Загальна фізика / Теоретичні курси / Електрика та постійний електричний струм

де χ дiелектрична сприйнятливiсть речовини, яка характеризує властивостi дiелектрика; χ величина безрозмiрна; притому завжди χ > 0 i для бiльшостi дiелектрикiв (твердих i рiдких) складає декiлька одиниць (хоча, наприклад, для спирту χ = 25, для води χ = 80).

Для встановлення кiлькiсних закономiрностей поля в дiелектрику внесемо в однорiдне зовнiшнє

~

електричне поле E0 (створюється двома нескiнченними паралельними рiзнойменно зарядженими площинами) пластинку з однорiдного дiелектрика, розташувавши її так, як показано на рис. 1.19.

Пiд дiєю поля дiелектрик поляризується, тобто вiдбувається зсув зарядiв: позитивнi змiщуються по полю, негативнi проти поля. В результатi цього на правiй гранi дiелектрика, зверненого до негативної площини, буде надлишок позитивного заряду з поверхневою густиною +σ0, на лiвiй негативного заряду з поверхневою густиною −σ0. Цi нескомпенсованi заряди, що з’являються в результатi поляризацiї дiелектрика, називаються зв’язаними. Оскiльки їх поверхнева густина σ0, менше густини вiльних

~

зарядiв σ площин, то не все поле E компенсується полем зарядiв дiелектрика: частина лiнiй напруженостi пройде крiзь дiелектрик, iнша ж частина обривається на зв’язаних зарядах. Отже, поляризацiя дiелектрика викликає зменшення в ньому поля в порiвняннi з початковим зовнiшнiм полем. Зовнi дiе-

~ ~

лектрика E = E0.

Таким чином, поява зв’язаних зарядiв приводить до виникнення додаткового електричного поля

~0 ~

E (поля, що створене зв’язаними зарядами), яке направлене проти зовнiшнього поля E0 (поля, що створене вiльними зарядами) i послаблює його. Результуюче поле всерединi дiелектрика

~ ~ − ~0 E = E0 E .

Поле E0 = σ0/ε0 (поле, створене двома нескiнченними зарядженими площинами; (див. формулу (1.16)), тому

E = E0 − σ0/ε0.

(1.39)

Визначимо поверхневу густину зв’язаних зарядiв σ0. По (1.37), дипольний момент пластинки дiелектрика pV = P V = P Sd, де S площа гранi пластинки, d її товщина. З iншого боку, повний дипольний

момент, згiдно з (1.9), дорiвнює добутку зв’язаного заряду кожної гранi Q0 = σ0S на вiдстань d мiж ними, тобто pV = σ0Sd. Таким чином, P Sd = σ0Sd, або

σ0 = P.	(1.40)
Пiдставивши в (1.39) вирази (1.40) i (1.38), одержимо
E = E0 − χE,
звiдки напруженiсть результуючого поля всерединi дiелектрика дорiвнює
E = E0/(1 + χ) = E0/ε.	(1.41)
Безрозмiрна величина
ε = (1 + χ)	(1.42)

називається дiелектричною проникнiстю середовища. Порiвнюючи (1.41) i (1.42), бачимо, що ε показує, в скiльки разiв поле ослаблюється дiелектриком, i кiлькiсно характеризує властивiсть дiелектрика поляризуватися в електричному полi.

1.13.Електричне змiщення. Теорема Гаусса для електростатичного поля в дiелектрику

Напруженiсть електростатичного поля, згiдно з (1.41), залежить вiд властивостей середовища: в однорiдному iзотропному середовищi напруженiсть поля E обернено пропорцiйна ε. Вектор напруженостi

~

E, проходячи через межу дiелектрикiв, зазнає стрибкоподiбну змiну, створюючи тим самим незручностi

~

при розрахунках електростатичних полiв. Тому виявилося необхiдним, крiм вектора напруженостi E,

характеризувати поле ще вектором електричного змiщення, який для електрично iзотропного середовища, за визначенням, дорiвнює

~	~	(1.43)
D = εε0E.
Використовуючи формули (1.42) i (1.38), вектор електричного змiщення можна виразити як
~	~ ~	(1.44)
D = ε0E + P .

Одиниця електричного змiщення кулон на метр в квадратi (Кл/м2).

