Диференціальні рівняння Латышев

Варіант 15

1. xy +(x +1) y′ = 0; y(1) =1

2.( y2 +1)xy′+(1+ x2 ) y5 = 0

3.xy′ = xsin2 xy + y

4.

y

′

=

3y2 +6xy +6x2

y(1) =1

;

2xy +5x2

5.

y′

y

= xsin x; y(

π

1

−

2) =

x

2

6.

y′

cos x

+

y

= cos x

sin xln(sin x)

7.

y′

+

y

= y (2x −1)

x

9.yy′′′ = xln1 x

10.y′′+ 4 y′+ 4 y =8e−2 x

11.y′′+ 2 y′+ y = 2cos x;

y(0) =1,		′	= 0
		y (0)
12. y′′+	3y′ = 6 −3x;
y(0)	=1,	′	=1
		y (0)

13.y′′+64 y = 2sin8x

14.y′′−4 y′+5y = 2 −3ex

15.y′′−2 y′ = 1+4е2 x

8.2 yy′′+( y′)2 +( y′)4 = 0

16.Човен масою m=48 кг, з початковою швидкістю υ0=10 м/с, рухається прямолінійно з силою опору води R=-μυ. Знайти коефіцієнт μ сили опору, якщо після проходження відстані в 50 м швидкість човна дорівнює 5 м/с, а також час, за який човен пропливе цю відстань.

17.Знайти рівняння кривих, у яких площа трикутника, обмеженого: дотичною, віссю абсцис і відрізком від початку координат до точки дотику є сталою величиною і дорівнює а.

	dx		= 4x +6 y	x(0)	= 4
18. dt
				y(0) = 0
dy			= 4x + 2 y,
dt

51

Варіант 16

1.

xyy′ =

y2 +1;

y(1) = 2

9.

y′′

+

y′

= x

2

x

2.

е

3 y

′

3 y

(x

2

−5x +6)

= 0

10.

y

′′

+ y

′

−

2 y = xe

4 x

+ 2 + y е

3.

′

2

y

π

11.

y′′+5y′+6 y = 6x2 +5;

xy

= xcos

x + y; y(1) = 4

y(0) =1,

′

y (0) = 0

4.

y′

y

2

y

12.

y′′+9 y = е−3x ;

=

2 +ln

x

′

x

y(0) = 0,

y (0) = 0

5.

y′

+

y

= sin x;

y(π) =

1

13.

y′′+16 y = 2sin 4x

x

π

6.

y′+ x3 y = 2x3

14.

y′′− y = sin x + 2ex

7.

y′

1

15.

y′′

y

1

x

+ y ctgx =

+

=

ctg

y

4

4

2

8.2 yy′′ = ( y′)2

16.Знайти закон руху матеріальної точки масою 0,1 кг, яка

рухається горизонтально під дією сили пружності пружини Fупр=-kx, k=0.1 Н/м. Сила опору руху пропорційна швидкості руху з коефіцієнтом пропорційності μ=0,2 Н·с/м. Рух починається із положення рівноваги з початковою швидкістю 0,3 м/с.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(1;⅓), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в довільній точці кривої втроє більший за кутовий коефіцієнт прямої, проведеної з початку координат до точки дотику.

	dx		= 4x +6 y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = −2
dy			= 4x + 2 y,
dt

52

Варіант 17

1.

(x

2

−1) y

′

+ 2xy

2

= 0; y(0) =1

9.

′ 2

+ yy

′′

= 0

1+( y )

2.

(е2 y

+1)(x3 + x) y′+е2 y = 0

10.

y′′+

49 y = 7cos x

3.

y

′

е

−

y

y

y(1) = 0

11.

y′′+

2 y′+ y = (18x + 21)е−x

x

=

+ x ;

4.

y′ =

y

+cos2

y

е

−tg

y

12.

y′′−13y′+12 y =18х2 −39;

x

x

x

y(0)

′

= 0, y (0) = 0

5.

y′+

2 y

= x2 ;

y(1) =1

13.

y′′+ y′ = 2cos x

x

6.

х3 y′−2 y =1

14.

y′′+16 y =16cos 4x +32e4 x

7.

y′−4 y = x4 y

15.

′′

′

1

y

−

3y

+ 2 y = 2 +е−х

8.y′′+1+хyх′2 = 1+х3х2

16.Знайти рівняння вимушених горизонтальних коливань тягаря масою m=0.1 кг на пружині жорсткістю 0,4 Н/м під впливом зовнішньої сили, яка змінюється за законом F = sin 3t Н. Рух починається з положення рівноваги без початкової швидкості.

17.Знайти рівняння кривої, яка проходить через точку М0(1;4), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в довільній точці дорівнює добутку абсциси і ординати точки дотику.

	dx		= −4x −6 y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = 4
dy			= −4x −2 y,
dt

53

Варіант 18

1.

′

π

y ctg х+ y =

2; y( 4)

= 0

2.

