- •Практичне заняття № 1 Тема: Скінченновимірні векторні простори над полем
- •1. Поняття векторного простору над полем
- •2. Лінійна залежність системи векторів Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного просторуназивається векторвигляду
- •3. Ранг матриці
- •4. Базис і розмірність векторного простору
- •6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія)
- •Слар сумісна .
- •Слар має єдиний розв’язок
- •Слар має безліч розв’язків
- •Зміст практичного заняття
4. Базис і розмірність векторного простору
Означення. Базисом векторного простору називається така впорядкована система векторів, що
1) вона лінійно незалежна;
2) кожен вектор просторулінійно виражається через вектори цієї системи, тобто.
Означення. Векторний простір називається-вимірним, якщо в ньому існує базис з елементів. Числоназиваєтьсярозмірністю простору і позначається . Простір скінченної розмірності називається скінченновимірним. Простір, в якому можна знайти будь-яке число лінійно незалежних векторів називається нескінченновимірним.
Отже, розмірність векторного простору – це максимальне число лінійно незалежних векторів цього простору.
Теорема (про зв'язок між базисом і розмірністю). Система векторів утворює в просторірозмірностібазис тоді і тільки тоді, коли вона лінійно незалежна, а число векторів в ній дорівнює розмірності простору.
5. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом. Для того, щоб вектори з векторного простору можна було б задавати за допомогою чисел і зводити операції над векторами до операцій над числами, вводиться поняття координат вектора.
Нехай – деякий базис векторного простору. Тоді будь-який векторможна подати у вигляді (1):, де– деякі дійсні числа, причому єдиним чином. В цьому випадку вираз (1) називається розкладом вектораза базисом.
Означення. Коефіцієнти розкладу (1) називаються координатами вектора в даному базисі. Упорядкований набір координат вектора називається його координатним рядком і позначається :
.
Таким чином, базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора. Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями-рядками: якщо ів деякому базисі, то
,
.
Разом із координатними рядками можна розглядати координатні стовпці , отримані транспонуванням-матриці.
6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія)
Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь
(3)
з матрицею
і розширеною матрицею
.
Систему (3) можна записати у вигляді
(4)
Згадаємо, що розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3) називається впорядкований набір з чиселтакий, що після заміни невідомихчисламикожне з рівнянь системи (3) перетворюється на тотожність. Система, що має хоча б один розв’язок, називаєтьсясумісною, а якщо система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною. Дві системи з одними ф тими самими невідомими, які мають одну й ту саму множину розв’язків, називаються рівносильними (еквівалентними).
Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (3) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матрицісистеми.
Слар сумісна .
Якщо для заданої системи виконується рівність , то цю систему називають системою рангу.
Нехай система (3) сумісна і її ранг дорівнює .
Означення. Базисними рівняннями називаються рівняння системи, яким відповідають базисних рядків матрицісистеми.Базисною підсистемою називається підсистема всіх базисних рівнянь системи.
Теорема (про сумісну систему). Сумісна система лінійних алгебраїчних рівнянь еквівалентна будь-якій своїй базисній підсистемі.
Нехай для системи (3) базисну підсистему утворюють перші рівнянь, тобто базисною є підсистема
(5)
Очевидно, що ранг системи не перебільшує числа невідомих, тобто завжди виконується нерівність . Звідси випливає
Теорема (про число розв’язків системи) 1. Якщо ранг сумісної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.