0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

1)точка 3і лежить усередині контуру L, а точка –3і — поза ним;

2)точка –3і лежить усередині контуру L, а точка 3і — поза ним;

3)точки ±3і лежать усередині контуру L;

4)точки ±3 лежать поза контуром L.

24. Обчисліть інтеграл ∫ exp(z2 )dz , якщо

L+ z2 − 6z

1) L: z − 2 = 1; 2) L: z = 1; 3) L: z − 6 = 1.

25. Обчисліть інтеграли (контури орієнтовані проти ходу годинникової стрілки):

1)

v∫

dz

;

2)

v∫

z

2 + 1

dz ;

z

z(z

2

+

1)

=1 sin

z

(z2 + 4)

=0,5

z−2i

3

ez dz

3)

v∫

;

4)

v∫

cos 3z

dz ;

z(z − 2i)

z

z(z −1)

z−3i

=2

=3

5)

v∫

z + 1

dz ;

6)

∫

shiπ z

dz ;

2

4

z

=2 (z − 1)

v

(z + 2)

z

=3

7)

v∫

e2z

dz ;

8) v∫

e2z+3

dz .

2

2

z−2

=2

z

− 3z + 2

z

=5

z

+ z −

12

26. Обчисліть

1

v∫

ez dz

, якщо:

2πi

3

+ z(1− z)

L

1)точка 0 лежить усередині, а точка 1 — поза контуром L;

2)точка 1 лежить усередині, а точка 0 — поза контуром L;

3)точки 0 і 1 лежать усередині контуру L.

Відповіді

1. Недиференційовна. 2. Вказівка. Перевірте умови Коші–Рімана. 3. f ′(z) = cos z . 5. 1)					z′(t) =
= −3cos2 t sin t − i2te−t2 ; 2) z′(t) =	2t	− i	1	. 7. а) диференційовна лише в точці	z = 0 ;
			1+ t2
	t2 + 1

б) диференційовна лише в точці z = 0 ; в) не диференційовна в жодній точці; г) диференційовна лише в точці z = 1. 8. а) 3e3z ; б) chz; в) − sin z; г) 2z ; д) 13 cos 3z . 9. а) аналітична всю-

ди, крім точки z = 0 ; б) не аналітична в жодній точці комплексної площини, але диференційовна в точці z = 0 ; в) не аналітична в жодній точці комплексної площини. 10. а) ні; б) ні; в) так; г) так; д) так; е) так; є) ні; ж) ні; з) ні. 11. f (z) = 2z + c. 12. f (z) = − cos z + c.

291

13. 1)

f (z) = z2 + 2z ; 2) f (z) =

1 ; 3) f (z) = exp z + z2 + 5z + 9; 4) f (z) =

z2

(2 − i) . 15. а) e cos1−

z

2

−1+ iesin1;

б) e cos1− 1+ iesin1 .

16.

1)

e(2 − e−i − 1); 2)

1+ e−i (e − 2).

17. −(1+ i sh1) .

1

ch

1

− cos

9

ch

3

9

sh

3

− sin

1

sh

1

. 19.

1) 1; 2) 2; 3) 2. 20. 1+ i . 21. πi.

18. cos

4

2

4

2

+

+i sin

4

2

4

2

22. 1)

1

(−3

+ 2i) ; 2)

−2(1+ i);

3)

−1 ; 4)

3

(i − 1);

5)

−7e−2 + (3 − 2i)ei ;

6) cos1− sin1+ ie−1 .

3

5

23. 1)

π

3

; 2)

− π

3

;

3) 0; 4) 0. 24. 1) 0, оскільки підінтегральна функція аналітична в крузі

z − 2

≤ 1 ; 2)

−

πi ; 3)

πi e36. 25. 1)

2πi; 2)

3πi

; 3)

π(cos 2 + i sin 2) ; 4)

πi(cos 6 − 1) ; 5) 2πi;

2

3

3

2sh

π4

3

6)

; 7)

2πi(e4 − e2 ) ; 8)

2πi

(e9 −

1

) . 26. 1) 1; 2) e ; 3) 1+ e.

