Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta
.pdf∞ |
4n − 3n |
|
|
1.1.7. ∑ |
|
. |
|
12n |
|||
n=1 |
|
∞1
1.1.9.n∑=1 (n + 7)(n + 6) .
∞1
1.1.11.n∑=1 (n + 4)(n + 6) .
∞ |
|
2n + 7n |
|
|
|
|
|||
1.1.13. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
14n |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
1.1.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(3n + 1)(3n + |
4) |
|||||||
n=1 |
|
||||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.1.17. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
(n − 1)(n − 3) |
|
|||||||
n=4 |
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
6n − 5n |
|
|
|
|
|||
1.1.19. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
30n |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
1.1.21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2n + 3)(2n + |
5) |
||||||||
n=1 |
|
||||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
1.1.23. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2n + 3)(2n + |
5) |
||||||||
n=1 |
|
||||||||
∞ |
|
2n + 9n |
|
|
|
|
|||
1.1.25. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
18n |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.1.27. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
(n + 1)(n − 2) |
|
|
||||||
n=3 |
|
|
|
|
∞1
1.1.29.n∑=1 (3n + 5)(3n + 2) .
∞ |
|
|
1 |
|
|
||
1.1.8. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
(2n + |
5)(2n + 7) |
||||||
n=1 |
|
||||||
∞ |
|
3n + 7n |
|
|
|||
1.1.10. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
21n |
|
|||||
n=1 |
|
|
|||||
∞ |
|
5n − 3n |
|
|
|||
1.1.12. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
15n |
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
∞1
1.1.14.n∑=1 (n + 3)(n + 5) .
∞7n − 2n
1.1.16.∑ .n
n=1 |
14 |
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
4n + 5n |
|
|||||||
1.1.18. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
20n |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
1 |
|
|||||
1.1.20. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1)(2n + 1) |
|||||||
n=1 (2n − |
|
||||||||
∞ |
3n + 8n |
|
|||||||
1.1.22. ∑ |
|
|
|
. |
|
||||
|
24n |
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
7n − 4n |
|
|||||||
1.1.24. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
28n |
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
1 |
|
|||||
1.1.26. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1)(3n + 2) |
|||||||
n=1 (3n − |
|
||||||||
∞ 10n − 3n |
|
||||||||
1.1.28. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
30n |
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
9n − 2n |
|
|||||||
1.1.30. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
18n |
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Доведіть розбіжність рядів.
∞ |
π |
|
|
1.2.1. ∑ cos |
. |
||
|
|||
n=1 |
n2 |
∞n − 1 n
1.2.3.n∑=1 n .
∞7n − 1
1.2.2.n∑=1 1000n + 1 .
∞n2 + 1
1.2.4.n∑=1 5n2 − 3n + 1 .
31
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ln n
1.2.5.n∑=1 3 + 2 ln n .
∞2n − 1 n
1.2.7.∑ .
2nn=1
∞ |
π |
|
|
1.2.9. ∑ cos |
. |
||
|
|||
n=1 |
3n |
||
∞ |
|
|
|
1.2.11. ∑ ( |
n2 + n + 1 − n) . |
n=1
∞ln n
1.2.13.n∑=1 1+ 2 ln n .
∞4n + 3
1.2.15.∑ .
+3n=1 n
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.17. ∑ cos πn . |
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
4n |
|
n2 |
|
||||
∞ |
n + 3 |
|
|
||||||||
1.2.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
+ 2 |
|
|||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
1.2.21. ∑ ctg |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
2n − 5 |
|
|
|
||||||
1.2.23. ∑ |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
n=1 |
100n + 3 |
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
||
1.2.25. ∑ arctg |
|
|
. |
||||||||
6n + 1 |
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
1.2.27. ∞ n + 5 n .
∑ n=1 n + 4
1.2.29. ∞ n − 3 2n .
