0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfЗокрема: |
|
|
|
|
|
|
||
а) якщо просторова крива задана рівняннями x = x(t), y = y(t), |
z = z(t), |
|||||||
t [α, β] , то |
|
|
|
|
|
|
||
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ (x′(t))2 + ( y′(t))2 + (z′(t))2 dt; |
|
|
|||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
б) якщо плоска крива задана рівнянням y = y(x) , x [а; b], тоді |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ |
′ |
2 |
dx. |
|
|
(2.32) |
|
|
1+ ( y (x)) |
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Площу Р циліндричної поверхні, визначеної невід’ємною функцією z = f (x, y) , напрямною АВ у площині Оху, а твірні поверхні паралельні осі Оz, визначають за формулою
|
|
|
|
|
|
P = ∫ |
f (x, |
y)dl. |
|
|
|
|
|
(2.33) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Масу m кривої L обчислюють за формулою |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m = ∫ γ(x, y)dl, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де γ (x, y) — лінійна густина матеріальної кривої у точці M (x, y) . |
|
|||||||||||||||||||
4. |
Координати xc , |
yc центра маси кривої L знаходять за формулами |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
∫ xγ (x, y)dl |
|
|
∫ yγ (x, y)dl |
|
(2.34) |
||||||||||
|
|
|
= L |
|
, y |
|
= L |
|
. |
|
||||||||||
|
|
c |
|
|
m |
|
|
c |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Площу S плоскої фігури, розміщеної у площині Оху і обмеженої |
|||||||||||||||||||
замкненим контуром L, обчислюють за формулою |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
S = |
1 |
|
∫ xdy − ydx. |
|
|
|
|
|
(2.35) |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Роботу сили F = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k |
(функції P(x, |
y, z), |
Q(x, y, z), R(x, y, z) неперервні на просторовій кривій L) при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої L визначають за формулою
171
|
|
|
|
A = ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зокрема, якщо крива L лежить у площині Оху, |
тоді сила F = P(x, |
y)i + |
||||||||||||||||||||||||||||
+Q(x, |
y) j при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої L виконує |
|||||||||||||||||||||||||||||
роботу |
|
|
|
|
|
|
|
A = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.36) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Т.3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. Обчисліть криволінійні інтеграли першого роду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
∫ xdl, |
|
де AB — дуга параболи |
y = x2 від точки А (0; 0) до точки |
||||||||||||||||||||||||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B (1; 1) (рис. 2.47); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) ∫ x2 ydl , де L — дуга кола x2 + y2 |
= 1 , розміщена у першій чверті |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.48). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання: а) Знаходимо y′ = 2x і за формулою (2.23) дістаємо |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ xdl = ∫ x |
1+ 4x2 dx = |
∫ |
|
1+ 4x2 d(1+ 4x2 ) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
0 |
|
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
1 |
(1+ 4x2 )3 |
|
1 |
= |
|
1 |
(5 5 −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
Параметризуємо дугу L: x = cos t, |
|
y = sin t, |
0 ≤ t ≤ |
π . Тоді за фор- |
|||||||||||||||||||||||||
мулою (2.25) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
t |
2 |
|
1 |
|
|||
∫ x2 ydl = ∫ cos2 t sin t |
|
|
sin2 t + cos2 tdt = − ∫ cos2 td(cos t) = − |
|
= |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
3 |
||||||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
В |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
х |
|
|
|
О |
|
А |
х |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.47 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відносно площини y = x , то можна обмежитися обчисленням інтеграла
лише вздовж четвертої частини кола, що міститься у першій чверті площини Оху, і результат подвоїти. Дістанемо
y = 4 − x2 , y′ = − |
|
x |
|
, |
|
|
|
|||||||
4 − x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1+ ( y′)2 = |
|
4 |
, dl = 1 |
+ ( y′)2 dx = |
|
2dx |
, |
|||||||
|
− x2 |
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 − x2 |
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 = 8. |
|||
P = ∫ f (x, y)dl = 2∫ x 4 − x2 |
|
dx = 2 x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
L |
0 |
|
4 − x2 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
6. Обчисліть криволінійні інтеграли другого роду:
а) ∫ x2 dx + xydy , якщо АВ — відрізок, що з’єднує точки А(1; 1) і В(2; 3)
AB
(рис. 2.53);
б) ∫ (x − y)dx + (x + y)dy , якщо L — ламана ОАВ, де O(0; 0), A(2; 0), В(2; 3)
L
(рис. 2.54);
в) ∫ xdx + y2 dy , якщо AB — дуга параболи |
