1.4. Число е

Розглянемо послідовність {x_n} = .

Якщо послідовність {x_n} монотонна й обмежена, то вона має кінцеву границю.

За формулою бінома Ньютона:

або, що те ж саме

Покажемо, що послідовність {x_n} – зростаюча. Дійсно, запишемо вираз x_n+1 і зрівняємо його з виразом x_n:

Кожен доданок у виразі x_n+1 більший відповідного значення x_n, і, крім того, в x_n+1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність {x_n} зростаюча.

Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують трьох:

x_n < 3.

геометрична прогресія

Отже, послідовність – монотонно зростаюча та обмежена зверху, тобто має кінцеву границю. Цю границю прийнято позначати буквоюе.

.

З нерівності треба, щобе  3. Відкидаючи в рівності для {x_n} всі члени, починаючи із четвертого, маємо:

,

переходячи до границі, одержуємо

.

Таким чином, число е укладене між числами 2,5 й 3. Якщо взяти більшу кількість членів ряду, то можна одержати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828...

Аналогічно можна показати, що , розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо: ;

;

;

.

Знайдемо

Число е є основою натурального логарифма.

Рис. 1.3

Вище наданий графік функції y = lnx.

2. Границя функції

Поняття границі функції є узагальненим поняттям границі послідовності, тому що границю послідовності можна розглядати як границю функції x_n = f(n) цілочисельного аргументу n.

Визначення. Число А називається границею функції у точці(або при), якщо для будь-якого як завгодно малого числаможна знайти таке число, що для, які задовольняють нерівність

виконується нерівність

.

Якщо число А границя функції в точці , то пишуть:

або при.(2.2)

Геометричний зміст границі функції у точці

Рис. 2.1

ЗАУВАЖЕННЯ. Визначення границі не вимагає існування функції у самій точці , тому що розглянуті значенняв деякій околиці точки. Інакше кажучи, розглядаючи ,ми припускаємо, що , але не досягає значення. Тому наявність або відсутність границі привизначається поведінкою функції в околиці точки, але не пов’язане зі значенням функції (або його відсутністю) у самій точці.

Визначення. Якщо f(x)  A₁ при х  а тільки при x < a, то – називаєтьсяграницею функції f(x) у точці х = а ліворуч, а якщо f(x)  A₂ при х  а тільки при x > a, то називаєтьсяграницею функції f(x) у точці х = а праворуч.

в

f(x)

А₂

А₁

0 a x

Рис. 2.2

Наведене вище визначення ставиться до випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій як завгодно малій околиці цієї точки.

Границі А₁ й А₂ називаються також однобічними границями функції f(x) у точці х = а. Також говорять, що А – кінцева границя функції f(x).

Визначення. (у нескінченності) Число А називають границею функції при, що прагне до, якщо для, навіть як завгодно малого невід’ємного числа, знайдеться таке невід’ємне число S=S(), що для всіх таких:виконується нерівність. Позначають

. (2.3)