Тема 5. Системи масового обслуговування з відмовами

Нехай в деяку сукупність пунктів (систему обслуговування) через певні проміжки часу надходять об’єкти (вхідний потік), над якими виконуються певні операції (обслуговування), після чого об’єкти залишають систему. Таку структуру мають процеси на транспорті, в зв’язку, у виробничій сфері (ремонт та обслуговування обладнання). Звичайно вхідні потоки мають випадковий характер, тобто надходять до системи обслуговування через випадкові моменти часу. Сукупність описаних процесів називають процесами масового обслуговування.

Об’єкти, що надходять до системи масового обслуговування (СМО) називають заявками або вимогами.

СМО класифікують за наступними ознаками:

1. Кількість каналів (кількість заявок, що можуть одночасно обслуговуватись). Виділяють одноканальні СМО (з’єднання по телефону з конкретним абонентом) та багатоканальні (залізничні каси).

2. Наявність черги (заявок, що очікують обслуговування). В СМО з відмовами, якщо канал зайнятий заявка не обслуговується, а залишає систему. СМО з чергами поділяють на системи з обмеженнями на довжину черги та системи з необмеженою чергою.

3. Кількість етапів обслуговування. В однофазовій СМО заявка обслуговується повністю в одному пункті (придбання квитка). В багатофазовій системі заявка проходить декілька етапів обслуговування (придбання товарів у супермаркетах: зважування продуктів у різних відділах, потім обслуговування касиром).

4. Дисципліна черги (для СМО з чергою). В СМО з пріоритетами є заявки, що обслуговуються не в порядку черги. СМО з нетерплячими клієнтами включає можливість заявки залишити систему не дочекавшись обслуговування.

Найпростіший потік подій

Означення 5.1.Потоком подій називають послідовність однакових подій, що відбуваються у випадковий момент часу.

Прикладами потоків можуть бути виклики швидкої допомоги, прихід пасажирів до залізничних кас, рух автомобілів на шосе, тощо.

Означення 5.2. Потік подій називають стаціонарним, якщо кількість подій, що відбувається за певний проміжок часу , залежить лише від тривалості цього проміжку і не залежить від початку його відліку.

Наприклад, потік пасажирів, що прямують до залізничних кас, не є стаціонарним, тому що кількість пасажирів залежить від часу доби, дня тижня та пори року. Потік викликів швидкої можна наближено вважати стаціонарним.

Означення 5.3. Потік подій називають ординарним, якщо ймовірність появи двох або більше подій за досить невеликий проміжок часу є значно меншою за ймовірність появи однієї події, і нею можна знехтувати.

Потік студентів, що приходять захищати розрахункові роботи не є ординарним з тієї причини, що ймовірність одночасного приходу двох або більше студентів є досить великою порівняно з імовірністю приходу одного студента і нехтувати нею не можна. Але викладач може зробити цей потік ординарним, призначаючи час захисту персонально.

Означення 5.4. Потік подій називають потоком без післядії, якщо кількість подій, що відбуваються за деякий проміжок часу не залежить від кількості подій, що відбувалися за інший проміжок часу, при умові, що ці проміжки не перетинаються.

Потік пасажирів до залізничних кас можна вважати потоком без післядії, тому що причини, з яких кожен з них приходить до кас, не залежить від причин приходу інших.

Означення 5.5. Стаціонарний ординарний потік подій без післядії називається найпростішим або Пуассонівським.

Дискретна випадкова величина ξ з множиною значень 0, 1, ..., n, що характеризує кількість заявок, що надходить до СМО найпростішим потоком за час t, розподілена за законом Пуассона з параметром , де - інтенсивність потоку (середня кількість заявок в одиницю часу). Тобто

Випадкова величина - час між двома заявками, що надходять до СМО найпростішим потоком з інтенсивністю - розподілена за експоненціальним законом розподілу із щільністю

В теорії масового обслуговування вважається також, що час обслуговування заявки та час очікування в черзі (якщо вона існує) теж розподілені за експоненціальним законом з параметрами та відповідно. Тут - інтенсивність обслуговування (кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу), а - інтенсивність того, що заявка залишить чергу, не дочекавшись обслуговування. У випадках, коли заявка не покидає чергу ні за яких умов () СМО називають чистою СМО з очікуванням.

Зауваження 5.1. Ми вже наводили приклади того, що потік подій дуже часто не є найпростішим. Але на певних часових інтервалах ми можемо вважати його таким.

Аналогічно, при обслуговуванні не завжди виконані умови, при яких час обслуговування розподілений за експоненціальним законом. Але в цьому випадку, виключивши за досить тривалий проміжок часу досить малу кількість заявок, що порушують даний закон, ми можемо вважати наведені твердження виконаними.

Зауваження 5.2. Процеси масового обслуговування являють собою випадкові процеси з дискретними станами і неперервним часом. Враховуючи, що для цих процесів характерна відсутність післядії, ми можемо зробити висновок, що вони є марковськими. У випадку стаціонарності дані марковські процеси є однорідними. У більшості випадків СМО із стану може перейти лише в стани та (при умові ординарності). Наприклад, якщо k – кількість заявок у черзі або кількість зайнятих каналів обслуговування, то в деякий момент часу вона може збільшитись або зменшитись тільки на одиницю. Тому ми маємо справу із схемою «загибелі і розмноження».