y = x2 від точки А(0; 0) до |
||||
AB |
|
|
|
|
|
точки В(2; 4) (рис. 2.55); |
|
||||
г) ∫ |
dx |
− |
dy |
, якщо L — перша чверть кола x2 |
+ y2 = 4 (обхід здійсню- |
|
|
||||
L y |
|
x |
|
||
ється за годинниковою стрілкою). |
|
Розв’язання: а) Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки
А(1; 1) і В(2; 3): |
x − 1 |
= |
y − 1 |
, тобто y = 2x − 1. Рівняння |
відрізка АВ: |
||||
2 − 1 |
3 − 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
y = 2x − 1, 1 ≤ x ≤ 2 . Тепер за формулою (2.28) дістаємо |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
26 |
|
|
∫ x2 dx + xydy = ∫ (x2 + x(2x − 1) 2)dx = ∫ (5x2 − 2x)dx = |
|
. |
|||||||
3 |
|||||||||
AB |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
б) Запишемо інтеграл у вигляді суми двох інтегралів, перший з яких візьмемо вздовж відрізка ОА, а другий — вздовж відрізка АВ. На відрізку
ОА y = 0, dy = 0, 0 ≤ x ≤ 2, тому
175
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (x − y)dx + (x + y)dy = ∫ xdx = 2. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
OA |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
На відрізку AB x = 2 , |
dx = 0 , |
0 ≤ y ≤ 3 , значить, |
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
|
|
|
3 |
|
|
y2 |
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − y)dx |
+ (x + y)dy = |
|
(2 + y)dy = 2 y + |
|
|
|
|
= 6 |
+ |
|
= 10, 5. |
|||
AB |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (x − y)dx + (x + y)dy = 2 + 10, 5 = 12, 5. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
О |
1 |
2 |
О |
2 |
х |
А |
2 |
Рис. 2.53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.54 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.55 |
|||||||||||
в) Маємо (див. рис. 2.55): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
70 |
|
||
|
∫ xdx + y2 dy = ∫ xdx + ∫ |
y2 dy = ∫ xdx + ∫ y2 dy = |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
AB |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) Запишемо рівняння заданої дуги кола у параметричній формі: x = 2cost, |
||||||||||||||||||||||||||
y = 2sin t, 0 ≤ t ≤ |
π . Тоді |
|
x′(t) = −2 sin t, y′(t) = 2 cos t і за формулою (2.27) |
|||||||||||||||||||||||
дістаємо |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dx |
|
|
dy |
|
0 |
|
|
|
2 sin t |
|
|
2 cos t |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ dt = 2∫ dt = π . |
||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
= |
|
− |
|
|
|
− |
|
|
dt = −2 |
||||||||||||
|
y |
|
x |
|
2 sin t |
|
|
|
||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 cos t |
π |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Обчисліть площу області, обмеженої еліпсом |
|
x2 |
+ |
|
y2 |
|
= 1. |
|||||||||||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
|||||||||||||||||||||||
Розв’язання. |
Запишемо рівняння |
еліпса у |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
параметричному вигляді: |
||||||||||||||||||||||||||
x = a cos t, |
y = b sin t, |
|
t [0; 2π] . Для обчислення площі застосуємо фор- |
мулу (2.35). Тоді
176
10. Обчисліть роботу, яку виконує сила F = y2 i + x j при переміщенні матеріальної точки вздовж прямої, що сполучає точки А(1; 2) та В(2; 4).
|
Розв’язання. Потрібно обчислити криволінійний інтеграл другого роду |
||||||||||||||||||||||||||||
від функцій P = y2 |
і Q = x вздовж відрізка АВ. Складемо рівняння відрізка |
||||||||||||||||||||||||||||
АВ: |
|
x −1 |
= |
y − 2 |
, |
|
звідси y = 2x . За формулою (2.36) маємо |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 − 1 |
4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
A = ∫ |
y2 dx + xdy = ∫ |
y2 dx + ∫ |
xdy = ∫ |
4x2 dx + ∫ |
|
dy = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
AB |
|
|
1 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
|
4 |
x |
3 |
|
2 |
+ |
y2 |
|
|
4 |
= |
4 |
(8 −1) |
+ |
1 |
(16 |
− 4) = |
37 |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
4 |
|
|
2 |
3 |
4 |
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Обчисліть криволінійний інтеграл
∫(x3 + 2xy)dx + (x2 − cos y)dy ,
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якщо L ― еліпс x2 + 4 y2 |
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Розв’язання. Оскільки |
∂P |
= |
∂(x3 |
+ |
2xy) |
= 2x , |
∂Q |
= |
∂(x2 − cos y) |
= 2x , то |
|||||||||
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
∂x |
∂x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂P |
= ∂Q ікриволінійний інтегралпозамкненомуконтуруL дорівнює нулю. |
|||||||||||||||||||
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12. Обчисліть криволінійний інтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
I = ∫ (x2 + 2z)dx + (x − y)dy + (x + 2z)dz , |
|
|||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якщо L ― відрізок, що сполучає точки A (2; 0; − 1) та B(4; 1; 2) . |
