Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

Визначимо n таким, щоб похибка наближеної рівності

e ≈ 1+

1

+

1

+

1

+ …+

1

2 1!

22 2!

23 3!

2n n!

не перевищувала заданої точності. Для цього оцінимо залишок

rn

=

1

+

1

+

1

+ …=

2n+ 2 (n + 2)!

2n+3 (n

2n+1 (n + 1)!

+ 3)!

1

1

1

=

1+

+

+ … <

n+1

2

2

(n + 1)!

2(n + 2)

2

(n + 2)(n + 3)

1

1

1

1

<

1

+

+

+

+ …

=

n+1

2

2

3

3

2

(n

+ 1)!

2(n +

2)

2

(n +

2)

(n + 2)

2

=

1

1

=

1

2(n + 2)

=

n + 2

.

1

2n+1 (n + 1)!

1−

2n+1 (n + 1)!

2n + 3

2n (2n + 3)(n + 1)!

2(n + 2)

Добором встановлюємо, що нерівність

rn

<

n + 2

< 0, 001 ви-

конується, починаючи з n = 4 . Отже,

2n (2n + 3)(n + 1)!

e ≈ 1+

1

+

1

+

1

+

1

≈

2

1!

4!

22 2! 23

3! 24

≈ 1+ 0, 5 + 0,125 + 0, 0208 + 0, 0026 = 1, 6484.

Для обчислення логарифмів використання ряду

ln(1+ x) = x

−

x2

+

x3

− …+

(−1)

n−1

xn

+ … ( −1 < x ≤ 1)

2

3

n

є неефективним через його повільну збіжність. На практиці зручнішою є формула

1+ x

x

3

x

5

x

2n−1

x (−1; 1).

ln

= 2 x +

+

+ …+

+ … ,

1− x

3

5

2n − 1

Похибка цієї формули оцінюється нерівністю

(1.21)

61

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

								| rn (x) |=															x2n+1						x2n+3
																					2						+								+ …			<
																							2n + 1						2n + 3
			< 2			|x|2n+1					(1+ x2 + x4 + …) = 2																									|x|2n+1							.
						2n + 1																											(2n			+ 1)(1− x2 )
Покладемо у формулі (1.21) x =																												1			,	t N , дістанемо формулу для
																									2t + 1
обчислення логарифмів натуральних чисел
										1											1																		1
ln(t + 1) = ln t +							2									+												+ …+																+ … ,		(1.22)
																										3																	2n−1
									2t + 1										3(2t + 1)															(2n − 1)(2t + 1)
причому
																													1
								| rn (t) | <																															.
																		2(2n + 1)t(t + 1)(2t + 1)2n−1
18. Обчисліть ln 2 з точністю ε = 0, 001.
Розв’язання. Поклавши у формулі (1.22) t = 1, дістанемо
												1									1														1
					ln 2 = 2												+							+ …+																		+ … .
																					3																	2n−1
												3																		(2n − 1)
																				3 3																3
Шляхом добору визначимо n так, щоб виконувалась нерівність
																	rn (1) <												1								.
																								4(2n + 1) 32n−1
Маємо: r (1) <							1			=						1					, r (1) <								1						=		1			< 0,001.
2					4 5 33							180									3							4	7 35							6804
Отже, n = 3 і для обчислення ln 2 дістаємо наближену рівність
ln 2 ≈ 2	1	+		1				+	1									≈			2(0, 3333 + 0, 0123 + 0, 0008) ≈ 0, 693.
				3					5
3				3 3					5 3
			1

19. Обчисліть 2 e− 2 dx з точністю 0, 001.

∫ x ε =

0

Розв’язання. Застосувати формулу Ньютона―Лейбніца неможливо, оскільки невизначений інтеграл ∫ e− x2 dx не виражається через елементар-

ні функції. Для обчислення інтеграла розкладемо підінтегральну функцію у степеневий ряд і скористаємося властивістю про почленне інтегрування степеневого ряду. Дістанемо

62

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1

1

2

− x2

2

2

x4

x6

n x2n

∫

e dx =

∫

− x

+

−

+ …+ (−1)

+

1

2!

