	′	= 0
	y (0)

14. y′′−4 y′ = sin 4x +8x

15.	y	′′	+ у =	1
				cos 2х

16. Моторний човен рухається по озеру зі швидкістю 20 км/год. Через 40 с після виключення двигуна швидкість човна зменшилась до 8 км/год. Опір води пропорційний до швидкості руху човна. Якою буде швидкість човна через 2 хв після виключення двигуна?

17. Знайти криву, яка проходить через точку М0(2;8), для якої кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці в 3 раза більше за кутовий коефіцієнт прямої, яка з’єднає ту саму точку з початком координат.

	dx		= 2х− y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = 2
dy			= x +3y,
dt

64

Варіант 29

1.

′

y(1) = 3

9.

′

2

хy = у ;

у′′+

2( y )

= 0

1− у

2.

(х2 −1)е3 у у′+ х+ 2 = 0

10.

y′′−8у′+17 у = 2х2 +1

3.

y

2

+ х

2

у

′

′

y(1)

= 2

11.

y′′+16 у = 64cos 4x

= хуу ;

4.

(х+ у) y′ = 4 у−2х

12.

y′′−14 y′ = 3х;

y(0) =1,

′

y (0) = 0

5.

y′

+

у

= ln x +1;

у(1)

=1

13.

y′′−9 y = 2е3х

х

6.

y′

−

у

= 5х

14.

y′′−6 y′−7 у = еx + x2

2

7.

y′

−

у

=

у

15.

y′′+ 4 у = ctg 2х

х

8.хy′′− у′ = х2ех

16.Точка масою m рухається під дією сили, прямо пропорційно часу t від початку руху і зворотно пропорційно швидкості руху υ. Знайти залежність швидкості руху від часу, якщо

υ0 = 1 м/с.

17. Знайти криву, яка проходить через точку М0(2;4), якщо відрізок , який відсікається на вісі абсцис дотичною, яка проведена в довільній точці кривої, дорівнює квадрату абсциси точки дотику.

	dx		= 2 y	x(0)	= −2
18. dt
				y(0) = 0
dy			= x − y,
dt

65

Варіант 30

1.

х

9.

уу

′′

′

2

=1

у′

=

;

y(1) =1

+( y )

у

2.

е

х2 +у

у′

х

10.

y′′−6 у′+10 у = е3х

+

= 0

у

3.

′

у

11.

y′′− у′ = 3x2 +1;

хy

= уln х; y(1) = 2

y(0) = 2,

′

y (0) = 0

4.

y′

=1,5

х+ у

12.

y′′−7 y′+12 у = 6хех

х− у

5.

y′−2 у = ех − x; y(0) =1

13.

y′′+9 y =12cos3x

6.

y′

−

sin x

у = 4sin

х

14.

y′′+5y′+6 у = 2е−3x + 4е3х

cos хln(cos x)

7.

y′

у

у2

15.

y′′

+

у

=

1

ctg

х

−

=

4

2

2

х

х3

8.y′′− х22+х1 у′ = 0

16.Матеріальна точка масою m падає в середовищі з опором, пропорційним швидкості точки. Знайти закон зміни швидкості, якщо при t=0 швидкість υ=0.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(1;2), якщо добуток кутового коефіцієнта дотичної в довільній точці на суму координат точки дотику дорівнює подвійній ординаті цієї точки.

	dx		= 2х+ y	x(0)	= −1
18. dt
				y(0) = 0
dy			= x +3y,
dt

66

ЛІТЕРАТУРА

1.Дубовик В. П. Вища математика / В. П. Дубовик, І. І. Юрик. –

К.: Вища шк., 1993.

2.Пак В. В. Вища математика / В. В. Пак, Ю. Л. Носенко. – К.: Либідь, 1996.

3.Пискунов Н. С. Дифференциальные и интегральные исчесления : В 2 т / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.

4.Бугров Я. С. Дифференциальные и интегральные исчесления / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1980.

5. Самойленко А. М. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, М. О. Перестюк. –

К.: Вища шк., 1994.

67

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

до теми «Диференціальні рівняння»

Відповідальний за випуск Т.О. Ярхо

В авторській редакції

Комп’ютерна верстка О.В. Веретільника

	План 2010 р. Поз. 119.
Підписано до друку	.2010 р. Формат 60×84 1/16. Папір газетний.
Гарнітура Times New Roman Cyr . Віддруковано на ризографі.
Ум. друк. арк.		. Обл.-вид. арк. .
Зам. №	/10. Тираж	прим. Ціна договірна.

ВИДАВНИЦТВО Харківського національного автомобільно-дорожнього університету

Видавництво ХНАДУ, 61002, Харків-МСП, вул. Петровського, 25.

Тел. /факс: [phone], e-mail: [e-mail]

Свідоцтво Державного комітету інформаційної політики, телебачення та радіомовлення України про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції, серія ДК №897 від 17.04 2002 р.

68