7.1. Моделювання виробничих систем в рослинництві

Приклад 7.1.1.^*) В період весняних польових робіт господарство планує на площі 400 га виконати закриття вологи в два сліди з 6 по 8 квітня та посів ярих зернових з 13 по 17 квітня, маючи 2 трактора марки ХТЗ та 5 тракторів марки ЮМЗ-6АЛ, 40 борін марки БЗСС-1,0 та 7 сівалок зернових марки СЗ-3,6.

Техніко-економічні показники використання агрегатів наведені в таблиці:

Вид робіт	Склад агрегатів	Кількість с.-г. машин в агрегаті	Виробіток на 1 агрегат за виділений період робіт, га	Експлуатаційні витрати на 1 агрегат за виділений період робіт, грн.
1. Закриття вологи	ХТЗ+ БЗСС-1,0	21	250	600
	ЮМЗ-6АЛ+ БЗСС-1,0	15	150	450
2. Посів ярих зернових	ХТЗ+ СЗ-3,6	3	150	950
	ЮМЗ-6АЛ+ СЗ-3,6	1	80	800

^*)Задача розв'язується як цілочислова.

Приведені до одного року затрати на придбання додаткової техніки дорівнюють, грн.: трактора марки ХТЗ – 30000, трактора марки ЮМЗ-6АЛ– 20000, борони марки БЗСС-1,0 – 700 та сівалки зернової марки СЗ-3,6 – 1700.

Визначити оптимальну кількість одиниць придбання додаткової сільськогосподарської техніки та необхідну кількість агрегатів за періодами виконання робіт для обов’язкового виконання запланових механізованих робіт в задані агротехнічні терміни при мінімальних затратах на придбання додаткової техніки та експлуатацію агрегатів.

Розв’язання. Для побудови економіко-математичної моделі позначимо:

х₁ – додаткова кількість придбання тракторів марки ХТЗ, од.;

х₂ – додаткова кількість придбання тракторів марки ЮМЗ-6АЛ, од.;

х₃ – додаткова кількість придбання борін марки БЗСС-1,0, од.;

х₄ – додаткова кількість придбання сівалок зернових марки СЗ-3,6, од.;

х₅ – кількість агрегатів ХТЗ + БЗСС-1,0 , од.;

х₆ – кількість агрегатів ЮМЗ-6АЛ + БЗСС-1,0, од.;

х₇ – кількість агрегатів ХТЗ + СЗ-3,6, од.;

х₈ – кількість агрегатів ЮМЗ-6АЛ+ СЗ-3,6, од.;

W– приведені витрати на придбання додаткової сільськогосподарської техніки та експлуатацію агрегатів при виконанні механізованих робіт, грн.

Тоді умови задачі в математичній формі можна записати так: знайти

W_min=30000х₁+20000х₂+700х₃+1700х₄+600х₅+450х₆+950х₇+800х₈

при обмеженнях:

1) 250х₅ + 150х₆ = 800 – закриття вологи, га

2) -х₁ + х₅ ≤ 2 – кількість тракторів марки ХТЗ в агрегатах при закритті вологи, од.;

3) -х₂ + х₆ ≤ 5 – кількість тракторів марки ЮМЗ-6АЛ в агрегатах при закритті вологи, од.;

4) -х₃ +21х₅ + 15х₆ ≤ 40 - кількість борін марки БЗСС-1,0 в агрегатах при закритті вологи, од.;

5)150х₇ +80х₈ = 400 - посів ярих зернових, га;

6) -х₁ + х₇ ≤ 2 - кількість тракторів марки ХТЗ в агрегатах при посіві ярих зернових культур, од.;

7) -х₂ + х₈ ≤ 5 - кількість тракторів марки ЮМЗ-6АЛ в агрегатах при посіві ярих зернових культур, од.;

8) -х₄ + 3х₇ + х₈ ≤ 7 - кількість сівалок зернових марки СЗ-3,6 в агрегатах при посіві ярих зернових культур, од.

Матриця економіко-математичної моделі задачі має вигляд:

Невідомі Обмеження	С.-г. машини, од.				Агрегати, од.					Вид обмежень	Обсяги обмежень
	ХТЗ	ЮМЗ-6АЛ	БЗСС-1,0	СЗ-3,6	ХТЗ+ БЗСС-1,0	ЮМЗ-6АЛ+ БЗСС1,0	ХТЗ+ СЗ-3,6	ЮМЗ-6АЛ+ СЗ-3,6
	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8
Оптим. розв'язок	0	0	32	0	2	2	0	5
1..Боронування, га					250	150			800	=	800
2.ХТЗ, од.	-1				1				2	<=	2
3.ЮМЗ-6АЛ, од.		-1				1			2	<=	5
4.БЗСС-1,0, од.			-1		21	15			40	<=	40
5.Посів зернових,га							150	80	400	=	400
6.ХТЗ, од.	-1						1		0	<=	2
7.ЮМЗ-6АЛ од.		-1						1	5	<=	5
8.СЗ-3,6 од.				-1			3	1	5	<=	7
Wmin - приведені затрати, грн.	30000	20000	700	1700	600	450	950	800	28500

Результати розв'язання задачі на ПЕОМ: W_min= 28500; Х₁= 0; Х₂= 0; Х₃= 32; Х₄= 0; Х₅= 2; Х₆= 2; Х₇= 0; Х₈= 5.