3!

n

!

… dx =

0

0

1

x3

x5

x7

n x2n+1

2

= x −

+

−

+ …+

(−1)

+ …

=

3 5 2! 7 3!

(2n + 1) n!

0

=

1

−

1

+

1

−

1

+ …+ (−1)n

1

+ …

2

23 3 25 5

2! 27 7 3!

22n+1 (2n + 1) n!

Оскільки цей ряд є альтерновним і задовольняє умови теореми Лейбніца, то згідно з наслідком з цієї теореми визначаємо найменший номер n, для якого виконується нерівність

		1		< 0, 001,	або 22n+1 (2n + 1) n! > 1000 .
	22n+1	(2n + 1) n!

Ця нерівність виконується починаючи з n = 3 . Тому, взявши перші три члени ряду, дістанемо

1
2		2		1		1						1
∫ e− x			dx ≈		−				+					≈ 0, 5	− 0, 0417	+ 0, 0031 ≈ 0, 461.
				2		3	3				5	5 2!
0						2			2

20. Знайдіть наближений розв’язок задачі Коші y′ = x2 + y3 , y(0) = 1 ,

обмежившись чотирма ненульовими членами розвинення цього розв’язку у степеневий ряд.

Розв’язання. Розв’язок шукаємо у вигляді ряду Маклорена

y = y(0) +

y′(0)

x +

y′′(0)

x

2

+

y′′′(0)

x

3

... +

y(n) (0)

x

n

+ ...

1!

2!

3!

n!

З умови задачі записуємо перші два коефіцієнти

y(0) = 1, y′(0) = 02 + 13 = 1.

Диференціюємо вихідне рівняння:

y′′ = 2x + 3y2 y′ . Підставивши в одер-

жане рівняння значення

x = 0, y(0) = 1

та y′(0) = 1,

дістанемо коефіцієнт

y′′(0) = 0 + 3 = 3 . Тепер переходимо до рівняння

y′′′ = 2 + 3(2 y( y′)2 + y2 y′′).

Тоді y′′′(0) = 2 + 3(2 + 3) = 17.

Отже, наближений розв’язок задачі Коші ви-

значається формулою

63

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

y ≈ 1+ x + 32 x2 + 176 x3 .

Ця формула тим точніша, чим ближча змінна x до нуля.

Т.2

ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайдіть область збіжності функціональних рядів.

∞

1

∞

1

∞

x

n

1.

∑

.

2.

∑

.

3.

∑

.

2

4

1

2n

n=1 n

+ x

n=1

n=1

1+ x

nsin x

n(n−1)

∞

1

∞

2

∞

1

4.

∑

.

5.

∑

x

.

6.

∑

.

n!

n=1

2nx

n=1

n=1 n3 (x2 +

2)

∞

(1−n)x

∞

n

∞

1 x + 1

n+1

7.

∑ e

.

8.

∑ n ln

x.

9.

∑

.

n=1

n=1

n=1 n x − 1

Дослідіть на рівномірну збіжність функціональні ряди на вказаному проміжку.

		∞			1
	10.	∑					,		x (−∞; ∞).
			5	n	+ x	2
		n=1
		∞			x2
	12.	∑						,	x (−∞; ∞).
			1+ n2 x2
		n=1
		∞
	14.	∑ )n			+ 1)xn ,				x (−1; 1).

n=1

	∞
11.	∑	cos nx	,	x (−∞; ∞).
	n=1 n!+ x6
	∞
13.	∑ e−nx ,		x (0; ∞).
	n=1
	∞
15.	∑ nxe− nx ,			x [0; ∞).

n=1

Знайдіть область збіжності степеневих рядів.

∞

x

n

∞

x

n

∞

x

n2

∞

x

n

16.

∑

.

17.

∑

.

18. ∑

.

19. ∑

.

(2n +

n=1 n3

n=1

4 n + 1

n=1

1)!

n=1 n ln(n + 1)

∞

(x − 3)

n

∞

∞

20.

∑

.

21.

