Геометричний зміст границі функції у нескінченності

Рис. 2.3

Приклад

Довести, що .

Для :. Отже длячислотаке, що длявсіх : буде виконуватись, де.

Визначення. Функціяназиваєтьсянескінченно малою, якщо .

Приклад. Функція f(x) = xⁿ є нескінченно малою при х0 і не є нескінченно малою при х1, тому що .

2.1. Властивості нескінченно малих функцій

1. Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при ха теж нескінченно мала функція при ха.

2. Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при ха теж нескінченно мала функція при ха.

3. Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при ха.

4. Частка від розподілу нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю, є величина нескінченно мала.

Визначення. Функціяназиваєтьсянескінченно великою, якщо для будь-якого знайдеться таке число, що для всіх значень, які входять в область визначення функції () та задовольняють нерівності, має місце нерівність. Записують таким чином:.

Якщо нескінченно велика функція приймає в деякій околиці тільки невід’ємні (від’ємні) значення, то , ().

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:

a x a x a x

Рис. 2.4

2.2. Порівняння нескінченно малих функцій

Нехай (х),(х) і(x) – нескінченно малі функції при ха. Будемо позначати ці функції,івідповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їхнього спадання, тобто за швидкістю їхнього наближення до нуля.

Наприклад, функція f(x) = x¹⁰ наближається до нуля швидше, ніж функція f(x) = x.

Визначення. Якщо , то функція називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція .

Визначення. Якщо , то і  називаються нескінченно малими одного порядку.

Визначення. Якщо то функції і  називаються еквівалентними нескінченно малими. Записують ~.

Приклад. Зрівняємо нескінченно малі при х0 функції f(x) = x¹⁰ й f(x) = x.

тобто функція f(x) = x¹⁰ – нескінченно мала більш високого порядку, ніж f(x) = x.

Визначення. Нескінченно мала функція  називається нескінченно малою порядку k відносно нескінченно малої функції , якщо границя кінцева й відмінна від нуля.

Однак слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення не має границі, то функції непорівнянні.

Приклад. Якщо , то при х0 , тобто функція – нескінченно мала порядку 2 щодо функції .

Приклад. Якщо , то при х0 не існує, тобто функції і  непорівнянні.

2.3. Властивості еквівалентних нескінченно малих

1)  ~ , .

2) Якщо  ~  і  ~ , то  ~ , .

3) Якщо  ~ , то  ~ , .

4) Якщо  ~ ₁ й  ~ ₁ й , то йабо.

Наслідок: а) якщо  ~ ₁ й , то й;

б) якщо  ~ ₁ й , то.

Властивість 4 особливо важливо на практиці, тому що вона фактично означає, що границя відносини нескінченно малих не міняється при заміні їх на еквівалентні нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні границь заміняти нескінченно малі на еквівалентні їм функції, що може сильно спростити обчислення границь.

Корисно мати на увазі еквівалентність наступних нескінченно малих: якщо , то

~x, tgx~x, arcsinx~x, arctgx~x, ln(1+x)~x.

Приклад. Знайти границю .

Так як tg5x ~ 5x й sin7x ~ 7x при х 0, то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, одержимо:

.

Приклад. Знайти границю

.

Приклад. Знайти границю .

Тому що 1 – cosx = при х0, то .

Приклад. Знайти границю

Якщо  і  – нескінченно малі при ха, причому  – нескінченно мала більш високого порядку, аніж , то  =  +  – нескінченно мала, еквівалентна . Це можна довести наступною рівністю .

Тоді говорять, що  – головна частина нескінченно малої функції .

Приклад. Функція х² +х – нескінченно мала при х0, х – головна частина цієї функції. Щоб показати це, запишемо  = х²,  = х, тоді

.