Висновки.Для виконання механізованих сільськогосподарських робіт господарству потрібно додатково придбати 32 борони марки БЗСС-1,0 (х₃= 32) і використати по 2 агрегати ХТЗ + БЗСС-1,0 та ЮМЗ-6АЛ + БЗСС-1,0 на боронуванні (х₅= 2, х₆= 2) та 5 агрегатів ЮМЗ-6АЛ + СЗ-3,6 на сівбі ярих зернових

(х₈= 5). Приведені затрати на придбання додаткової техніки та експлуатацію агрегатів дорівнюють 28500 грн. (W_min= 28500).

Приклад 7.1.2. В господарстві для підвищення урожайності озимої пшениці на площі 400 га та цукрових буряків на площі 200 га виділено по 150 ц аміачної селітри, суперфосфату та калійних солей, вміст діючої речовини в яких становить відповідно 35, 42 та 23%. Норми внесення добрив за різними сумішами та прибавка урожаю наведені в таблиці:

Суміш добрив	Норма внесення добрив на 1 га, кг діючої речовини			Прибавка врожаю, ц з 1 га
	азотні	фосфорні	калійні
Пшениця озима
1-а	15	15	5	3,1
2-а	10	10	-	2,4
Цукрові буряки
1-а	10	25	15	10,6
2-а	-	20	10	10,4
3-я	-	20	-	7,6

Визначити оптимальні площі внесення добрив під сільськогосподарські культури за різними сумішами для отримання максимальної вартості прибавки урожаю, якщо ціна реалізації 1 ц озимої пшениці дорівнює в середньому 90 грн., а 1 ц цукрових буряків - 20 грн.

Розв’язання. Визначимо вміст діючої речовини в добривах : аміачна селітра - 15000*0,35=5250 кг, суперфосфат -15000*0,42=6300 кг, калійні солі - 15000*0,23=3450 кг.

Вартість прибавки урожаю з 1 га при внесенні добрив дорівнює, грн.:

– під озиму пшеницю 1-а суміш – 3,1*90=279;

– під озиму пшеницю 2-а суміш – 2,4*90=216;

– під цукрові буряки 1-а суміш – 10,6*20=212;

– під цукрові буряки 2-а суміш – 10,4*20=208;

– під цукрові буряки 3-а суміш – 7,6*20=152.

Для побудови економіко-математичної моделі позначимо:

х₁ – площа внесення добрив під озиму пшеницю 1-а суміш, га;

х₂ – площа внесення добрив під озиму пшеницю 2-а суміш, га;

х₃ – площа внесення добрив під цукрові буряки 1-а суміш, га;

х₄ – площа внесення добрив під цукрові буряки 2-а суміш, га;

х₅ – площа внесення добрив під цукрові буряки 3-а суміш, га;

Z – вартість прибавки урожаю, грн.

Тоді умови задачі в математичній формі можна записати так: знайти

Z_max = 279х₁+216х₂+ 212х₃+208х₄+152х₅

при обмеженнях:

1) 15х₁ +10х₂ +10 х₃ ≤ 5250 – використання азотних добрив, кг д. р.;

2) 15х₁ +10х₂ +25 х₃ +20 х₄ +20х₅ ≤ 6300 – використання фосфорних добрив, кг д. р. ;

3) 5х₁ +15 х₃ +10 х₄ ≤ 3450 – використання калійних добрив, кг д. р.;

4) х₁ + х₂ ≤ 400 – площа озимої пшениці, га;

5) х₃ + х₄ +х₅ ≤ 200 – площа цукрових буряків, га.

Матриця економіко-математичної моделі задачі має вигляд:

Невідомі Обмеження	Площа внесення добрив, га						Вид обмежень	Обсяги обмежень
	Пшениця озима, 1-а суміш,	Пшениця озима, 2-а суміш	Цукрові буряки, 1-а суміш	Цукрові буряки, 2-а суміш	Цукрові буряки, 3-а суміш
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
Оптим. розв'язок	250	150	0	53	0
1.Азотні, кг	15	10	10			5250	<=	5250
2.Фосфорні, кг	15	10	25	20	20	6300	<=	6300
3.Калійні, кг	5		15	10		1775	<=	3450
4.Пшениця озима, га	1	1				400	<=	400
5.Цукрові буряки, га			1	1	1	52,5	<=	200
Zmax- вартість прибавки урожаю, грн.	279	216	212	208	152	113070

Результати розв'язання задачі на ПЕОМ: Z_max = 113070; Х₁= 250; Х₂= 150;

Х₃= 0; Х₄= 53; Х₅= 0.