3

7

e5

ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Т.2

2.1. Відновіть аналітичну в околі точки

z0

функцію f

(z) за відомою

дійсною частиною u(x, y) або уявною v(x, y)

та значенням f ( z0 ).

2.1.1. u = x2 − y2 + x,

f (0) = 0.

2.1.2. u = x2 − xy2 + 1,

f (0) = 1.

2.1.3. v = x3 − 3xy2 − 2 y,

f (0) = 0.

2.1.4. u = x2 − y2 − 2 y,

f (0) = 0.

2.1.5. u = ch x cos y,

f (0) = 2.

2.1.6. u = sin x sh y ,

f (1) = 1 + i.

2.1.7. v = e− y

sin x + y,

f (0) = 1.

2.1.8. v = ex cos y,

f (0) = 1 + i.

2.1.9. v = x3 − 3xy2 − 2xy,

f (0) = 0.

2.1.10. v = y3 − 3x2 y + x2 − y2 ,

f (0) = 0.

2.1.11. u = e− y cos x,

f (0) = 1.

2.1.12. u = y − 2xy,

f (0) = 0.

2.1.13.

v = x2 − y2 + 2x + 1,

f (0) = i.

2.1.14.

u = x2 − y2 − 2x + 1,

f (0) = 1.

292

2.1.15. u = cos 2x ch 2 y	f (0) = 0.
2.1.16. v = 2xy + y,	f (0) = 0.
2.1.17. u = x3 − 3xy2 − 2x2 + 2 y2 ,	f (0) = 2.
2.1.18. u = 3x2 y − y3 + 3x,	f (0) = 0.
2.1.19. v = 2xy + 2x,	f (0) = 0.
2.1.20. u = 1 − sin y ex ,	f (0) = 1 + i.
2.1.21. v = sh 3x sin 3y,	f (0) = 2.
2.1.22. u = 3x2 − 3y2 + 2xy,	f (1) = i.
2.1.23. u = e− y cos x + x,	f (0) = 1.
2.1.24. v = e− y sin x,	f (0) = 1.
2.1.25. v = 6xy − x2 + y2 ,	f (0) = 2i.
2.1.26. v = 2x2 − 2 y2 + 3x2 y − y3 ,	f (0) = 0.
2.1.27. v = x2 − y2 − x,	f (0) = 0.
2.1.28. u = −2xy − 2y,	f (0) = i.
2.1.29. v = 2xy − 2 y,	f (0) = 1.
2.1.30. u = x3 − 3xy2 − x,	f (0) = 0.

2.2. Обчисліть інтеграл від функції комплексної змінної по даній кривій (якщо не вказаний напрям інтегрування, вважати його додатним).

2.2.1.	∫	z 2dz;	AB : {y = x2 ; zA = 0; zB = 1 + i}.
	AB
2.2.2. ∫ (z + 1)ez dz; L : {| z |= 1, Re z ≥ 0}.
	L
2.2.3.	∫	Im z3dz; АВ ― відрізок прямої, zA = 0,		zB = 2 + 2i .
	AB
2.2.4.	∫	(z2 + 7z + 1)dz; АВ ― відрізок прямої,		zA = 1, zB = 1 − i .
	AB
2.2.5.	∫	| z | dz; АВС ― ламана: zA = 0, zB = −1 + i, zC = 1 + i .
	ABC
2.2.6.	∫	(12z4	+ 4z3 + 1)dz; АВ ― відрізок прямої, zA = 1, zB = i .
	AB
2.2.7.	∫	z 2 dz;	АВ ― відрізок прямої, zA = 0, zB	= 1 + i .
	AB

293

2.2.8.	∫	z3ez4			dz; АВС ― ламана: zA = i,	zB = 1,	zC	= 0 .
	ABC
2.2.9.	∫	Re	z	dz; AB:{ | z |= 1, Im z ≥ 0}, ВС―відрізок,				zB = 1, zC = 2.
	ABC		z
2.2.10.	∫	(z2 + cos z)dz; АВС ― ламана:				zA = 0,	zB = 1, zC = i .

