Шварц - Анализ(том2)

Л.Шварц

АНАЛИЗ ТОМ 2

Имя Лорана Шварца — одного из крупнейших математиков современности — хорошо известно советским специалистам.

Его двухтомный курс существенно отличается от всех имеющихся книг по анализу. Изложение характеризуется глубоким взаимопроникновением методов классического и функционального анализа, современной алгебры и топологии. Следует отметить также блестящий стиль курса, умение автора выделить основное, объяснить значение тех или иных идей.

Второй том посвящен дифференциальным уравнениям, внешним дифференциальным формам и функциям комплексного переменного.

Книга Л. Шварца, несомненно, заинтересует преподавателей математики, научных работников в области математики, физики и механики, а также инженеров и будет весьма полезна студентам университетов, педагогических институтов и высших технических учебных заведений с углубленным изучением математики.

	Содержание
	Глава V. Дифференциальные уравнения	5
	1. Постановка задачи	5
	2. Теоремы существования и единственности	8
	Существование и единственность локальных решений	9
	Распространение метода на решение некоторых интегральных	14
	уравнений
	Продолжение локальных решений дифференциального уравнения	15
	Априорная оценка решений дифференциального уравнения	17
	Условие существования глобальных решений на [a, b]	20
	Применение к механике	23
	Непрерывность решения как функция параметра	24
	Производные высших порядков решения дифференциального уравнения	30
	Первые интегралы дифференциального уравнения	31
	Дифференциальное уравнение, определенное векторным полем	33
	3. Линейные дифференциальные уравнения	37
	Разрешающий оператор (резольвента) линейного дифференциального	43
	уравнения
	Линейное уравнение со свободным членом	48
	Случай скалярного дифференциального уравнения порядка p со	51

свободным членом

Применение теории линейных дифференциальных уравнений к вопросу о непрерывности и дифференцируемости решения дифференциального уравнения, зависящего от параметра

4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Частный случай, когда пространство FG является n-мерным

Случай скалярного дифференциального уравнения порядка p с постоянными коэффициентами

Скалярное дифференциальное уравнение порядка p с постоянными коэффициентами и с правой частью

Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Глава VI. Внешнее дифференциальное исчисление

1. Мультилинейные альтернирующие отображения Симметричные и антисимметричные отображения

Внешнее произведение мультилинейных антисимметричных форм Внешнее произведение мультилинейных отображений

Внешняя алгебра пространства EG'

2. Ориентация конечномерного векторного пространства над R Другие методы ориентации векторного пространства

Особые свойства антисимметричных p-форм над евклидовым ориентированным N-мерным пространством Е

3. Дифференциальные формы в аффинном пространстве Примеры дифференциальных форм Внешнее произведение дифференциальных форм

Дифференциальная форма, соответствующая производной функции Прообраз дифференциальной формы при отображении Дифференциальные формы на абстрактных многообразиях

Дифференциальные формы и поля в ориентированном евклидовом N- мерном пространстве

4. Кограница или внешний дифференциал внешней дифференциальной формы

Градиент, дивергенция, ротор в аффинном евклидовом ориентированном N-мерном пространстве E

Механическая интерпретация дивергенции Вычисляем в полярных координатах в R3

54

58

61

66

71

75

78

78

80

88

95

96

97

99

103

110

113

115

117

120

125

126

128

135

139

141

Внешняя первообразная дифференциальной формы

5. Ориентация дифференцируемых многообразии над полем вещественных чисел

Непрерывная система ориентации многообразия Сравнение двух непрерывных систем ориентации Ориентируемость и ориентация многообразия Ориентация многообразия коориентируемыми картами

Ориентация многообразия с помощью непрерывных векторных полей

Ориентация многообразия с помощью знака вещественных дифференциальных форм

Пример неориентируемого многообразия. Лист Мёбиуса Ориентируемость комплексных многообразии

Трансверсальная ориентация многообразия Σ размерности n=N-1 в аффинном пространстве E размерности N над полем вещественных чисел

Трансверсальная ориентация с помощью непрерывных полей нормальных векторов

Разбиение пространства на области с помощью гиперповерхностей

Трансверсальная ориентация гиперповерхности и разбиение пространства на области

Связь между трансверсальной и касательной ориентациями

6. Интегрирование дифференциальной формы на ориентированном многообразии

Мера Радона, определенная непрерывной дифференциальной формой ωG степени n на ориентированном n-мерном многообразии класса C1