∑ n=1 n
∞ |
n + 1 |
n2 |
|||
1.2.6. ∑ |
|
|
|
. |
|
n |
|||||
n 1 |
|
|
|||
= |
|
|
|
|
∞3n + 5
1.2.8.n∑=1 5n + 1000 .
∞2n2 + 1
1.2.10.n∑=1 n(3n + 1) .
∞n!
1.2.12.n∑=1 n!+ 10 .
∞3 + n!
1.2.14.n∑=1 100 + n! .
∞3n − 5 n
1.2.16.∑ .
3nn=1
∞4n + 7
1.2.18.n∑=1 7n − 4 .
∞ |
|
|
|
|
|
|
1.2.20. ∑ ( |
n2 + 4n + 5 − n) . |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln n |
|
|
||
1.2.22. ∑ |
|
. |
||||
2 |
+ ln n |
|||||
n=1 |
|
|
||||
∞ |
|
|
n − 1 |
|
||
1.2.24. ∑ cos |
. |
|||||
|
||||||
n=1 |
|
|
n2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1.2.26. ∑ ( |
n2 + 2n − n) . |
n=1
∞(n + 2)n
1.2.28.n∑=1 (n + 3)(n + 1) .
∞ |
|
1.2.30. ∑ ( 4n2 + 3n + 7 |
− 2n) . |
n=1 |
|
1.3. Дослідіть на збіжність ряди з додатними членами, використовуючи ознаку Д’Аламбера.
∞ |
3n (n + 2)! |
∞ |
7n − 1 |
|
∞ |
(n + 3)! |
|
||||
1.3.1. ∑ |
|
|
. 1.3.2. ∑ |
|
|
. |
1.3.3. ∑ |
|
|
. |
|
n5 |
5n (n + 1)! |
n! 2n |
|||||||||
n 1 |
n 1 |
|
n 1 |
|
|||||||
= |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
32
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
|
2 |
+ 3 |
|
|
|
||||||
1.3.4. ∑ |
n |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 n 3n−1 |
|
|
|
|||||||||
∞ |
n |
n+1 |
|
|
|
|||||||
1.3.7. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 (n +1)! |
|
|
|
|||||||||
∞ |
(n + 2)! |
|
||||||||||
1.3.10. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
n |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
10 |
n |
|
|
|
|||||
1.3.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
(n + |
3)! |
|||||||||||
n=1 |
|
∞ |
|
|
|
2π |
|
|
|
1.3.16. ∑ n3 tg |
. |
|
|||||
n |
|||||||
n=1 |
|
|
5 |
|
|
||
∞ |
2 |
n |
(2n −1) |
|
|||
1.3.19. ∑ |
|
. |
|||||
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
5n |
∞ |
π |
|
|
1.3.22. ∑ n!sin |
. |
||
|
|||
n=1 |
2n |
∞5n+1
1.3.25.n∑=1 (n + 2) n! .
∞(2n −1)3
1.3.28.∑ (2n)! .n=1
∞ |
|
|
|
4 5 6 (n + 3) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.3.5. ∑ |
|
|
. |
|
1.3.6. ∑ n sin |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
5 7 9 (2n + 3) |
|
n=1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
1 7 13 (6n − 5) |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.3.8. ∑ |
. |
|
1.3.9. ∑ |
3n(n +1) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
2 3 4 (n +1) |
|
n=1 |
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(n +1) |
n 2 |
|||||||||||||
1.3.11. ∑ |
(2n +1) tg |
|
|
. |
|
|
|
|
1.3.12. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
5n |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 6 11 (5n − 4) |
|
|
|
|
∞ |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.3.14. ∑ |
|
. |
1.3.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
3 7 11 (4n −1) |
|
n=1 |
(n + 3)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
(n |
2 |
+1) 2 |
n |
|
∞ |
|
ln n |
|
|
||||||||||||||||||||||
1.3.17. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.18. ∑ |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
(2n + 3)! |
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
2 5 8 (3n −1) |
|
|
∞ |
|
(n +1) |
n |
||||||||||||||||||||||||
1.3.20. ∑ |
|
|
|
. 1.3.21. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
3 7 11 (4n −1) |
|
n=1 n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 5 9 (4n − 3) |
|
|
|
∞ |
|
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.3.23. ∑ |
. |
1.3.24. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
1 4 7 (3n − 2) |
|
n=1 (2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 3 5 (2n −1) |
|
∞ |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.3.26. ∑ |
|
|
|
|
. 1.3.27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 7 12 (5n − 3) |
|
|
(n +1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.3.29. ∑ |
|
|
(3n −1) sin |
. |
|
1.3.30. ∑ |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
4n |
|
n=1 n 2n |
|
|
|
|
|
|
1.4. Дослідіть на збіжність ряди з додатними членами, використовуючи радикальну ознаку Коші.