ABC

2.2.11. ∫

Im

(

z2

)

dz,

L = {z :

z

= 1,

−π ≤ arg z ≤ 0} .

z

L

2.2.12.

∫

(ch z + cos iz)dz; АВС ― ламана : zA = 0, zB

= −1, zC

= i .

ABC

2.2.13. ∫ | z | z dz; L : {| z |= 4, Re z ≥ 0} .

L

2.2.14.

∫ (ch z + z)dz;

L :{| z |= 1, Im z ≤ 0} .

L

2.2.15.

∫ | z | Re z2dz;

L : {| z | = R,

Im z ≥ 0} .

L

2.2.16.

∫

(3z2 + 2z)dz;

AB : {y = x2 , zA = 0, zB = 1 + i} .

AB

2.2.17.

∫ z Re z2dz;

L : {| z |= R; Im z ≥ 0} .

L

2.2.18.

∫

(z2

+ 1)dz;

АВС ― ламана: zA = 0, zB = −1 + i, zC = i .

ABC

2.2.19.

∫

e|z|2 Im z dz; АВ ― відрізок прямої, zA = 1 + i, zB = 0 .

AB

2.2.20.

∫ (sin iz + z)dz;

L :{| z |= 1,

Re z ≥ 0} .

L

2.2.21.

∫

z Re z2 dz; АВ ― відрізок прямої, zA = 0, zB

= 1 + 2i .

AB

2.2.22.

∫

(2z + 1)dz;

AB : {y = x3 , zA = 0, zB = 1 + i} .

AB

2.2.23.

∫

zzdz; AB :{| z |= 1, Re z ≥ 0, Im z ≥ 0}, ВС ― відрізок

прямої,

ABC

zB = 1, zC

= 0.

2.2.24.

∫ (cos iz + 3z2 )dz;

L : {| z |= 1, Im z ≥ 0} .

L

2.2.25. ∫ | z | dz;

L :{| z |= 2,

3π

≤ arg z ≤

5π

} .

L

4

4

294

2.2.26.	∫	(z9 + 1)dz; АВС ― ламана: zA = 0, zB = 1 + i, zC		= i .
	ABC
2.2.27.	∫ (iz3 + cos 2z)dz; L : {| z |= 1, Re z ≤ 0} .
	L	(sin z + z5 )dz , АВС ― ламана : zA = 0, zB
2.2.28.	∫		= 1,	zC = 2i .
	ABC
2.2.29.	∫	z Im z2 dz; АВ ― відрізок прямої, zA = 0,	zB = 1 + i .
	AB
2.2.30.	∫ (z3 + sin z)dz; L : {| z |= 1, Re z ≥ 0} .
	L

2.3. Обчисліть інтеграли вздовж вказаного контуру L, використовуючи інтегральну формулу Коші (обхід проти ходу годинникової стрілки).

2.3.1.

v∫

dz

.

2.3.2.

v∫

(2 + z)dz

.

2

2

z+i

=

1

z(z + 1)

z−1−i

=

5

z (z −1)

2

4

2.3.3.

v∫

dz

.

2.3.4.

v∫

2 + sin z

dz .

2

z(z + 2i)

z−2i

=

3

z(z + 4)

z

=1

2

πz

sin

dz

2.3.5.

v∫

2

dz .

2.3.6.

v∫

.

z

2

(z

2

+ 9)(z + 9)

z−1

=

3

− 1

z−2−i

=4

2

dz

v∫

sin z

2.3.7.

v∫

.

2.3.8.

dz .