Интеграл от дифференциальной формы степени n на n-мерном ориентируемом многообразии

Элементарные свойства интеграла Практическое вычисление интеграла Оценка интеграла Применение к практическим вычислениям

Случай гиперповерхности евклидова пространства Преобразование с помощью диффеоморфизма

Интеграл от дифференциальной формы по особому ориентированному многообразию

Свойства интеграла от формы на особом многообразии Интеграл от дифференциальных форм на многообразиях, имеющих

143

150

151

153

154

155

155

157

158

161

162

164

168

172

175

183

183

188

189

189

190

194

199

200

202

204

205

особенности Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл по произвольному пути конечной длины

7.Формула Стокса Многообразии с краем Многообразие с псевдокраем Ориентация псевдокрая Теорема Стокса Элементарная теорема Стокса Общая теорема Стокса Изучение частного случа n=1

Частный случай n=2 в плоскости R2. Формула Римана Замечательные интегральные формулы векторного анализа Правила преобразования интегралов в векторном анализе

8.Применение теории дифференциальных форм к алгебраической топологии

Интегралы дифференциальных замкнутых форм по компактным ориентированным многообразиям без края

Интеграл от коцикла по циклу

Определение непрерывной дифференциальной формы с помощью ее интегралов по ориентированным компактным многообразия с краем

Теорема де Рама

Применение к функциям «аргумент» в R2 Операция сложения циклов Циклы, гомологичные нулю Гомологичные циклы

Множество классов Cm-гомологии множества Ω имеет структуру абелевой группы

Гомотопия

Гомотопия является чисто топологическим понятием, поскольку при ее определении используются только непрерывные отображения

Соотношения между гомотопиеи и гомологией Односвязные пространства Дифференциальная форма "телесный угол"

Гомология в дополнении к конечному множеству аффинного пространства

207

210

213

213

215

217

218

219

224

233

235

237

242

245

245

247

249

250

256

258

259

263

266

267

268

275

281

285

291

Общее выражение для классов гомологии в Ω-A. Гомологичность нулю в 292

Ω

	Индекс цикла размерности N-1 относительно точки в ориентированном	302
	N-мерном аффинном пространстве
	Инвариантность индекса при непрерывной деформации	304
	Изменение индекса цикла при пересечении образа цикла	307
	Приложение к вычислению индексов в различных областях	310
	пространства, определенных некоторым циклом

Классы вычетов коцикла с изолированными особенностями Топологическая степень непрерывного отображения Обобщение теории топологической степени

Глава VII. Функции комплексных переменных

1. Дифференцируемость относительно полей вещественных и комплексных чисел

Введение символов	∂	,	∂
			∂z j
	∂z j

2. Элементарная теория голоморфных функций комплексной переменной. Интегральные формулы Коши

Первая основная интегральная формула Коши Первообразная голоморфной функции Вторая основная интегральная формула Коши

3.Следствия из второй интегральной формулы Коши Обобщение неравенств Коши Разложение в ряд Тейлора Целые функции. Теорема Лиувилля

4.Мероморфные функции. Полюсы и существенно особые точки. Теория вычетов. Вычисление интегралов методом вычетов

Поведение функции в окрестности существенно особой точки Сохранение вычетов дифференциальных форм при C1 -диффеоморфизме

Поверхности Римана, сфера Римана, вычеты дифференциальных форм с изолированной особенностью

Формула для нулей и полюсов мероморфнои функции Обобщение на поверхности Римана Первая проблема Кузена в комплексной плоскости Важные частные случаи