|
∞ |
n |
|
n2 |
|
|
|
|
n |
|
|
∞ |
5n −1 |
n2 |
|
|
||||||||||||||||
1.4.1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
. |
1.4.2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n n |
|||||||||||||
1.4.3. ∑ |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1.4.4. ∑ |
arctg |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
2n + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
∞ |
|
n2 |
+ 5n + 8 |
n |
|
|||||||||||||
1.4.5. |
∑ |
|
arcsin |
|
|
|
|
|
. |
1.4.6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3n |
− 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
n 2n +1 |
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
n2 |
n |
|
|||||||||||||||
1.4.7. ∑ arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1.4.8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n + 2 |
|
|
|
|
|
33
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.4.9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
1.4.10. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
(n + |
1) |
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n=1 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
πn 2n |
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
πn n |
||||||||||||||||||||||
1.4.11. ∑ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1.4.12. ∑ tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
3n + |
|
|
|
|
|
|
6n + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
2n − 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
π 2n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1.4.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1.4.14. ∑ |
sin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2n |
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
n + 1 n+1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.4.15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
1.4.16. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
((n + 1) |
|
|
n) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
∞ |
3n − 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1.4.17. ∑ |
e2n |
− 1 |
|
|
(n + 1) |
|
.1.4.18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
5n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.4.19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
1.4.20. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
(n + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n 1 ln |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
3n2 |
− 1 |
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1.4.21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1.4.22. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
7n2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
πn 2n |
|
∞ |
n + 1 |
5n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.4.23. ∑ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1.4.24. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
4n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n 1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
((n + 1) n)n2 |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1.4.25. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1.4.26. ∑ |
e4n |
|
− 1 |
(3n + 1)n . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1.4.27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1.4.28. ∑ arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
2 |
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|||||||||||
1.4.29. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
1.4.30. ∑ arcsinn |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
(ln(n + 1))n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
1.5. Дослідіть на збіжність ряди з додатними членами, використовуючи ознаку порівняння.
∞ |
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
∞ |
n + 1 |
|
|
|
|||
1.5.1. ∑ |
|
. |
|
1.5.2. ∑ |
|
|
. |
1.5.3. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
3 n5 + n − 1 |
5n |
2 |
+ |
2 |
|
||||||||
n=1 n3 + 2 |
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|||||||
∞ |
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1.5.4. ∑ |
|
|
|
. |
1.5.5. ∑ |
|
. |
|
1.5.6. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
n=1 |
n3 + 3n |
|
n=1 |
n2 + n |
|
|
n=1 ln(n + |
2) |
|
34
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
n |
|
|
1.5.7. ∑ |
|
. |
|
3 2n4 + 1 |
|||
n=1 |
|
∞n + 3
1.5.10.n∑=1 n(n + 1) .
∞2n − 1
1.5.13.n∑=1 3n2 + 5 .
∞n + 2
1.5.16.n∑=1 n(n + 4) .
∞3n − 1
1.5.19.∑ 2n − 1 .n=1 2
∞ |
|
|
π |
|
||
1.5.22. ∑ sin |
|
|
|
. |
||
2n −1 |
||||||
n=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
∞ |
n |
2n + 1 |
|
|||
1.5.25. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
n3 |
+ 1 |
|
||||
n=1 |
|
|
∞2n + 1
1.5.28.n∑=1 n2 + 4 .