Розглянемо, з чим можна пов’язати вектор електричного змiщення. Зв’язанi заряди з’являються в дiелектрику за наявностi зовнiшнього електростатичного поля, яке створене системою вiльних електричних зарядiв, тобто в дiелектрику на електростатичне поле вiльних зарядiв накладається додаткове

~

поле зв’язаних зарядiв. Результуюче поле в дiелектрику описується вектором напруженостi E, i тому

~

вiн залежить вiд властивостей дiелектрика. Вектором D описується електростатичне поле, створюване вiльними зарядами. Зв’язанi заряди, що виникають в дiелектрику, можуть викликати, проте,

~

перерозподiл вiльних зарядiв, що створюють поле. Тому вектор D характеризує електростатичне поле, створюване вiльними зарядами (тобто у вакуумi), але при такому їх розподiлi в просторi, яке iснує за наявностi дiелектрика.

~ ~

Аналогiчно, як i поле E, поле D зображається за допомогою лiнiй електричного змiщення, напрям i густина яких визначаються точно так, як i для лiнiй напруженостi (див. 1.3).

~

Лiнiї вектора E можуть починатися i закiнчуватися на будь-яких зарядах вiльних i зв’язаних,

~

тодi як лiнiї вектора D тiльки на вiльних зарядах. Через областi поля, де знаходяться зв’язанi заряди,

~

лiнiї вектора D проходять не перериваючись.

~

Для довiльної замкнутої поверхнi S потiк вектора D крiзь цю поверхню

II

~ ~

ΦD = D)dS = DndS,

S

S

~

де Dn проекцiя вектора D на нормаль ~n до площадки dS.

Теорема Гаусса для електростатичного поля в дiелектрику:

IS DdS~ ~ = I	n
	DndS = i=1 Qi,	(1.45)
S	X

тобто потiк вектора змiщення електростатичного поля в дiелектрику крiзь довiльну замкнуту поверхню дорiвнює алгебраїчнiй сумi зосереджених всерединi цiєї поверхнi вiльних електричних зарядiв. У такiй формi теорема Гаусса справедлива для електростатичного поля як для однорiдного та iзотропного, так i для неоднорiдного та анiзотропного середовищ.

Для вакууму Dn = ε0En (ε = 1), тодi потiк вектора напруженостi крiзь довiльну замкнуту поверхню (порiвн. з (1.13)) дорiвнює

In

X

ε0EndS = Qi.

Si=1

Оскiльки джерелами поля в середовищi є як вiльнi, так i зв’язанi заряди, то теорему Гаусса (1.13) для поля в найзагальнiшому виглядi можна записати як

I	ε0EdS~ ~ = I	n	k
		ε0EndS = i=1	Qi + i=1	Qiz,
	S	X	X

nk

PP

де

Qi i

Qiz вiдповiдно алгебраїчнi суми вiльних i зв’язаних зарядiв, що охоплюються замкнутою

i=1 i=1

~

поверхнею S. Проте ця формула неприйнятна для опису поля E в дiелектрику, оскiльки вона виражає

~

властивостi невiдомого поля E через зв’язанi заряди, якi, в свою чергу, визначаються ним же. Це ще раз доводить доцiльнiсть введення вектора електричного змiщення.

1.14.Умови на межi роздiлу двох дiелектричних середовищ

	~ ~
Розглянемо зв’язок мiж векторами E i D на межi роздiлу двох однорiдних iзотропних дiелектрикiв
(дiелектричнi проникностi яких ε1 i ε2) за вiдсутностi на межi вiльних зарядiв.
Побудуємо поблизу межi роздiлу дiелектрикiв 1 i 2 невеликий за-
мкнутий прямокутний контур ABCDA довжини l, зорiєнтувавши йо-
го так, як показано на рис. 1.20.
Згiдно з теоремою (1.22) про циркуляцiю вектора,
ABCDAI	Edl~ ~ = 0,
Eτ2l − Eτ1l = 0
(знаки iнтегралiв по AB i CD рiзнi, оскiльки шляхи iнтегрування про-
тилежнi, а iнтеграли по дiлянках BC i DA нескiнченно малi). звiдки
					Рис. 1.20.
	Eτ1 = Eτ2.					(1.46)
	~			~		, одержимо
Замiнивши, згiдно з (1.43), проекцiї вектора E проекцiями вектора D, подiленими на εε0
		Dτ1	=	ε1	.	(1.47)
		Dτ2		ε2

На межi роздiлу двох дiелектрикiв (рис. 1.21) побудуємо прямий цилiндр нескiнченно малої висоти, одна основа якого знаходиться в першому дiелектрику, iнша в другому. Основи S настiльки малi, що в межах кожного з них вектор однаковий. Згiдно з теоремою Гаусса (1.45),