Первая проблема Кузена на поверхности Римана

313

314

323

325

325

329

332

333

335

339

343

347

350

365

372

378

387

389

399

405

407

410

416

Вторая проблема Кузена в комплексной плоскости		419
5. Применение теоремы о вычетах к вычислению определенных интегралов		427
Приложение к вычислению сверток		434
Введение экспоненциальных множителей		438
6. Дополнение по общей топологии. Теоремы Асколи и Моптеля		455
Полуметрические пространства		455
Непрерывность и равномерная непрерывность		458
Равномерная структура. Липшицева структура		459
Последовательности Коши. Секвенциально полные пространства		461
Метризуемые полуметрические пространства		462
Ограниченные подмножества полуметрического пространства		463
Полунормированные векторные пространства		463
Ограниченные множества в топологическом векторном пространстве		475
Множества равностепенно непрерывных отображений и теоремы		477
Асколи
Топологические дополнения. Теоремы Бэра и Бапаха-Штейнгауза		483
Свойства Мотеля		495
Дополнение о простой и равномерной сходимости ряда Фурье и		502
интеграла Фурье
Сходимость интеграла Фурье		502
Сходимость ряда Фурье		509
Локальное поведение функции и сравнение сходимости ряда Фурье и		518
интеграла Фурье
Предметный указатель		522
Предметный указатель
Алгебраический объем	- выходящий из области 172
параллелепипеда 103	Векторное поле 33
- телесный угол 286	- произведение векторов 106
Алгебраическое число обходов цикла	Вещественные гармонические
вокруг точки 302	сопряженные функции 332
- - покрытий точки 316	Внешнее произведение 88, 90
Альтернирующее отображение 82	- - дифференциальных форм 115
Аналитическая функция 351	- - мультилинейных
Антисимметризация отображения 81	антисимметричных форм 88
Антисимметричное отображение 80	- - - отображений 95
Априорная оценка 17	Внешняя алгебра 96
Вектор, входящий в область 172

-первообразная дифференциальной формы 143

-теорема о вычетах 384

-p-форма 83

Внутренняя теорема о вычетах 381, 383

Вторая основная интегральная формула Коши 339

-проблема Кузена в комплексной плоскости 419

-теорема Асколи 481

Вырожденный Cm -цикл 259

-- размерности n 259 Вычет 376

-дифференциальной формы 387, 391

-функции в бесконечности 378, 384 Гармоническая функция 330 Голоморфное значение логарифма

336

Гомотопия 268

Cm -гомотопные отображения 268 Градиент 135 Граница 213

Cm -граница 246

Группа Cm -гомологии 266

-перестановок 78 Детерминантная функция 84 Дивергенция 135

Дифференциальная форма степени p 110

-p-форма класса Cm 111 Дифференциальная p-форма m раз

дифференцируемая 111 Дифференциальное уравнение,

определенное векторным полем

34 C-дифференцируемость 325 R-дифференцируемость 329

Замкнутая дифференциальная форма

134

Звездное множество 271 Индекс цикла 302

Интеграл дифференциального уравнения 5

-дифференциальной формы 188, 202, 204, 205, 207, 245

-от коцикла по циклу 247

Интервал безопасности 8 Каноническая ориентация 101 - - R2 206

Касательная ориентация 175, 180 Класс вычетов коцикла 313

-Cm -гомологии 263

-Cm -гомотопий 269

-когомологий 264 Ковектор 83 p-ковектор 83

Когомологичные формы 264 Кограница 245

-дифференциальной формы 128 Компактификация по Александрову

393

Коориентируемые карты 155

Коцикл 134, 245

Край 213 Криволинейный интеграл 207, 210

Линейное дифференциальное уравнение 37

-- - со свободным членом 48

-- - с постоянными коэффициентами

58

Липшицева структура 459 Липшицево отображение 459 Лист Мёбиуса 158 Мероморфная функция 372, 377 Метод вариации произвольных

постоянных 49 Метризуемое полуметрическое

пространство 462 Многообразие с краем класса Cm

размерности n 213

-- особыми точками 206

-- псевдокраем 215

Множество функций, равномерно равностепенно непрерывное

478

Множество функций, равностепенное липшицево 478

Множитель Вейерштрасса 425 Мультилинейное альтернирующее

отображение 78 Направленное семейство 456 Неориентируемое многообразие 158 Непрерывное значение логарифма

336

Неравенство Коши 346

-- обобщенное 347 Нечетная перестановка 80

Нуль мероморфной функции 399 Области, определенные множеством

168

Общая теорема Стокса 224 Ограниченное множество 463, 475 Односвязное топологическое

пространство 281 Окружение 460 Операция взятия кограницы 134

Ориентация многообразия 154

-- коориентируемыми картами 155

-- с помощью знака вещественных дифференциальных форм 157

-- - - непрерывных векторных полей

155

-псевдокрая 217

Ориентированное векторное пространство 98

- многообразие класса C^ размерности, n, 1, 154

Ориентируемость комплексного многообразия 161

Особая часть множества 206 Особый цикл 218 Относительный максимум в широком

смысле 356 - минимум в широком смысле 356

Отображение, гомотопное нулю 276

-локально обладающее свойством Липшица 8

-удовлетворяющее условию Липшица 459

Первая основная интегральная формула Коши 333

-проблема Кузена 408, 416

-теорема Асколи 479 Первообразная голоморфной

функции 335 Первый интеграл 31 Поверхность Римана 389

Поле, локально удовлетворяющее условию Липшица 34 Положительный класс R-базисов 101