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.5.8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
1.5.9. ∑ tg |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n − 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 3n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
3n − 1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
cos2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.5.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
1.5.12. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
+ 1 |
|
|
|
n |
3 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||
1.5.14. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1.5.15. ∑ n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
3n |
2 |
− n + 1 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
∞ |
|
|
5n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
1.5.17. ∑ sin |
|
|
|
. |
|
1.5.18. ∑ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n3 + n + |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
n + 4 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
n + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.5.20. ∑ |
|
. |
|
|
|
1.5.21. ∑ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n 1 n(n − 4) |
|
|
|
n 1 n 3 n + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.5.23. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
1.5.24. ∑ sin |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 n3 |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.5.26. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1.5.27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 n2 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 ln(n + 4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
3 |
|
n |
2 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.5.29. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
1.5.30. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 5n2 + 3 |
|
|
|
n=1 |
n(n + 1) |
|
|
|
|
|
1.6. Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи граничну ознаку порівняння.
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1.6.1. ∑ sin2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
n + 2 |
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
1.6.3. ∑ |
1− cos |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.6.5. ∑ |
en |
− |
1 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1.6.7. ∑ arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 + 1 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
e |
n4 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.6.9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
1.6.2. ∑ ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
n |
3 |
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1.6.4. ∑ |
1 |
tg |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
n2 + 1 |
|
|
||||||||||
1.6.6. ∑ ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
1.6.8. ∑ sin |
tg |
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
n |
+ 1 |
|||||||||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
||
1.6.10. ∑ |
1 |
− cos |
|
|
|
. |
||||||||
|
3 n |
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.6.11. ∑ arctg |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n3 + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
− 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
1.6.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
n |
|
+ n + 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.6.15. ∑ sin3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
(n + 1)(n + |
2) |
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∞ |
2n sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.6.17. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.6.19. ∑ arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n + 1 |
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
2 n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.6.21. ∑ ln |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||
1.6.23. ∑ |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
2n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.6.25. ∑ arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
5n + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.6.27. ∑ |
1− cos |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
1 |
ln |
|
|
n + 1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
1.6.29. ∑ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
2n2 + 3 |
|
|||||||||||||||||
1.6.12. ∑ ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
1.6.14. ∑ 1− cos |
. |
|||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
e |
n |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.6.16. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
n |
− 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
1.6.18. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
n |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.6.20. ∑ |
tg3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n |
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
n + 1 2 |
|
|
||||||||||||||||
1.6.22. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
1.6.24. ∑ |
|
sin |
4 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 n |
||||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.6.26. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
e |
n |
− e |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.6.28. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
e |
n3 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.6.30. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи граничну ознаку порівняння та інтегральну ознаку Коші.
∞ |
1 |
|
|
||
1.7.1. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
(n + 4) |
|
||
n=1 n ln2 |
|
|
|||
∞ |
1 |
|
|
||
1.7.3. ∑ |
|
|
. |
||
|
|
|
|||
n=3 n ln n ln(ln n) |
|
36
∞ |
ln n |
|
|
|
|
|
1.7.2. ∑ |
|
|
. |
|
||
|
+ 1) |
|
||||
n=2 n(ln2 n |
|
|
||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
1.7.4. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
n=3 n ln n ln2 |
(ln n) |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
1.7.5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
+1) ln(n + |
2) |
||||||||||||
n=1 (n2 |
|
||||||||||||||||
∞ |
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.7.7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(n +1) |
|
|
|
||||||||||
n=1 ln2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
tg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.7.9. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=2 |
|
ln n |
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.7.11. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=2 n(1+ ln2 |
n) |
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
arctg |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.7.13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=2 |
|
3 ln n |
|
|
|
|
1.7.15. ∞ n 3− n2 .
∑
n=1
∞1
1.7.17.n∑=1 n ln6 (n + 2) .
∞3
1.7.19.∑ n2 e−n .