′

−2 х

sin

2

y + х = 0

y е

3.

y′

=

y

−

y2

y(1) = 4

;

x

x2

4.хy′ = y2 −8х2 + y

5.y′+ 4 y = 3x

6.	y′		+	2хy		=	2х2			y(0) =	2
									;
				х2 +1			х2 +1				3
7.	y	′	−4 y =		xе3х
						у

9.y′′(1+ y) = 5( y′)2

10.y′′− y′ = 5(x + 2)2

11.y′′+ 4 y′+ 4 y = е−2 x ;

′	= 2
y(0) = 0, y (0)

12.y′′+ 2 y′+ y = 2sin x

13.y′′+169 y = sin13х

14.y′′+ y = 2sin x + 4ex

15.y′′+ y = сos1 x

8.y′′ = ( у′+1)ctg x

16.Матеріальна точка масою m=2 кг без початкової швидкості занурюється в рідину. Сила опору рідини пропорційна швидкості занурення з коефіцієнтом пропорційності k=0.02 H/с. Знайти швидкість точки через 0,1 с після початку занурення.

17.Через точку М0(2;1) провести криву, для якої дотична в довільній точці збігається з напрямком радіуса-вектора, проведеного в точку дотику.

	dx		= −5x −4 y	x(0)	= −2
18. dt
				y(0) = 0
dy			= −2x −3y,
dt

54

Варіант 19

1.

y′ = 33 y2

= 2;

y(2) =8

2.

′ −3x

sin

2

y = x +1

y e

3.

−

y

y

у

y′ = е

x sin2 e x +

;

y(1) = 4

х

4.

хy′ = у+

2х2 + хy;

у(1) = 2

5.1− х2 y′+ y =1

6.	y′+	y		= −			12			; y(1) = 4
		х						х3
7.	y′+	3y			=		3 у				sin x
		х						х2

9.					′ 2
	y	′′	=	1+( y )
					2 у

10.y′′+ 2 y′+5у =17sin 2x

11.y′′+ y′ = 49 −24х;

′	= −2
y(0) = 0, y (0)

12.y′′−6 y′+9 y = 4xех

13.y′′+36 y =12cos6х

14.y′′− y′ = x +3e2 x

15.y′′+ y = сos1 x

8.хy′′+ 2 у′ = x3

16.Матеріальна точка масою m рухається вздовж вісі ОХ під дією сили, яка пропорційна до відхилення точки від початку координат і спрямований до початку координат. Знайти закон руху точки, якщо в час t=0 вона мала координату х0 і швидкість υ0.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(1;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці втроє більше ніж сума абсциси і ординати точки дотику.

	dx		= −x	−2 y	x(0)	= 0
18. dt
					y(0) = 3
dy			= −3x + 4 y,
dt

55

Варіант 20

1.

хy′+ у = у2 ; y(1) = 0,5

2.

′

3

+ х)sin у

= x +1

y (х

3.

х2 y′ = ху− у2 ;

y(1) = 0

4.

y

′

=

2 у6 + х6

ху5

5.

2 y

-5

y′+

= х3;

y(1) =

,

х

6

6.(1+ х2 ) y′+ у =1;

7.y′− 2хy = lnуx

9.3уy′′+( y′)2 = 0

10.y′′+ y′−2 у =8sin 2x

11.y′′+ 2 y′−3у =8хех

12.y′′−13y′+12 y = x −1;

y(0) = 2,	′	= 3
	y (0)
13. y′′+ 4 y′ = 4х;
y(0) = 3,	′	= 2
	y (0)

14.y′′+ 4 y =8sin 2x −16cos 2x + 4e2 x

15.y′′+ y = 2ctg x

8.yу′′′ =1−xх2

16.Швидкість радіоактивного розпаду радію пропорційна до його початкової кількості R. Знайти залежність R від t. Скласти диференціальне рівняння і визначити коефіцієнт пропорційності, якщо відомо, що за 1600 років залишиться половина початкової кількості радію.

17.Довести, що крива, у якої кутовий коефіцієнт дотичної в довільній точці є пропорційним абсцисі точці дотику, є парабола.

	dx		= 2x	+3y		x(0)	= −1
18. dt
						y(0) = 0
dy			= −3x +		2 y,
dt

56

Варіант 21

1.

хy′− у = у3;

y(1) = 2

9.

у y′′

= −

1

′ 2

3

( y )

2.

′

2

x

10.

y′′− y′ = 3x2 −2х+1

y

1− х sin у = у

3.

хy′ = у−2 ху;

y(1) = 4

11.

y′′+ 2 y′+5у = cos x

4.

y′

=

х

у + у

х + у у

12.

y′′−3y′+ 2 y = 4еx ;

х

х

y(0) =1,

′

y (0) = 2

5.

y′

+

y

= 3х;

y(1) =1

13.

y′′+81y = 3cos9х

х

6.

′

у

14.

y′′+ 2 y′+ у = 2ex + 4sin x

y arctg x +

= arctg x

1+ х2

7.

y′

y

2

3

15.