Dn2 S − Dn1 S = 0

Рис. 1.21.					Рис. 1.22.
(нормалi ~n i n~0 до основ цилiндра направленi протилежно). Тому
Dn1 = Dn2.						(1.48)
~					~	, одержимо
Замiнивши, згiдно з (1.43), проекцiї вектора D проекцiями вектора E, помноженими на εε0
	En1	=	ε2	.		(1.49)
	En2
			ε1

Таким чином, пiд час переходу через межу роздiлу двох дiелектричних середовищ тангенцiальна

~		~
складова вектора E (Eτ ) i нормальна складова вектора D (Dn, ) змiнюються безперервно (не зазнають
	~		~
стрибка), а нормальна складова вектора E (En) i тангенцiальна складова вектора D (Dτ ) зазнають
		~	~
стрибок. З умов (1.46) – (1.49) для складових векторiв E i D виходить, що лiнiї цих векторiв заломлю-
ються. Знайдемо зв’язок мiж кутами α1 i α2 (на рис. 1.22			ε2 > ε1). Згiдно з (1.46) i (1.49), Eτ2 = Eτ1 i
~	~	бiля межi роздiлу на тангенцiальнi i нормальнi складовi. З
ε2En2 = ε1En1. Розкладемо вектори E1	i E2

рис. 1.22 виходить, що

tgα2 = Eτ2/En2 . tgα1 Eτ1/En1

~

Враховуючи записанi вище умови, одержимо закон заломлення лiнiй напруженостi E (а значить, i лiнiй

~

змiщення D)

tgα2 = ε2 tgα1 ε1.

~

Ця формула показує, що при входженнi в дiелектрик з бiльшою дiелектричною проникнiстю, лiнiї E i

~

D вiддаляються вiд нормалi.

1.15.Сегнетоелектрики

Сегнетоелектрики дiелектрики, що володiють в певному iнтервалi температур спонтанною (мимовiльною) поляризованiстю, тобто поляризованiстю за вiдсутностi зовнiшнього електричного поля. До сегнетоелектрикiв вiдносяться, наприклад, детально вивченi I. В. Курчатовим (1903–1960) i П. П. Кобеко (1897–1954) сегнетова сiль NaKC4H4O6 · 4H2O (вiд неї i одержали свою назву сегнетоелектрики) i титанат барiю BaT iO3.

За вiдсутностi зовнiшнього електричного поля сегнетоелектрик представляє собою нiби мозаїку з доменiв областей з рiзними напрямами поляризованостi. Це схематично показано на прикладi

титанату барiю (рис. 1.23), де стрiлки i знаки			~
		, вказують напрям вектора P . Оскiльки в сумiжних
доменах цi напрями рiзнi, то в цiлому	дипольний момент дiелектрика дорiвнює нулю.
		J L

При внесеннi сегнетоелектрика в зовнiшнє поле вiдбувається переорiєнтацiя дипольних моментiв доменiв по полю, а сумарне електричне поле доменiв, що при цьому виникає, буде пiдтримувати деяку їх орiєнтацiю i пiсля припинення дiї зовнiшнього поля. Тому сегнетоелектрики мають аномально великi значення дiелектричної проникностi (для сегнетової солi, наприклад, ε ' 104).

Рис. 1.23.

Рис. 1.24.

Сегнетоелектричнi властивостi сильно залежать вiд температури. Для кожного сегнетоелектрика є певна температура, вище за яку його незвичайнi властивостi зникають i вiн стає звичним дiелектриком. Ця температура називається точкою Кюрi (на честь французького фiзика Пьера Кюрi (1859–1906)). Як правило, сегнетоелектрики мають тiльки одну точку Кюрi, виняток становлять лише сегнетова сiль (-18 i +24◦C) та iзоморфнi з нею з’єднання. У сегнетоелектриках поблизу точки Кюрi спостерiгається також рiзке зростання теплоємностi речовини. Перетворення сегнетоелектрикiв в звичайний дiелектрик, що вiдбувається в точцi Кюрi, супроводжується фазовим переходом II роду (див. ч.1, §75).

Дiелектрична проникнiсть ε (а отже, i дiелектрична сприйнятливiсть χ) сегнетоелектрикiв зале-

~

жить вiд напруженостi E поля в речовинi, а для iнших дiелектрикiв цi величини є характеристиками речовини.