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.21. ∑ ne−n |
n . |
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
1.7.23. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=2 n(9 + 4 ln2 |
n) |
|||||||||
∞ |
|
− |
n+1 |
|
|
|
|
|||
1.7.25. ∑ |
3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|||
1.7.27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
ln2 |
|
|
|||||
n=1 n3 |
(n +1) |
|||||||||
∞ |
2 |
− |
n |
|
|
|
|
|||
1.7.29. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1.7.6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||
(2n2 + 3) ln4 |
|
||||||||
n=2 |
n |
||||||||
∞ |
|
tg |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
1.7.8. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
+ 3) |
|
|
||||
n=1 ln(n |
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.10. ∑ ne− n2 . |
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
ln n |
|
|
|||
1.7.12. ∑ |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
n=2 n(4 + ln4 n) |
|
|
∞1
1.7.14.n∑=1 n ln3 (2n +1) .
∞1
1.7.16.∑ .2
n=2 n(4 + ln n)
∞1
1.7.18.n∑=1 (n + 2) ln(n + 5) .
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
1.7.20. ∑ |
|
|
|
. |
||
(n + 3) ln3 |
|
|
|
|||
n=1 |
(n + 4) |
|||||
∞ |
|
n2 |
|
|
|
|
1.7.22. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
(n3 + 2) ln(n + 5) |
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
1.7.24. ∑ n3e−n4 . |
|
|
|
|
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1.7.26. ∑ n 5−n2 . |
|
|
|
|
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln n |
|
|
|
|
1.7.28. ∑ |
|
|
. |
|
|
n=2 n(1+ ln4 n)
∞n + 2
1.7.30.n∑=1 (n2 + 4) ln(n +1) .
37
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
1.8. Дослідіть ряди на абсолютну й умовну збіжність.
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
1.8.1. а) ∑ |
|
; |
|
|
|
||
n=2 |
n ln n |
|
|
|
|
||
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
1.8.2. а) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
n=1 |
3n − 1 |
|
|
|
|
||
∞ |
(−1)n+1 tg |
|
2 |
|
|||
1.8.3. а) ∑ |
|
; |
|||||
n |
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
n |
||
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
(−1) n ; |
|
|
|||||
1.8.4. а) ∑ |
|
|
|||||
n=1 |
5n2 + 1 |
|
|
|
|
∞(−1)n+1
1.8.5.а) n∑=1 (n + 1) 2n+1 ;
∞ |
(−1)n |
2n − 1 |
|
n |
|||
1.8.6. а) ∑ |
; |
||||||
|
|
||||||
n=1 |
|
3n + 2 |
|
|
|||
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
(−1) (n + 1) |
|
|
|
||||
1.8.7. а) ∑ |
; |
|
|||||
|
|
||||||
n=1 |
3n2 − 7n + 1 |
|
|
∞(−1)n+1
1.8.8.а) n∑=1 (2n + 1) ln2 (2n + 1) ;
∞(−1)n+1 n2
1.8.9.а) ∑ ;n
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n+1 sin |
2 |
|
|
|
|||||
1.8.10. а) ∑ |
|
; |
|
|||||||
3n |
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
(−1) |
n+1 |
5 |
n |
|
|
|
|
||
1.8.11. а) ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|||
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
||
1.8.12. а) ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|||
3 5n − 3 |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
(−1)n+1 arctg |
|
1 |
|
||||||
1.8.13. а) ∑ |
|
; |
||||||||
2n |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
(2n + 3) |
|
|
|||||||||||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
n3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
(n − 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
4n+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
(n |
3 |
+ 1) |
|
|
|
|
|||||||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
n4 + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) ∑ (−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
(4n + 1) |
|
|
|
||||||||||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
n(3n − 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) ∑ (−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
n ln3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
(−1) (3n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(−1) (2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
n(5n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
(−2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
(n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) ∑ (−1) |
n+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 5 n2 + 7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) ∑ |
|
(−1) |
n+1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
(2n − 1) |
2 |
|
|||||||||||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
( |
−1) |
n |
|
|
|
2n + 1 |
|
|
||||||||||
1.8.14. а) ∑ |
|
ln |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
||||||||||
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.8.15. а) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2n − 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
(−1)n |
|
n + |
2 |
|
|
n |
|
|
||||||||||
1.8.16. а) ∑ |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
(−1) |
|
|
3n − 2 |
|