|
|||||||||||||||||||
|
Розв’язання. Складемо параметричні рівняння прямої АВ: |
|
||||||||||||||||||
|
|
x − 2 |
= |
y − 0 |
= |
z + 1 |
, |
|
x − 2 |
= y = |
z + 1 |
|
= t , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 − 2 |
1− 0 2 + 1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
x = 2t + 2, y = t, z = 3t − 1 — параметричні рівняння прямої АВ. |
|
|||||||||||||||||||
|
Точку А дістаємо з параметричних рівнянь при |
t = 0 ; точці В відпо- |
||||||||||||||||||
відає значення t = 1. Отже, на відрізку АВ t [0; 1] . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
178 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Враховуючи, що dx = 2dt, dy = dt, |
dz = 3dt, обчислюємо криволінійний |
||||||||||||||||||||||||||||||
інтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ (((2t + 2)2 + 2(3t − 1)) 2 + (2t + 2 − t) + (2t + 2 + 2(3t − 1)) 3)dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
8 |
|
3 |
|
53 |
|
2 |
|
|
|
1 |
8 |
|
|
53 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= ∫ |
(8t |
|
+ 53t + |
6)dt = |
|
t |
|
+ |
|
|
t |
|
+ |
6t |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
+ 6 = 35 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
6 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Обчисліть криволінійні інтеграли першого роду. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ sin3 x cos xdl , якщо L — дуга кривої y = ln sin x , x [π / 6; π / 2]. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫ y2 dl , якщоL — аркациклоїди x = t − sin t, |
y = 1− cos t ( 0 ≤ t ≤ 2π ). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
|
, якщо L — відрізок, що сполучає точки А(–2; 0) та В(4; 0). |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
− y |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∫ xy−4dl, якщоL — дугагіперболи xy = 1 міжточкамиА(1; 1) таВ(2; 1/2). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ |
|
x2 + y2 dl , якщо L — коло x2 + y2 |
= 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
∫ |
|
x2 + y2 + 1dl , якщо L — дуга спіралі Архімеда ρ = ϕ між точками |
||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(0; 0) та В(1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
∫ xy2 dl , якщо L — дуга кола x = R cos t, |
|
y = R sin t |
( 0 ≤ t ≤ π / 2 ). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
∫ (x2 + y2 + z2 )dl , якщо L — дуга гвинтової лінії |
x = cos t, |
y = sin t, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
≤ t ≤ 2π ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z = bt ( 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
∫ (2x − 3y + z + 4)dl , якщо L — відрізок, що сполучає точки А(1; 3; –1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та В(2; 0; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обчисліть криволінійні інтеграли другого роду. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. ∫ |
|
x2 + 8ydx − (xy + 1)dy, |
якщо L — дуга параболи y = x2 |
між точ- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ками А(0; 0) та В(2; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
179 |
11. |
∫ xdy − ydx, якщо L — дуга астроїди x = 2cos3 t, y = 2sin3 t, |
0 ≤ t ≤ π / 2. |
||
|
L |
|
|
|
12. |
∫ y cos3 xdx + y−2 dy, якщо L — дуга кривої y = tg x , |
π ≤ x ≤ π . |
||
|
L |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
13. |
∫ y2 dx + x2 dy, якщо L |
— перша арка циклоїди |
x = a(t − sin t), |
|
|
L |
|
|
|
y = a(1− cos t). |
|
|
|
|
14. ∫ xydx + zdy + (x2 + y2 )dz, |
якщо L — дуга гвинтової лінії |
x = a cos t, |
||
|
L |
|
|
|
y = a sin t, z = bt ( 0 ≤ t ≤ π ). |
|
|
|
|
15. |
∫ (x − 1)dx + (x − y)dy + (2z − x)dz, якщо L — відрізок, що сполучає |
|||
|
L |
|
|
|
точки А(0; 0; 0) та В(1; 2; 3). |
|
|
|
|
16. |
∫ (x2 − y)dx + ( y2 + 2x)dy, якщо L — ламана, що послідовно спо- |
|||
|
L |
|
|
|
лучає точки А(0; 0), В(1; 1), С(1; 0) та D(3; 0).
Обчисліть криволінійні інтеграли другого роду, використовуючи формулу Гріна.
17. |
∫ 2xdy − ydx, якщо L — замкнений контур, утворений частинами |
|
L |
параболи y = x2 та прямої y = x . |
|
18. |
∫ (1− x2 ) ydx + (1+ y2 )xdy, якщо L — коло x2 + y2 = R2 . |
|
L |
19. |
∫ (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, якщо L — коло x2 + y2 = 2x. |
|
L |
20. |
∫ xydx + (x2 + y2 )dy, якщо L — контур трикутника з вершинами в |
|
L |
точках А(1; 0), В(2; 1) та С(1; 2).
21. Визначте координати центра маси однорідної дуги циклоїди
x= a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.
22.Обчисліть роботу сили F = {x; y} при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої y = t cos t − sin t , x = t sin t + cos t , t [0; π / 2] .
23.Обчисліть роботу сили F = {yx; yz; xz} при переміщенні матеріальної точки по відрізку, що сполучає точки А(0; 1; 1) та В(2; –1; 3).
180