еx

+

= −4 у

ln

x

y′′−2

у′+ y =

х

х

8.y′′ = ух′ + х

16.Знайти закон руху і швидкість тіла, якщо зростання його швидкості пропорційно шляху, і якщо в початковий момент руху тіло знаходилось в 8 м від початку відліку і мало швидкість 24 м/с.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(1;⅓), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до неї в довільній точці втроє більше кутового коефіцієнта радіус-вектора точки дотику.

	dx		= 4x	+5y		x(0)	= 0
18. dt
						y(0)	= −1
dy			= −4x −		4 y,
dt

57

Варіант 22

1.

2х2 уy′+ у2 = 2;

y(1) = 3

9.

у3 y′′

=1

′ 2

( y )

2.

′

2

x

10.

y′′+ y′ =12x +6

y

1+ х cos у = у

3.

хy′ = у+

х2 + у2 ;

y(1) =1

11.

y′′+ y′−6 у = (20х+14)е2 x ;

′

=1

у(0) =1, у (0)

4.

х

2

y

′

=

у

2

+ х

2

+ ху

12.

y′′+ 25y = 50sin 5x

arctg

y

х

5.

2хy

13.

y′′+ 4 y = е−4 х

y′

−

=1+ х

2

;

y(2) = 3

1− х2

6.

y′

+

4xу

= 2х у

14.

y′′−4 y′+ 4 у = 2е2 х + х

х2 + 2

7.

y′+

4

хy

= 2x

у

15.

y′′+ 2 y′+ у = 3

х+1

2

+ 2

ех

х

8.(1+ х2 ) y′′+( у′)2 +1 = 0

16.За який проміжок часу тіло, нагріте до 80 °, охолоне до 30° в кімнаті з температурою 20°, якщо до 60° воно охолоджується за 10 хв? (Швидкість охолодження пропорційна різниці температур тіла і навколишнього середовища).

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(2;3), якщо відрізок довільної її дотичної, який міститься між координатними вісями, ділиться навпіл точкою дотику.

	dx		= 2x	+3y		x(0)	= 0
18. dt
						y(0) = −2
dy			= −3x +		2 y,
dt

58

Варіант 23

1.

y

′

−

ху

2

= 2ху;

y(1) = 2

9.

′

2

= −2 yу

′′

( y )

2.

′

2

1

10.

y′′−4 y = x2 −24х

y

cos

хsin 2 y = у

3.

2хуy′ = х2 + у2 ;

y(1) =1

11.

y′′− y′−2 у = (6х−11)е−x

4.

y′

=

у2 +3ху

12.

y′′+6 y′+9 у =18е−3x ;

2х2 + ху

y(0) =1,

′

y (0) = 2

5.

y′

3y

2

; y(1) =1

13.

y′′−3y = 5sin 2x

+

=

х

х3

6.

−1

14.

y′′−3y′ = 2cos3x +е3х

х2 y′− у = х2е х

7.

y′−2 у = у3е−х

15.

y′′+ 4 у = tg2x

8.хy′′ = у′ln ух′

16.Знайти закон руху матеріальної точки масою 0,1 кг під дією сили F=kt2 (k=0.3 Н/с2), якщо сила опору руху пропорційна швидкості руху з коефіцієнтом пропорційності μ=0,1 Н·с/м. При t=0 швидкість точки υ=0.

17.Знайти криву, яка проходить через точку М0(2;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної у кожній точці дорівнює подвоєному кубу ординати точки дотику.

	dx		= x + y	x(0)	=1
18. dt
				y(0) = 0
dy			= −5x −3y,
dt

59

Варіант 24

1.

y

′

= е

х+у

; y(0) = 0

9.

yу

′′

=

′

2

′

( y )

(1− у )

2.

′

1

10.

y′′−4 y = е2 x

y

cos 2 y = уsin2 x

3.

2хуy′ = 3у2 − х2 ;

y(1) =1

11.

y′′+ 2 y′+5у = sin 2x

4.

х

12.

y′′+ 4 y′ = х;

х2 y′ = у2еу + ху

y(0) =1,

′

= 2

y (0)

5.

y′+ 2ху = −2х3;

y(0) = 3

13.

y′′+ 4 y = 4е2 x

6.

y′

2 у

1

14.

y′′+6 y′+9 у = 9xе−3х +18sin3x

−

= sin

х

х

7.

y′+ усtg x = у4 sin x

15.

′′

2

y

+ y = cos3 x

8.y′′ = ух′ + хех

16.Швидкість, з якою вода витікає з циліндра через малий отвір, дорівнює 0,6 2gh , де h – висота стовпа рідини над отвором,

g – прискорення сили тяжіння. За який час вода витече із циліндра з діаметром 1,8 м і висотою 2,45 м через круглий отвір у дні циліндра діаметром 6 см. Вісь циліндра вертикальна.

17. Знайти криву, яка проходить через точку М0(1;2), у якої точка перетину довільної дотичної з віссю ОХ має абсцису, яка дорівнює половині абсциси точки дотику.

	dx		= y	x(0)	= 0
18. dt
				y(0) = −2
dy			= 3x + y,
dt

60