|
|
||||||||||||
∞ |
n |
(3n − 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.8.17. а) ∑ |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
5n2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
(−1)n+1 sin |
|
π |
|
|
|
|
||||||||||||
1.8.18. а) ∑ |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
( |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||
∞ |
n |
n |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.8.19. а) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ (−1) |
n+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 3 4n2 + 1 |
|
|
|||||||||||||||
б) ∑ |
( |
|
|
|
|
) |
n+1 |
. |
|||||||||
∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 3 n2 |
|
|
|
n + 1 |
|
|
|||||||||||
б) ∑ |
|
(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n 3 ln n |
|
|
|||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
n 3 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
5n−2 |
|
|
||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
n − 1 |
|
n2 |
|||||||||||
б) ∑ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
||||||||
б) ∑ (−1) |
n+1 |
|
|
||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
3n + 4 |
|
|
∞ |
(−1)n arcsin |
1 |
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
(2n − 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.8.20. а) ∑ |
|
|
; |
|
б) ∑ |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
5n3 + 9 |
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(−1) n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.8.21. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
2n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n ln2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(−1)n sin |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.8.22. а) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
б) ∑ |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
+1 |
3n2 |
+ 1 |
n |
|
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.8.23. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
5n |
|
− 1 |
|
|
|
n=1 |
n |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
( |
−1) |
n |
n − 2 |
n2 |
||||||||||||||
1.8.24. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
+ 2 |
|
|
|
|||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
n + 1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
3n + 1 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
1.8.25. а) ∑ |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) ∑ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n − 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(−1)n arctgn |
|
3n − 1 |
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.8.26. а) ∑ |
|
; б) ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 + 1 |
n=1 n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
(2n + 1) |
2 |
|
|||||||||||||||
1.8.27. а) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
||||||||||||
n=1 |
n ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
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∞ |
(−1) |
n |
n ; |
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
n+4 |
||
1.8.28. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||
n=1 |
n2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|
|
(−1)n+1 |
n |
+ 2 |
|
|
|
(−1) . |
|||||||||
1.8.29. а) ∑ |
|
; |
|
б) ∑ |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
5n3 − 1 |
|
|
n=2 |
n ln4 n |
|
|
|||||
∞ |
(−1)n arctg |
2 |
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
(5n −1) . |
|||||||
1.8.30. а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
|
|||||||||||
|
n 3 |
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
5n2 + 1 |
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Тема 2. ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ
Функціональні ряди. Основні поняття та означення. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштрасса. Властивості рівномірно збіжних рядів. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду. Ряди Тейлора і Маклорена. РозкладанняфункційурядТейлора. Застосуваннястепеневих рядів.
Література: [3, розділ 5, п.п. 5.4—5.5], [9, розділ 9, §2], [14, розділ 3, §2], [15, розділ 13, п.п. 13.2—13.3], [16, розділ 16, §9—28], [17, розділ 5, §16—19].
Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. Основні поняття та означення
Нехай задано послідовність функцій
{un (x)} = {u1 (x), u2 (x), …, un (x), …} ,
кожна з яких визначена на деякій множині D .
Функціональним рядом називають вираз
∞ |
|
u1(x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... = ∑un (x). |
(1.9) |
n=1 |
|
Якщо у ряді (1.9) зафіксувати x = x0 D, то функціональний ряд стане числовим. Цей ряд може збігатися або розбігатися. Якщо у точці x0 числовий ряд збігається, то точку x0 називають точкою збіжності функціонального ряду. Множину всіх значень x , для яких функціональний ряд збіжний,
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