Числовой ряд, его сход-ть.

Определение:Формально записанная сумма бесконечного мн-ва чисел (1) наз-ся числовым рядом. Если послед-ть его частичных сумм {S_n}: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, ,..., S_n=a₁+...+a_n= ... имеет конечный предел

lim S_n=S, то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму S (в этом случае запись (1) не просто формальная запись, а выражает число). Если lim S_n не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится (в этом случае (1) не выражает никакого числа, но если lim S_n=, то ряду (1)приписывают сумму бесконечности).

Число   называется  -ой частичной суммой ряда 

Ряд наз-ся k-ым остатком ряда. Если этот ряд сход-ся, то его сумму обозначают .

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

1. Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.

2. Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.

3. Если ряд сходится, то

T-ма ( Критерий Коши сход-ти ряда).

[ряд (1) сходится]

Сходимость ряда (1) равносильно сход-ти послед-ти частичных сумм {S_n}, а сход-ть послед-ти равносильна выполнению критерия Коши для послед-ти: , где

Т-ма (о сход-ти остатка ряда)

k-ый остаток ряда сход-ся или расход-ся одновременно с самим рядом. В случае сход-ти сумма S=S_k+r _k (k-ая частичная сумма плюс сумма k-го остатка ряда)

При достаточно больших номерах (>k) ряд и его k-ый остаток имеют одинаковые отрезки ряда, поэтому критерий Коши для них выполняется или не выполняется одновременно так, что сам ряд и его остаток сход-ся или расход-ся одновременно. Пусть ряд (1) сход-ся: lim S_n= S  R, тогда при n>k будет n=k+m, где m - некоторое натуральное число S_n=a₁+a₂+...+a_k+a_k+1+...+a_k+m , где

_m=a_k+1+...+a_k+m - m-ая частичная сумма остатка ряда a_k+1+a_k+2+...+a_k+m+... При n  S_n S, при этом m = n-k   (к-фиксированное) и потому lim _m= r _k (т.к. по условию остаток ряда сход-ся). В пределе получаем S=S_k+r _k 

Следствие о роли конечного числа членов ряда.

Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа членов ряда не влияют на его сход-ть (влияют только на сумму в случае сход-ти)

При достаточно большом к указанные изменения не затрагивают к-ый остаток ряда, а к-ый остаток ряда сходится или расходится одновременно с самим рядом

Т-ма (необходимые признаки сход-ти).

Если ряд (1) сходится, то:

1) n-ый член ряда стремится к нулю: lim a_n =0.

2)сумма k-ого остатка ряда, при к, стремится к нулю: lim r _k=0

 Пусть ряд (1) сходится, тогда:

1)lim S_n = S  lim S_n-1 = S  lim a_n = lim (S_n-S_n-1)= S - S = 0; 2) lim r_k =  т-ма о сход-ти ряда = lim(S-S_k)=S-lim S_k=S-S=0 

Из т-мы следует, что если lim a_n0, то ряд расходится, но условие lim a_n=0 не гарантирует сход-ти ряда (это только необходимый признак, но не достаточный)

Теор Признак сравнения в форме нер-ва.

Если сущ ( n₀): ( n>n₀)[anbn], то из сх-ти ряда bn  сх-ть ряда an, а из расх. ряда  an  расх. р. bn.

Благодаря сл.1.5. можно счит., что нер-во вып-ся для всех номеров нач. с 1го (n)[anbn],

тогда ai bi. Если р. bn сх-ся, то по т.2.1. посл-ть его частич-х сумм огр-на:

biM тогда из (*)  aiM, т.е. посл. част-х сумм ряда an огран-на, а это по 2.1. означ. что р. an сх-ся. Если р.an расх. то расх и р. bn т.к. в прот. Случ. По док-му сх-ся бы р.an.

Теор Признак сравнения в пред форме.

Если сущ. Lim (an/bn)=k конеч. или бескон., то

1. при к=0; из сх-ти bnсх-ть an

2. при к=+; из расх-ти bnрасх-ть an

3. при 0<к<+; оба ряда сх-ся или расх. одновременно.

Док-во анал-но док-ву соотв. Пр-ку сравнения несоб. Инт-ов

Теор Признак Даламбера

Если сущ. lim (an+1)/an=D, то при D<1 ряд (1) сх-ся при D>1- расх-ся, причём lim an=+

Если lim (an+1)/an<1, то ( q>0):[ lim (an+1)/an<q<1]. По сл-ию о сохр. нер-ва Т-6.5. нач. с нек. номера n будет (an+1)/an<q. Благод. 1.5. мож. Счит., что (n)[ (an+1)/an < q],знач.(n)[a_n+1<anq]a2<a1q,a3<a2q<(a1q)q=a1q²a3<a1q²…an<a1q^n-1. Т.к. геом. р. a1q^n-1 при 0<1 сх-ся, то по пр-ку срав. Сх-ся ряд an. Пусть lim (an+1)/an>1, тогда (q):[ lim (an+1)/an>q>1]. При дост. больших номрах n будет (an+1)/an>qa_n+1>anq, мож. счит., что это верно при всех ном-х n, отсюда ан-но предыдущему получаем an>a1q^n-1; но lim a1q^n-1=+ lim an=+, ряд расх-ся.

Теор Радикальный признак Коши.

Если  lim =c, то при с<1 ряд сх-ся, при c>1- расх-ся, причём lim an=+

Самост. Ан-но теореме 2.4. Исп-ть ><qan><qⁿ

Теор Инт-й признак Коши.

Если члены ряда an являются знач-ми некот. неотр. убывающей ф-ии f(x), непрерывной на [1,+[: a1=f(1),a2=f(2),…,an=f(n),…, то ряд сх. Или расх. одноврем. с несоб. инт-ом (1 to +)f(x)dx.