∑ nn (x

+ 2)n+1. 22. ∑ (2n + 3) 5n (x − 1)n .

n2n+1

n=1

n=1

n=1

∞

x

n

∞

x

3n

∞

2

n2 −1

xn2 .

23.

∑

.

24.

∑

.

25. ∑

2n + 5n

8n

n

n=0

n=0

+ 1

n=1

64

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Знайдіть інтервал збіжності степеневих рядів.

∞

n − 1

n2

n

∞

n

n2

x2n

∞

(n!)2

n

26. ∑

(x − e)

.

27. ∑

.

28. ∑

x

.

n

2

n

(2n)!

n=1

n=1

n + 1

n=0

Знайдіть суму степеневих рядів.

∞

29. ∑ n2 xn .

n=1

	∞	x	n		∞	x	n+1
	30. ∑			.	31. ∑			.
		n				n!
	n=1				n=1

Розкладіть у ряд Тейлора за степенями x − x0 функції:

32.		1		,		x		= 2.										33.				1			,		x	= −1.
		x				0															3x + 1						0
34. ln(x2 + 2x + 2), x = −1.																		35.				1					,	x = −2.
														0							(x + 3)2							0
36.				1						,		x		= −2.				37.			xe2x−1 ,						x	= 1.
		(x + 3)3									0																0
Розкладіть у ряд Маклорена функції:
38.	2x cos2 x.													39.		x	.					40.					1		.
														1		− x3										2x − 3
41.					2x + 3							.		42. ln(3 + 6x).								43. (1+ x2 )e− x .
	x2 + 3x +										2
Обчисліть значення функцій із точністю ε.
44.	3 130,								ε = 0, 0001.									45.	1	,		ε = 0, 001.
																			3 e
46. cos10°,										ε = 0, 0001.								47. arctg				1	,	ε = 0, 001.
																						3
48.	ln 3,					ε = 0, 0001.												49. ln 0, 98,						ε = 0, 0001.
Обчисліть визначені інтеграли із точністю ε.
		1
	2				sin x													1
50.		∫					dx ,						ε = 0, 0001.					51. ∫ cos x2 dx,									ε = 0, 0001.
	0				x													0

65

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

	1						1
2			dx			3			dx
52. ∫					, ε = 0, 001.	53. ∫				, ε = 0, 001.
		1+ x		4
0						0			1+ x4

Знайдіть наближений розв’язок задачі Коші, обмежившись чотирма ненульовими членами розвинення цього розв’язку у степеневий ряд.

54.	y′ = xy + ey ,	y(0) = 0 .
55.	y′ = y3 + x	y,	y(0) = 1.
56.	xy′ = x2 y2 − y + 1, y(0) = 2.
57.	y′′ = yy′ − x2 ,		y(0) = 1, y′(0) = 1.

Відповіді

1. (−∞; ∞). 2. (2πk; π + 2πk). 3. x ≠ ±1. 4. (0;∞). 5. [−1; 1]. 6. (−∞; ∞). 7. (0;∞).

8. (e−1; e). 9. (−∞; 0]. 10. Збігається рівномірно. 11. Збігається рівномірно. 12. Збігається рівномірно. 13. Збігається нерівномірно. 14. Збігається нерівномірно. 15. Збіга-

ється нерівномірно.

16. [−1; 1]. 17. [−1; 1).

18. [−1; 1]. 19. [−1; 1).

20.

[1; 5).

21. x = −2.

22.

(−0, 2; 0,2) .

23.

(−5; 5).

24.

(−2; 2).

25. [−0,5; 0,5).

26. (0; 2e).

27. (−

2e;

2e).

∞

28.

(−4; 4). 29. x(x + 1) /(1− x)3,

| x |< 1.

Вказівка. Подайте ряд у вигляді

∑n2xn =

∞

∞

∞

n=1

= x2 ∑n(n − 1)xn− 2 +x∑nxn−1 , після чого розгляньте ряд

∑ xn і скористайтесь влас-

n=1

n=1

n=0

xex ,

тивістю про почленне диференціювання цього ряду. 30.

− ln |1 − x | .

31.

x R.

∞

n (x − 2)n

∞ 3n (x + 1)n

5

1

∞

n+1 (x + 1)2n

32. ∑ (−1)

, x (0; 4).