3

z

2

− 7z + 10

z−1−2i

=2 z

+

3z

z

=3

2.3.9.

v∫

sin π(z −1)

dz .

2.3.10.

v∫

ez

+ 1

dz .

=1 z

2

− 2z +

2

z(z

2

− 4)

z−1−i

z−

1

=1

2

2.3.11.

v∫

sin 3z + 2

dz .

2

z−3

=1

z (z − π)

sh

π

(z + i)

2.3.13.

v∫

2

dz.

2

z+i

=1,5 z

− 2z

2.3.15.

v∫

sin z sin(z − 1)

dz .

z

2

− 4z

z

=2

2.3.12.

v∫

ch

z

dz .

4

z−2

=2

z − 1

2.3.14.

v∫

cos2 z +

1

dz .

2 2

z−2

=3

z

− π

2.3.16.

v∫

sin

3 z +

2

dz .

2

2

z−6

=1

z

− 4π

295

sh

πiz

2.3.17.

v∫

4 + 2i

dz .

(z − 2 − i)z

z−i

=3

sin2 z − 3

2.3.19.

v∫

dz .

2

z+1

=2

z

+ 2πz

v∫

cos(πz / 3)

2.3.21.

dz .

=2

(z − 3)(z + 5)

z−2

v∫

2 cos(πz / 5)

2.3.23.

dz .

=2

(z + 5)(z + 3)

z+6

2.3.25.

v∫

ez + sin z

dz.

z(z − π)

z−1,5

=1,6

2.3.27.

v∫

z2 + sin z + 2

dz .

2

z

=2

z

+ πz

sin

πz

2.3.29.

v∫

4

dz .

z

2

|z −1|=1

− 1

2

z + 3

2.3.18.

v∫

cos

dz .

2

z+

3

=1

2z

+ πz

2

2.3.20.

v∫

ezcosπz

dz .

2

z+ 2

=0,5 z

+ 3z +

2

2.3.22.

v∫

sin

2 z + 1

dz .

2

z−1

=2

z

+ 2πz

2.3.24.

v∫

cos (z + πi)

dz.

z(z

2

+

10)

z

=3

2.3.26. v∫

cos z

dz .

z

=2 (z − 1)(z +

3)

2.3.28.

v∫

tg z + 2

dz .

2

z+1

=

1

4z

+ πz

2

sin z dz

2.3.30.

v∫

.

z

2

+

4

|z−i|=2

2.4. Використовуючи теорему Коші для багатозв’язної області або інтегральну формулу для похідних аналітичної функції, обчисліть інтеграли вздовж вказаного контуру L (обхід проти ходу годинникової стрілки).

2.4.1.

v∫

ez

− sin z

dz .

2.4.2.

v∫

1− z4 + 3z6

dz .

z

2

2z

3

|z|=1/ 3

|z|=1/ 3

2.4.3.

v∫

sin

3z + 2

dz .

2.4.4.

v∫

(z + 2)dz

.

2

2

2 2

z−3

=1

z (z − π)

z−1−i

=

5

z (z − 1)

dz

4

2.4.5.

v∫

.

2.4.6.

v∫

2 + sin z

dz .

3

z

2

(z

2

+

4)

z

2

(z + 2i)

z−i

=

z

=3

2

296

2.4.7.

v∫

ez + 1

dz .

2

z−

1

=1

z

(z − 1)

2

2.4.9.

v∫

sin3 z + 2

dz .

(z

2

−

4π

2

)

2

z−6

=1

cos

πz

2.4.11.

v∫

2

+ 2i

dz .

2

z−2i

=2

(z − 2 − 2i)

2 cos

πz

2.4.13.

v∫

5

dz .

(z +

5)

2

z

z+6

=2

sh

πiz

2.4.15.

v∫

4 + 2i

dz .

2

z−i

=3

(z − 2 − i)

2.4.17.

v∫

sin2 z − 3

dz .

3 2

z+1

=2

z

+ 2πz

sin

πiz

2.4.19.

v∫

2 + 14i

dz .

