Введемо позначення

, (1.17)

тоді (1.16) запишеться так

Y(р) = W (p)X(p).(1.18)

Таким чином, отримано значення вихідної величини у формі перетворення Лапласа, тобто у вигляді функції комплексної змінної р.

Функція W(p) - це дрібно-раціональна функція, у якої степінь полінома чисельника менша або дорівнює степеня полінома знаменника.

Відставання чи випередження за фазою, що мають місце в реальних елементах, і визначають дрібно-раціональний характер функції W (p).

Якщо відомі перетворення Лапласа для вхідного впливу X(p) і вихідного сигнала Y(р), то можна визначити функцію W (p) з співвідношення

(1.19)

при нульових початкових умовах. Отже, функцію W (p) можна назвати передаточною функцією елемента системи.

Передаточна функція повною мірою визначає динамічні властивості елемента.

Для переходу до функції дійсної змінної необхідно до (1.18) застосувати зворотне перетворення Лапласа, згідно з яким

, (1.20)

або використати формулу розкладання

,

де k_і - кратність кореня p_i.

Для окремого випадку, коли один з коренів знаменника нульовий, а інші прості, можна отримати функцію у (t), використовуючи формулу розкладання Хевісайда :

(1.21)

де Н (р) і Q (р) - відповідно поліном чисельника і знаменника функції W(p); p_i - корені рівняння

Q (p) = 0 ; .(1.22)

1.5.1. Типові сигнали , які використовуються для визначення

динамічних властивостей елементів

Для оцінки динамічних властивостей елемента системи необхідно мати розв’язок диференціального рівняння (1.9), що буде можливим, коли відомий вхідний вплив х (t). Проте в реальних умовах роботи вхідна величина кожного елемента може бути довільною функцією часу. Більш того, вона може змінювати свій характер при переході від одного режиму роботи системи до іншого. Щоб не вирішувати кожен раз окрему задачу дослідження динаміки елемента при конкретному вхідному сигналі, а отримати досить повне уявлення про динамічні властивості елемента внаслідок одного розв’язання рівняння динаміки, доцільно ввести деякий типовий вплив х(t), що відображує найбільш тяжкий або найбільш вірогідний режим роботи елементів.

Типові збурювальні впливи, що подають на вхід елементів, називаються стимулювальними сигналами, а вихідну величину, яку отримують внаслідок дії збурення на вході, називають реакцією на стимулювальну дію.

В якості стимулювальних сигналів використовують такі типові впливи: одиничну функцію; дельта-функцію; одиничний гармонічний сигнал; степеневі функції часу.

Одинична функція 1(t) - функція, незмінна за величиною і дорівнює одиниці для всіх моментів часу , а для значень t<0 тотожно дорівнює нулю ( рис. 1.6, а ).

Аналітично одинична функція може бути представлена таким чином:

1 (t) = (1.23)

Цю функцію можна отримати з неперервної функції

(1.24)

внаслідок граничного переходу при , обмежуючись розглядом головних значень в інтервалі

. (1.25)

На практиці виникнення одиничного вхідного сигналу, що описується функцією 1(t), є вельми типовим, наприклад, підключення постійної напруги до входу елемента.

Дельта-функція (функція Дірака) являє собою імпульс нескінченно великої амплітуди з нескінченно малою тривалістю (рис. 1.6, б). Аналітична форма представлення -функції буде така :

(1.26)

.(1.27)

Між одиничною функцією і -функцією існує зв’язок у вигляді

. (1.28)

Функцію Дірака можна отримати також з неперервної функції (рис. 1.6, б):

(1.29)

шляхом граничного переходу при , тобто

. (1.30)

Інтеграл в межах від -довід-функції дорівнює одиниці.

Короткочасні імпульсні впливи, що аналогічні функції Дірака, практично зустрічаються досить часто. Наприклад, електричний імпульс в 1 мс для звичайних систем регулювання напруги можна вважати подібним до дельта-функції (t)

Одиничний гармонічний сигнал -гармонічні коливання з постійною амплітудою, яка дорівнює одиниці. Цей стимулювальний сигнал може задаватись як в комплексній формі

(1.31)

так і в дійсній формі, у вигляді синусоїдального або косинусоїдального коливання

(1.32)

Тут А - амплітуда коливань, яка дорівнює одиниці ; - кругова частота , яка визначається як, деТ - період ; - початкова фаза.

Вхідний гармонічний сигнал широко використовується в частотних методах дослідження елементів та пристроїв СУА.

Степеневий стимулювальні впливи являють собою різні степеневі функції часу. На практиці використовуються лінійна, квадратична, кубічна степенева функції, аналітичний вираз котрих відповідно має вид

х(t) = k₁t ; х(t) = k₂t² ; х(t) = k₃t³. (1.33)

Розглянуті види стимулювальних впливів мають різне призначення. В випадку використання одиничного степеневого впливу являє інтерес окреме розв’язання неоднорідного диференційного рівняння (1.9) при х(t)=1(t), тобто перехідний процес, який виникає в елементі при переході його з одного стану рівноваги до іншого. Використання гармонічного впливу дозволяє отримати розв’язок неоднорідного рівняння, що відображує вимушений рух елемента.

Таким чином, в залежності від використання певних типових стимулювальних впливів можна поділити динамічні характеристики елементів на два типи: часові, які характеризують властивості елементів в перехідному режимі, і частотні, які відображають властивості елементів у вимушеному русі.

Степеневі стимулювальні впливи використовуються для досліджень динамічних властивостей елементів систем, які працюють в режимі слідкування.