33.

− ∑

,

x

−

;

−

.

34.

∑

(−1)

,

2

n+1

2

n+1

3

3

n

n=0

n=0

n=1

∞

∞ (−1)n+1n(n − 1)

x [−2; 0].

35. ∑(−1)n n(x +2)n−1,

x (−3; − 1).

36. ∑

(x + 2)n−2,

x (−3; − 1).

2

n=1

n=1

∞

2

n

−1

(n +

2)

2

2

x

3

2

4

x

5

2

2n

x

2n+1

37.

e 1 +

∑

(x − 1)n

,

x R.

38.

2x −

+

−

…

+

(

−

1)

n

+

…

n!

2!

4!

(2n)!

n=1

∞

∞

(2x)n

∞

3n+1

3

n

1

n

… x R.

39.

∑ x

, −1 < x < 1.

40. − ∑

,

| x |<

.

41.

∑

(−1)

1 +

x

,

n+1

2

2

n+1

n=0

n=0

3

n=0

∞

2

n

x

n

∞

1

−1 < x < 1.

42. ln 3 + ∑(−1)n−1

, x (−0,5; 0,5].

43. 1 − x + ∑ (−1)n

1

+

xn,

n=1

n

n=2

n!

(n − 2)!

x R. 44. 5,0658. 45. 0,716. 46. 0,9948. 47. 0,321. 48. 1,0986. 49. – 0,0202. 50. 0,4931.

66

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

51. 0,9045. 52. 0,494. 53. 0,333. 54. y ≈1									+		x2		+			2	x3		+	11	x4	. 55.	y ≈1 + x + 2x2 +	19	x3.
										2					3					24				6
56. y ≈1 +	x2	+	2x4	+	17x6		. 57.	y ≈ 1 + x	+	x2			+	x3				.
	3		15			315				2					3

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

2.1. Знайдіть область збіжності функціональних рядів.

∞

∞

∞

n+1

1

x

(2x − 5) .

2.1.1. а)

∑

;

б) ∑ xn sin

;

в)

∑

4 + xn

n=1

n=1

n n

n=1

4n

∞

1

∞

x

∞

1− x

n

2.1.2. а)

∑

;

б)

∑ xn tg

;

в)

∑

.

x

n

n=1

n

n=1

2

n=1

1− 2x

∞

(−1)

n+1

∞

x

∞

arctg(nx)

2.1.3. а)

∑

;

б)

∑ 2n x3n arcsin

; в)

∑

.

nx

n

n=1

n=1

n=2

n ln4 n

∞

∞

4

∞

n

x

x

(5x + 2) .

2.1.4. а)

∑

2n+1 sin

;

б)

∑

;

в)

∑

n=1

3n

n=1

1+ x2n

n=1

7n+ 2

∞

1

∞

n + 1

∞

1

2.1.5. а)

∑

tgn

(3 x) ;

б)

∑

;

в)

∑

.

x nx+ 2

(3n + 1)x

n=1 n3

n=1

n=1

∞

1

∞

n

∞

x + 1

n+1

2.1.6. а)

∑

;

б)

∑ ln

(2x

− 1) ;

в)

∑

.

n! x

n

n=1

n=1

n=1

x − 2

∞

x

n

∞

1

∞

1

tgn (2x) .

2.1.7. а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

2n

n+1

3

n=1

1+ x

n=1 n!(x + 1)

n=1 n

∞

∞

∞

(−1)

n−1

2.1.8. а)

∑ (15 − x2 )n

;

б)

∑ e− n2x ;

в)

∑

.

4

n

2n

n=1

n=1

n=1

(x − 1)

∞

2n

2 n

∞

(−1)n+1

∞

x + 1

2n

2.1.9. а)

∑

tg

x ;

б)

∑

;

в)

∑

.

n

x

2

+ n

2

x − 1

n=1

n=1

n=1

∞

∞

3n + 2

∞

2.1.10. а) ∑ (8

− x2 )n ;

б)

∑

;

в)

∑ ne−nx .

x nx+1

n=1

n=1

n=1

67

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

∞

1

∞

4

n

x

∞

sin nx

2.1.11. а)

∑

;

б)

∑

x4n sin

;

в)

∑

.

n=1

4 + xn

n=1

n

n

n=2

n ln3 n

∞

3n sin2 n x

∞

3n

∞

1

2.1.12. а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

.