2

z−7i

=2

(z − 1− 7i)

2.4.21.

v∫

ez

dz .

(z

2

2

z−2i

=1

+ 4)

2 cos

πz

2.4.23.

v∫

1

+ 3i

dz .

2

z−3i

=2

(z − 1− 3i)

2.4.25.

v∫

ch z dz

.

(z +

2

(z

z

=2

1)

−1)

2.4.27.

v∫

ch z dz

.

(z

−

2

(z

+

z

=3

2)

4)

2.4.29.

v∫

sin z

dz .

(z + i)

2

(z − 5)

z−i

=3

2.4.8.

v∫

cos2 z + 1

dz .

(z

2

− π

2

)

2

z−2

=3

2.4.10.

v∫

tg z + 2

dz .

3 2

z

=

1

4z

+ πz

2

z2 + sin z + 2

2.4.12.

v∫

dz .

z

3

+ πz

2

z

=2

2.4.14.

v∫

sin z

dz .

3

z+i

=1 (z + i)

2.4.16. v∫

z+ 2 =2

2.4.18. v∫

z−2 =2

2.4.20. v∫

z+3 =2

2.4.22. v∫

z+ 4 =2

sin π2z

(z + 1)2 (z −1)

cos(πz / 3)

(z − 3)2 (z − 5)

sh(πiz / 4) dz . (z + 2)2 z

sin(πz / 6)

(z + 3)2 (z + 1)

dz .

dz .

dz .

cos

πz

2.4.24.

v∫

2

dz .

(z − 2)

2

(z − 4)

z−1

=2

2.4.26.

v∫

ch(πiz / 4)

dz .

2

z+5

=2 (z + 4)

(z

+ 2)

2.4.28.

v∫

sin(πzi)dz

.

2 2

z−i

=1

(z + 1)

2.4.30.

v∫

sin z

dz .

3

z

=3 (z − 2i)

297

Тема 3. РЯД ТЕЙЛОРА. РЯД ЛОРАНА.

ІЗОЛЬОВАНІ ОСОБЛИВІ ТОЧКИ, ЇХ КЛАСИФІКАЦІЯ. ЛИШКИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ.

Розкладання функцій комплексної змінної в ряди Тейлора та Лорана. Ізольовані особливі точки та їх класифікація. Лишки функцій. Застосування лишків до обчислення інтегралів.

Література: [4, розділ 1, пп. 1.7—1.9], [5, гл.1, пп. 1.7—1.9], [12, розділ 30, §4—6], [13, розділ 1, §6—8], [15, розділ 15, п.п. 15.3—15.4], [17, розділ 8, §30—31].

Т.3 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

3.1. Ряд Тейлора

Теорема 1 Нехай функція f (z) ― аналітична в області D, z0 ― довільна фіксована точка цієї області і R ― відстань від точки z0 до

найближчої межової точки області D. Тоді функцію f (z) у крузі z − z0 < R єдиним способом можна розкласти у степеневий ряд

∞

f (z) = ∑ an (z − z0 )n ,

(3.19)

n=0

коефіцієнти якого визначаються за формулами

an

=

1

f (ς)dς

=

f (n) (z0 )

(n = 0, 1, 2,...) .

(3.20)

2πi

L∫ (ς − z0 )n+1

n!

Тут L ― довільне коло з центром у точці

z0 радіуса R′ : 0 <

R′ < R,

орієнтоване проти ходу годинникової стрілки.

Степеневий ряд (3.19) з коефіцієнтами (3.20),

z0

тобто ряд вигляду

∞

R R’

D

(n)

(z0 )

f (z) = ∑

f

(z − z0 )n

n=0

n!

Рис. 3.9	називаютьрядом Тейлорафункції f (z) воколі точки z0.

Розвинення деяких елементарних функцій в ряд Маклорена (ряд Тейлора за степенями z) вміщені у табл. 3.1.

