Ю.Д.Жданова. Лекції з ВГПМ. М1 Прикладні аспекти ЛА. Лекція № 1

Лекція 1 Тема: Скінченновимірні векторні простори

План лекції:

1. Поняття, приклади і властивості векторного простору над полем

2. Лінійна залежність системи векторів.

3. Ранг матриці.

4. Базис і розмірність векторного простору.

5. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом.

6. Ізоморфізм векторних просторів.

7. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія).

8. Підпростори векторного простору.

1. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору над полем

У різних розділах математики лінійні операції додавання і множення на число виконуються не тільки над векторами, а й над різними іншими об’єктами: матрицями, функціями, многочленами, тощо. Можливість підходити до цих об’єктів із загальної точки зору дає поняття векторного (лінійного) простору.

Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які будемо позначатиі нехай– деяке довільне числове поле, елементи якого будемо позначати. Визначимо в множиніоперацію додавання елементів: і операцію множення елемента на число з поля : .

Означення. Множина називаєтьсявекторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля, причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1. – асоціативність додавання;

2. – комутативність додавання ;

3. :– існування нульового елемента ;

4. :– існування протилежного елемента;

5. – асоціативність множення на число;

6. .

7. – дистрибутивність відносно додавання чисел ;

8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).

Будемо позначати векторний простір, визначений на множині черезабо. Якщо полеє поле дійсних чисел, то векторний простірназиваєтьсядійсним векторним простором; якщо поле є полем комплексних чисел, то векторний простірназиваєтьсякомплексним векторним простором.

Приклади векторних просторів:

1) Множина дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є дійсним векторним простором. Множинакомплексних чисел відносно операцій додавання комплексних чисел і множення комплексних чисел на дійсні числа є дійсний векторний простір.

2) Множина всіх геометричних векторів звичайного тривимірного простору з початком в точці відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число утворює дійсний векторний простір.

Множина всіх векторів деякої площини і деякої прямої відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число також є дійсними векторними просторами. Позначимо їх відповідно і.

3) Сукупність всіх матриць розмірностіз дійсними елементами утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання матриць і множення матриць на число.

4) Множина всіх векторів – розв’язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами з поля відносно операцій додавання векторів і множення вектора на число з поля.

5) -вимірний арифметичний (координатний) простір над полем _– множина всіх-вимірних числових векторів з компонентами з поля_, тобто впорядкованих наборів з чиселз поляразом з операціями додавання векторів і множення вектора на число з поля, для яких виконуються всі властивості лінійних дій над векторами.

6) Сукупність всіх многочленів від змінноїстепеня не вищез дійсними коефіцієнтами відносно операцій додавання многочленів і множення многочленів на число утворює дійсний векторний простір.

7) Сукупність всіх неперервних функцій дійсної змінної, які визначені на деякому проміжку , утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання функцій і множення функцій на число. Роль нуль-вектора відіграє функція, яка тотожно дорівнює нулю.

З означення безпосередньо випливають наступні

Найпростіші властивості векторного простору:

1) Єдиність нульового вектора. В векторному просторі існує єдиний нульовий вектор, тобто такий, що: . (аксіома 3)

2) Єдиність протилежного елемента. В векторному просторі для будь-якого вектора існує єдиний вектор такий, що . (аксіома 4)

3) Для будь-якого вектора .

4) Для будь-якого числа і.

5) Якщо добуток , то або, або.

6) Для будь-якого вектора елементє протилежним до.

2. Лінійна залежність системи векторів

Вектор називається пропорціональним вектору, якщо для деякого числа. В аналітичній геометрії такі вектори називалися колінеарними.

Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного просторуназивається векторвигляду

.(1)

де – деякі числа з поля(коефіцієнти лінійної комбінації).Якщо вектор записаний у вигляді (1), то кажуть, що вінрозкладений за системою векторів , або що він лінійно виражається через вектори .

Означення. Система векторів векторного просторуназиваєтьсялінійно залежною, якщо існують числа , які не всі водночас дорівнюють нулю (), такі що

(2)

Система векторів називаєтьсялінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку, коли .

Теорема (про лінійну залежність векторів). Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.

Приклади лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.

1) У векторному просторі комплексних чисел векториіутворюють лінійно незалежну систему.

2) В арифметичному числовому векторному просторі система одиничних векторів,,…,лінійно незалежна.

3) У векторному просторі геометричних векторів будь-які чотири вектори лінійно залежні, а будь-які три некомпланарні вектори лінійно незалежні.

Аналогічно, у векторному просторі будь-які три вектори лінійно залежні, а будь-які два неколінеарні вектори лінійно незалежні.

4) У векторному просторі всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами многочленилінійно незалежні.

5) У векторному просторі всіх неперервних функцій дійсної змінної на числовій прямій система функцій ,, 1 лінійно залежна, оскільки

.

(Як відомо, функція 1 є лінійною комбінацією функційі:

).

Теорема (про лінійну залежність системи векторів). Якщо деяка підсистема заданої системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Наслідок 1. Скінченна система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно залежна.

Наслідок 2. Скінченна система векторів, яка містить пропорціональні вектори, лінійно залежна.

Наслідок 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема лінійно незалежна.

Означення. Кажуть, що система векторів лінійно виражається через систему векторів, якщо кожен вектор системилінійно виражається через вектори.

Означення. Дві скінченні системи векторів називаються еквівалентними, якщо вони лінійно виражаються одна через одну.

Теорема (Основна теорема про лінійну залежність векторів). Нехай задані дві системи векторів і, причому перша лінійно незалежна і лінійно виражається через другу. Тоді число векторів в першій системі не перебільшує числа векторів в другій, тобто.

Наслідок. Будь-які дві еквівалентні лінійно незалежні системи векторів мають однакове число векторів.

Означення. Базисом системи векторів називається будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема. Число векторів в базисі називається рангом системи векторів.

Теорема (про ранги двох систем векторів). Нехай задані дві системи векторів, причому ранг першої дорівнює , а ранг другої дорівнює. Якщо перша система лінійно виражається через другу, то. Якщо дві системи еквівалентні, то.