2

(

)(

)

n

n

n

ln (x − e)

n=1

n=1 n + 1 x − 3

n=1

∞

1

∞

2n + 1

∞

1

2.1.13. а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

.

n=1

lnn

x

n=1

(n + 1)5 x2n

n=1

(4n − 3)x+1

∞

∞

sin(2n − 1)x

∞

1

2.1.14. а)

∑ (n + 1)en x

;

б)

∑

;

в)

∑

.

n=1

n=1

(2n − 1)2

n=1 n (x2 − 1)n

∞

n!

∞

x

∞

(4x − 1)

n

2.1.15. а)

∑

;

б)

∑ 27n x3n arctg

;

в)

∑

.

n=1 xn

n=1

n

n=1

(n + 2)3n

∞

∞

n

2.1.16. а)

∑ ne−n x

;

б)

∑

;

n

(x +

4)

n=1

n=1 ln

∞

x

∞

cos πnx

2.1.17. а)

∑ xn tgn

;

б)

∑

;

2n

n=1

n=2

n ln2 n

∞

1

∞

2

n

2.1.18. а)

∑

;

б)

∑

sinn

x ;

n

(x + e)

n

n=1 ln

n=1

∞

ln

n

x

∞

2.1.19. а)

∑

;

б) ∑ ne−nx ;

n=1

3 n4

n=1

∞

n x

∞

n

2.1.20. а)

∑

;

б)

∑

;

n x

n

n=1

e

n=1

(x − 2)

∞

n

∞

2.1.21. а) ∑

3

sinn x ;

б) ∑

n!

;

n

n

n=1

n=1

x

∞

n

3 n

x

∞

x

2

2.1.22. а)

∑

3 sin

;

б)

∑ n sin

;

n3

2n

n=1

n=1

∞

1

x

n

в)

∑

tg

.

x

n2

n=1

∞

1

в)

∑

.

(5n − 3)2x

n=1

в) ∑ (3x + 2)

n

.

∞

n=1

n2n

∞

1

в)

∑

.

5

nx

+

3

n=1

∞

4

n

sin

2n

x

в)

∑

.

n2

n=1

(

)

в)

∑

x2 − 2

n

.

∞

n=1

4n (n2 + 2)

в)

∑

(x − 1)

.

∞

3n+1

n=1

27n n

68

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

∞

2.1.23. а) ∑

n=1

∞

2.1.24. а) ∑

n=1

∞

2.1.25. а) ∑

n=1

∞

2.1.26. а) ∑

n=1

∞

2.1.27. а) ∑

n=1

∞

2.1.28. а) ∑

n=1

∞

2.1.29. а) ∑

n=1

∞

2.1.30. а) ∑

n=1

x

∞

n

;

б) ∑ (5 − x2 )

;

n + x2

n=1

(−1)n

∞

3n

;

б) ∑

;

(n − x)1/ 2

(

)(

)

n

n=1

n + 1

x − 1

x

∞

tg

n

x

;

б)

∑

;

2n x +

3

n=1

n2

2 + x

n

∞

ln

n

(x

+ 1)

;

б) ∑

;

2 − xn

n=1

3 n4

n + 2

∞

(−1)

n−1

;

б) ∑

;

nx+1

n=1 n 3n (x − 5)n

3

∞

sin nx

;б) ∑

;

n (n + x2 )

n=1

n2

(−1)

n

∞

3

; б) ∑

tg2n

x ;

(x4 + n)2

n=1 n

(−1)n

∞

1

;

б)

∑

;

x +

n

4

nx

+ 1

n=1

∞

−1

n

(

3x−)2 .

в)

∑

n=1 n

∞

x

в)

∑

.

nx

+ 2

n=1

3

∞

nx

в) ∑

.

nx

n=1 e

∞

8n sin3n x

в)

∑

.