298

Таблиця 3.1

№

Ряд Маклорена функції

f (z)

Область

збіжності

2

3

n

Комплексна

1

ez = 1 +

z

+

z

+

z

+ …+

z

+ …

площина Z

1!

2!

3!

n!

2

sin z = z −

z3

z5

n

z2n+1

Комплексна

+

− …+ (−1)

+ …

площина Z

3!

5!

(2n + 1)!

3

cos z = 1−

z2

z4

n z2n

Комплексна

+

− …+ (−1)

+ …

площина Z

2!

4!

(2n)!

1

2

3

n n

z

< 1

4

1 + z = 1 − z + z − z + …+ (−1) z + …

1

2

3

n

z

< 1

5

1 − z = 1 + z + z + z + …+ z + …

Зауваження.

1. Підкреслимо, що радіус збіжності ряду (3.19) дорівнює відстані від точки z0 до найближчої особливої точки функції f(z).

2. Існує інше означення аналітичності (див. п. 2.1), яке належить Вейєрштрассу, воно пов’язане з розкладом функції в ряд Тейлора.

Функцію f (z), однозначну в області D, називають аналітичною за Вейєр- штрассом у цій області, якщо для довільної точки z0 D можна вказати

окіл цієї точки, в якому функцію можна подати у вигляді суми степеневого ряду (3.19).

Ці два означення аналітичності функції рівносильні.

Оскільки степеневий ряд можна почленно диференціювати, то його сума f (z) має похідні всіх порядків, які також є аналітичними функціями. Тому під аналітичною функцією розуміють інколи таку, яка є нескінченно диференційовною.

3.2. Ряд Лорана

Теорема 2 Нехай 0 ≤ r < R ≤ ∞. Кожну аналітичну в круговому кільці r < z − z0 < R функцію f(z) можна подати в цьому кільці

збіжним рядом

+∞
f(z) = ∑ an (z − z0 )n ,	(3.21)

n=−∞

299

коефіцієнти якого визначаються за формулою
1					L∫	f (z)dz
an =							(n	= 0, ± 1, ± 2,...),	(3.22)
			2πi			(z − z0 )n+1
де L ― будь-яке коло		z − z0			= ρ, r < ρ < R,			орієнтоване проти ходу годин-
никової стрілки.

Ряд (3.21) з коефіцієнтами (3.22) називають рядом Лорана для функції

	f (z) у круговому кільці r <	z − z0	< R .
	Ряд Лорана				a− n
	+∞		+∞	∞
	f(z) = ∑ an (z − z0 )n =		∑ an (z − z0 )n + ∑
					(z − z0 )n
	n=−∞		n=0	n=1

складається з двох частин. Перша частина, тобто ряд

+∞

∑ an (z − z0 )n ,

n=0

називається правильною частиною ряду Лорана; цей ряд містить лише додатні степені z − z0 і збігається у крузі z − z0 < R до деякої аналітичної в цьому крузі функції f1(z):

+∞			− z0 )n .
f1 (z) = ∑ an (z
n=−∞
Другу частина ряду Лорана, тобто ряд
∞		a−n
n∑=1				,
	(z − z0 )n

називають головною частиною ряду Лорана. Цей ряд містить лише від’ємні степені z − z0 й визначає деяку функцію f2(z), аналітичну поза кругом із центром у точці z0 і радіусом r:

	∞	a− n
	f2 (z) = ∑		.
		(z − z0 )n
	n=1

Отже, функція f(z) = f1(z) + f2(z) аналітична всередині кільця r < z − z0 < R. Залежно від значень радіусів r та R це кільце може виродитись:

1)	у круг з виколотим центром: 0 <					z − z0	< R	(r = 0, 0 < R < ∞);
2)	у зовнішність круга:		z − z0		> r (0 < r < R = ∞);
3)	в усю комплексну площину без точки z = z0							(r = 0, R = ∞).

300