Сумма an выраж. Площадь ступ. фигуры с беск. Согл. критерию сх-ти несоб. инт-ла от неотр. ф-ии инт-л сх-ся Ф(х)= (1 to x)f(t)dt ограничена на [1, +[, а согл. кр-ю сх-ти +го ряда, ряд an сх-ся  посл-ть частич. Сумм {Sn} огр-на. Ввиду убывания f k<x<k+1f(k)f(x)f(x+1)akf(x)a _k+1  (k to k+1)akdx(k to k+1)f(x)dx(k to k+1)a _k+1dxak(k to k+1)f(x)dxa _k+1 (k=1 to n)ak(k=1 to n) (k to k+1)f(x)dx(k=1 to n)a _k+1  Sn(1 to n+1)f(x)dxS_n+1-a1SnФ(n+1)S_n+1-a1.

Если (1 to +) сх-ся, то {Ф(n+1)} ограничена, тогда из нер-ва S_n+1 Ф(n+1)+a1 что { S_n+1}

Ограничена и потому an сх-ся. Если же (1 to +) расх-ся, то {Ф(n+1)} неограничена, а из нер-ва SnФ(n+1) {Sn} неограничена и потому ряд расх-ся.

Теор Об абсолютной сходимости.

Если сходится |a_n|, то сх-ся и сам a_n.

[ |a_n|-сх-ся ](*крит Коши*)(>0)( n _):(m>n>n_)[| |a_n||< |a_n|<].Но |a_n|| |a_n|(>0)(n_):(m>n>n_)[| a_n|]<](*крит. Коши*) a_n сх-ся.

Определение

Если ряд |a_n| сх-ся, то говорят, что ряд a_n абс. сх-ся. Если сам ряд a_n сх-ся, а ряд |a_n| расх., то говорят, что a_n сх-ся неабсолютно(условно).

Определение

Ряд у которого полож. члены чередуются через один наз-ся знакочередующимся. Для зн.ч. ряда им-ся свой дост. признак. сх-ти.

Теор Признак Лейбница

Если у зн.ч. ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сх-ся, сумма ряда им. знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.

Пусть у зн.ч. ряда a1+a2-…-an+… lim |a_n|=0, |a1||a2||a3||an|=c_n тогда ряд запис. в виде с1-с2+с3-… (1), если a10 и –с1+с2-с3+… (2) если а10.

а10. Для частич. сумм с чёт. номерами n=2k имеем S_2k=c1-c2+c3-c4+…+c_2k-1-c_2k=

{(c1-c2)+(c3-c4)+…+ c_2k-1-c_2k (3)

{c1-(c2-c3)-(c4-c5)-…-c_2k (4). Т.к. с1с2…, то все скобки 0, поэтому (3) S_2k0, посл. {S_2k} возрастает: S_2k+2 = S_2k+ (c_2k+1-c_2k+2) S_2k. (4) S_2kc1. Т.о. {S_2k} возрастает и ограничена сверху она имеет конеч. lim S, причём 0 S_2kс10 Sс1.

Для посл-ти частич. сумм с неч. номерами n=2k имеем S_2k-1=c1-c2+…+c_2k-1=(c1-c2+…+c_2k-1-c_2k)+c_2k=S_2k+c_2k

lim(k) S_2k-1=(*по усл. lim(k) c_2k=0*)= lim(k) S_2k=S. Теперь покажем, что вся посл-ть {S_n} имеет предел S. Зададим >0. Тогда lim(k) S_2k=S(n1): (n=2kn1)[|S_n-S|<], а lim(k) S_2k-1=S(n2):(n=2k-1n2)[|S_n-S|<]. Возьмём n_=max{n1,n2}. Тогда (n> n_)[|S_n-S|<]. Это означ. Что lim S_n=S. Т.о. данный ряд сх-ся к сумме S, причём 0Sc1(*a10c1=a1*)0sa1. Ан-но в случае a10 док-ся, что ряд сх-ся к S, причём –с1S0(*а10-с1=а1*)а1S0. Т.о. S и а1 имеют один знак, причём |S||a1|

Опр. Знакочер. ряд удовл. условиям признака Лейбница наз-ся рядом лейбницевского типа. Любой остаток ряда лейб. типа есть т.ж. ряд лейб. типа, поэт верно следствие:

Следствие Об остатке ряда лейб. типа.

Любой n-й остаток ряда л.типа имеет знак 1-го члена этого остатка (т.е. члена a_n+1) и не превосх. его по модулю : |r_n||a_n+1|

Свойства сходящихся рядов.

Обычные св-ва конеч. сумм – сочетательность, перем-ть не перенос. автом-ки на суммы рядов, т.к. при вычисл. суммы ряда добавл. новая операция переход к пределу.

Теор Римана о неперестановочности неабс. сх-ся ряда.

В неабс. сх-ся ряде всегда можно так перест. члены, что ряд будет сх-ся к любой заранее ук-ой сумме и даже расх.

Можно док-ть, что 1-1/2+1/3-1/4+…=ln 2, а после перестановки 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-…= 2ln 2. Т.о. неабс. сх-ть осущ-ся искл. благодаря взаим. Погашению пол-х и отр-х членов и именно потому зависит от порядка расположения этих членов. А когда абс. сх-ть зависит только от быстроты убывания членов, а от их порядка не зависит.

Функциональные ряды. Равном. сх-ть.

Функциональный ряд u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= u_n(x) (1), где u_n(x) – ф-ии с некот. общей областью определения Х, при каждом конкретном хХ предст. собой числовой ряд, кот-й может сходиться или расх-ся.