3

n=1

n

∞

n

в)

∑

3

tg2n x .

n

n=1

∞

x2n

в)

∑

.

4n (2n − 1)

n=1

(

)

n+1

∞

−1

в)

∑

n

2x+1 .

n=1

∞

(x

2

− 1)

n

в)

∑

.

n

n=1

2.2. Використовуючи ознаку Вейєрштрасса, доведіть рівномірну збіжність функціональних рядів на вказаному проміжку.

∞

(sin x +

3 cos x)

n

∞

e

x

2.2.1. ∑

, x R.

2.2.2. ∑ sin

, x R.

4n

n

n=1

n=1

n

∞

n + 1

∞

xn

2.2.3. ∑

, x R.

2.2.4. ∑

,

x [−1; 1].

n

4

+ x

4

2

+ 1

n=1

n=1 n

∞

− nx

∞

x

2.2.5. ∑

3

, x [0; ∞).

2.2.6. ∑ 2−n sin

, x R.

n2

n=2

n=1

n

∞

cos

nx

∞

2

2.2.7. ∑

, x R.

2.2.8. ∑

x

, x R.

2

2

2

2

n

4

n=1 x + n

n=1

+ x

69

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

∞

n

2.2.9. ∑

(sin x − 3 cos x)

,

x R.

n=1

3n

∞

(3x)n

1

1

2.2.11. ∑

, x

−

;

.

3

3

n=1 n(1+ n)

∞

n

2.2.13. ∑

, x [0;

∞).

2

n

n=1

1+ xn

∞

2.2.15. ∑

n=2

∞

2.2.17. ∑

n=1

∞

2.2.19. ∑

n=1

	xn
		, x [−1; 1].
	n ln2 n
(sin x − cos x)n				,	x R.
	2n
	n + 1		, x [0; ∞).
(2x + n)4

	∞			2	x
	2.2.21. ∑	2−n cos					, x R.
				n
	n=1
	∞		| x |
	2.2.23. ∑					,	x R.
		3+ | x | n2
	n=1
	∞		n + 2
	2.2.25. ∑				,		x R.
			n4 + | x |
	n=1

∞1

2.2.27.n∑=1 (2x + n)2 , x [0; ∞).

∞		4n xn			1		1
2.2.29. ∑			, x	−		;		.
		+ 3 n7
n=1 2					4		4

∞

−nx

2.2.10. ∑

5

,

x [0; ∞).

3

+

2

n=2

n

∞

x4

2.2.12. ∑

, x R.

4 + x4 n2

n=1

∞

n

2.2.14. ∑

,

x [0; ∞).

(x + n)3

n=1

∞

−nx

2.2.16. ∑

2

,

x [0; ∞).

2

+

3

n=2

n

∞

sin

n

x

2.2.18. ∑

,

x R.

n=1

2n

∞

x

n

, x [−1; 1].

2.2.20. ∑

n=2 n ln3

n

∞

3

−nx

2.2.22. ∑

, x [0; ∞).

n=2

2n4 + 1

∞

x

n

2.2.24. ∑

,

x [−1; 1].

6

+ n

n=1 n

∞

cos nx

2.2.26. ∑

2

, x R.

2

+ n

2

n=1 x

∞

(sin x +

1)

n

2.2.28. ∑

, x R.

3n

n=1

∞3sin nx

2.2.30.n∑=1 x4 + n3 , x R.

2.3. Знайдіть область збіжності степеневих рядів.

∞

(x − 2)

n

∞

1

2.3.1. ∑

.

2.3.2. ∑

(x + 5)n tg

.

n=1

(3n + 1) 2n

n=1

3n

∞

(3n − 2)(x −

3)

n

∞

(x + 2)

n

2.3.3. ∑

.

2.3.4. ∑

.

(n + 1)2 2n+1

(2n + 1) 3n

n=1

n=1

∞

(−1)

n

(x

− 3)

n

∞

n

2.3.5. ∑

.

2.3.6. ∑ sin

(x

− 2)n .

(n + 1) 5n

n + 1

n=1

n=1

70

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/