Положительный класс трансверсальных векторов 174

Полуметризуемое пространство 457 Полуметрическая структура простой

сходимости 467

-- равномерной сходимости 471 Полуметрические структуры,

эквивалентные по Липшицу 459 Полуметрическое пространство 456 Полунорма 463 Полунормированное пространство

464

Полуполное пространство 462 Полурасстояние 455 Полюс мероморфной функции 399

-порядка m 376, 378, 391

Порядок нуля 390 Последовательность Коши 461 Потенциал векторного поля 238 Поток векторного поля 239 Прообраз дифференциальной формы

120

Простая сходимость 502 Пространство Бэра 483 Прямой образ дифференциальной

формы 121 Псевдограница 215 Псевдомногообразие 206 Работа векторного поля 237

Равномеризуемое пространство 461	Спектр 367
Равномерная структура 459	Структура компактной сходимости
Равномерно непрерывное	471
отображение 458, 461	- равномерной сходимости 470
Равностепенное непрерывное	Существенно особая точка 376
множество 477, 478	Сфера Римана 393
- непрерывные функции 477, 478	Сходящаяся последовательность 461
Разбиение пространства на области	Телесный угол 285
168, 172	Теорема Адамара 425
Разложимая форма 91	- Банаха-Штейнгауза 485
Разрешающий оператор 44	- Вейерштрасса 369, 379, 419
Регулярная точка 307, 376, 378	- Гельфанда 367
- часть множества 206	- Даламбера 318, 358, 366
Регулярное дифференциальное	- де Рама 250
уравнение 7	- Коши 9
Резольвента 44	- Лиувилля 366
Решение дифференциального	- Мазура-Улама 369
уравнения 5	- Миттаг-Леффлера 408
Род поверхности Римана 417	- Монтеля 497
Ротор 137	- Мореры 345
Ряд Лорана 373	- о вычетах 381, 427
Свертка 434	- - среднем 355
Свойство, выполняющееся B-почти	- - строгом максимуме 349
всюду 485	- Пикара 380
- Монтеля 495	- Пуанкаре 144
- устойчивости 77	- Руше 317
Секвенциально полное пространство	- Стокса 218
462	- существования и единственности 8
Сигнатура 79	- Хёвисайда 73
Симметризация отображения 81	- Шаудера о неподвижной точке 321
Симметричное отображение 80	Топологическая степень 323
Система интервала и шара	- - отображения в точке 314
безопасности 8	Топологическое дополнение 483
- ориентации многообразия 151	- пространство n-связное 283
- - - непрерывная в точке 153	Топология компактной сходимости
- - - - на части многообразия 153	471, 472
- трансверсальных ориентации	- простой сходимости 466
гиперповерхности 163	- равномерной сходимости 470
- - - - непрерывная в точке 163	Точки, близкие порядка U 460
Скалярное дифференциальное	Тощее множество 485
уравнение 41, 51, 68, 71	Трансверсальная ориентация
Сложение циклов 258	гиперповерхности 172
Смешанное произведение векторов	- - с помощью непрерывных полей
104	нормальных векторов 164

Трансверсально ориентированная гиперповерхность 162, 164 - ориентируемая гиперповерхность

164

Третья теорема Асколи 489 Упорядоченный базис 97 Уравнение в вариациях 54

-- полных дифференциалах 5 Условие Коши 7

-Коши-Римана 328 Фильтрующееся семейство 456 Форма степени p 83, 111 p-форма 111

Формула Грина 243

-дополнения 448

-Остроградского 241

-Римана 236

-Стокса 218, 219, 242

Фундаментальная N-форма 103 Функция К-аналитическая 352

-аргумент 256

-Cm голоморфная 332

-p-листная 402

- Эйлера 451 Характеристический корень 67 Целая функция 365 Цикл 218

Cm цикл 246

-Cm гомологичный нулю 259 Циклы Cm -гомологичные 263 Циркуляция поля 237

Часть многообразия, n-мерно пренебрежимая 206

Четная перестановка 80 Число Бернулли 415

Число инверсий перестановки 79 Шар безопасности 8 Эквивалентные полуметрические

структуры 459

-упорядоченные базисы 97 Экспонента оператора 59, 61 Экспоненциальный множитель 438 Элементарная работа векторного

поля 238

-теорема Стокса 219