Для сегнетоелектрикiв формула (1.38) не виконується; для них зв’язок мiж векторами поляризо-

~ ~ ~

ваностi (P ) i напруженостi (E) нелiнiйний i залежить вiд значень E в попереднi моменти часу. У сегнетоелектриках спостерiгається явище дiелектричного гiстерезису ("запiзнювання"). Як видно

~		~
з рис. 1.24, iз збiльшенням напруженостi E зовнiшнього електричного поля поляризованiсть P росте,
~	~	~
досягаючи насичення (крива 1). Зменшення P iз зменшенням E вiдбувається по кривiй 2, i при E = 0
~	, тобто сегнетоелектрик залишається поля-
сегнетоелектрик зберiгає залишкову поляризованiсть P0

ризованим за вiдсутностi зовнiшнього електричного поля. Щоб знищити залишкову поляризованiсть, треба прикласти електричне поле зворотнього напряму (−Ec). Величина Ec називається коерцитив-

~ ~

ною силою (вiд лат. соеrcitio утримування). Якщо далi змiнювати E, то P змiнюється по кривiй 3

петлi гiстерезису.

Iнтенсивному вивченню сегнетоелектрикiв послужило вiдкриття академiком Б. М. Вулом (1903– 1985) аномальних дiелектричних властивостей титанату барiю. Титанат барiю через його хiмiчну стiйкiсть i високу механiчну мiцнiсть, а також через збереження сегнетоелектричних властивостей в широкому температурному iнтервалi знайшов велике науково-технiчне використання (наприклад, як генератор i приймач ультразвукових хвиль). В даний час вiдомо бiльше сотнi сегнетоелектрикiв, не рахуючи їх твердих розчинiв. Сегнетоелектрики широко застосовуються також як матерiали, що мають великi значення ε (наприклад, в конденсаторах).

Слiд згадати ще про п’єзоелектрики кристалiчнi речовини, в яких при стисненнi або розтягуваннi в певних напрямах виникає електрична поляризацiя навiть за вiдсутностi зовнiшнього електричного поля (прямий п’єзоефект). Спостерiгається i зворотний п’єзоефект поява механiчної деформацiї пiд дiєю електричного поля. В деяких п’єзоелектрикiв гратки позитивних iонiв в станi термодинамiчної рiвноваги змiщенi щодо граток негативних iонiв, внаслiдок чого вони виявляються поляризованими навiть без зовнiшнього електричного поля. Такi кристали називаються пiроелектриками. Ще iснують електрети дiелектрики, якi тривалий час зберiгають поляризований стан пiсля зняття зовнiшнього електричного поля (електричнi аналоги постiйних магнiтiв). Цi групи речовин знаходять широке застосування в технiцi i побутових пристроях.

1.16.Провiдники в електростатичному полi

Якщо помiстити провiдник в зовнiшнє електростатичне поле або його зарядити, то на заряди провiдника дiятиме електростатичне поле, внаслiдок чого вони почнуть перемiщатися.

Перемiщення зарядiв (струм) продовжується до тих пiр, поки не встановиться рiвноважний розподiл зарядiв, при якому електростатичне поле всерединi провiдника обертається в нуль. Це вiдбувається протягом дуже короткого часу. Насправдi, якби поле не дорiвнювало нулю, то в провiднику виник би впорядкований рух зарядiв без витрати енергiї вiд зовнiшнього джерела, що суперечить закону збереження енергiї. Отже, напруженiсть поля в усiх точках всерединi провiдника дорiвнює нулю:

~
E = 0.
Вiдсутнiсть поля всерединi провiдника означає, згiдно з (1.33), що
потенцiал в усiх точках усерединi провiдника постiйний (ϕ = const),
тобто поверхня провiдника в електростатичному полi є еквiпотен-
цiальною (див. 1.9). Звiдси ж виходить, що вектор напруженостi поля
на зовнiшнiй поверхнi провiдника направлений по нормалi до кожної
точки його поверхнi. Якби це було не так, то пiд дiєю дотичної складо-
вої заряди почали б по поверхнi провiдника перемiщатися, що, в свою
чергу, суперечило б рiвноважному розподiлу зарядiв.
Якщо провiднику надати деякий заряд Q, то заряди, що не ком-
пенсувалися, розташовуються тiльки на поверхнi провiдника. Це ви-
ходить безпосередньо з теореми Гаусса (1.45), згiдно з якою заряд Q,	Рис. 1.25.
що знаходиться всерединi провiдника в деякому об’ємi, обмеженому