Висновки. Для отримання максимальної вартості прибавки урожаю в обсязі 113070 грн.(Z_max = 113070) господарство повинно вносити добрива під озиму пшеницю за 1-ою сумішшю на площі 250 га (х₁ = 250) і за 2-ою сумішшю на площі 150 га

(х₂ = 150) та під цукрові буряки за 2-ю сумішшю на площі 53 га (х3 = 53).

Приклад 7.1.3. Для забезпечення тварин кормами бригада на площі 450 га повинна заготовити корма такої структури: концентрованих не менше 20%, соковитих не менше 40%, грубих не менше 10% та зелених не менше 30% від загального обсягу кормів. Техніко-економічні показники вирощування сільськогосподарських культур наведені в таблиці:

Показник	Кукурудза на зерно	Кукурудза на силос	Кормові буряки	Конюшина на сіно	Віко-овес на зелений корм
1. Затрати праці, люд.-год. на 1 га	70	50	300	60	20
2. Вихід кормів з 1 га, ц к.од.	60	50	70	30	40

Планове завдання виробництва кормів – 22000 ц к. од. Площа кормових буряків повинна дорівнювати 20 га.

Визначити оптимальні площі вирощування сільськогосподарських культур при мінімальних затратах праці.

Розв’язання. Для побудови економіко-математичної моделі позначимо:

х₁ – посівна площа кукурудзи на зерно, га;

х₂ – посівна площа кукурудзи на силос, га;

х₃ – посівна площа кормових буряків, га;

х₄ – посівна площа конюшини на сіно, га;

х₅ – посівна площа віко-вівса на зелений корм, га;

х₆ – загальний обсяг кормів, ц. к. од.;

W– затрати праці на заготівлю кормів, люд.-год.

Тоді умови задачі в математичній формі можна записати так: знайти

W _min= 70х₁ + 50х₂ + 300х₃ + 60х₄ + 20х₅

при обмеженнях:

1) х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ ≤ 450 - використання ріллі, га;

2) 50х₁+ 60х₂+70х₃+30х₄+40х₅ - х₆ = 0 – визначення загального обсягу

виробництва кормів, ц к.од.;

3) х₆ ≥ 22000 – виконання планового завдання виробництва кормів, ц к.од.;

4) 50х₁ - 0,2 х₆ ≥ 0 – виробництво концентрованих кормів, ц к.од.;

5) 60х₂ + 70х - 0,4х₆ ≥ 0 – виробництво соковитих кормів, ц к.од.;

6) 30х₄ - 0,1х₆ ≥ 0 – виробництво грубих кормів, ц к.од.;

7) 40х₅ - 0,3х₆ ≥ 0 – виробництво зелених кормів, ц к.од.;

8) х₃ = 20 – площа кормових буряків, га.

Матриця економіко-математичної моделі задачі має вигляд:

Невідомі Обмеження	Площ, га					Загальний обсяг виробництва кормів, ц к. од.		Вид обмежень	Обсяги обмежень
	Кукурудза на зерно	Кукурудза на силос	Кормові буряки	Конюшина на сіно	Віко-овес на з.корм
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Оптим. розв'язок	80	110	20	66,7	150	20000
1.Рілля,га	1	1	1	1	1		427	<=	450
2.Корма, ц к.од.	50	60	70	30	40	-1	0	=	0
3.Корма, ц к.од.						1	20000	>=	20000
4.Концентр.,ц к.од.	50					-0,2	0	>=	0
5.Соковиті,ц .од.		60	70			-0,4	0	>=	0
6.Грубі, ц к.од.				30		-0,1	0	>=	0
7.Зелені, ц к.од.					40	-0,3	0	>=	0
8.Корм.буряки,га			1				20	=	20
W min-затрати праці, л.-г.	70	50	300	60	20		24100

Результати розв'язання задачі на ПЕОМ: W_min= 24100; Х₁= 80; Х₂= 110;

Х₃= 20; Х₄= 66,7; Х₅= 150; Х₆= 20000.

Висновки. Мінімальні затрати праці в обсязі 24100 люд.-год. (W_min= 24100) будуть при вирощуванні кукурудзи на зерно на площі 80 га (х₁ = 80), кукурудзи на силос на площі 110 га (х₂ = 110), кормових буряків на площі 20 га (х₃ = 20), конюшини на сіно на площі 66,7 га (х₄ = 66,7), віко-вівса на зелений корм на площі 150 га (х₅ = 150). Загальний обсяг заготівлі кормів дорівнює 20000 ц к. од. (х₆ = 20000).

Задачі для самостійного розв'язування

Задача 7.1.1.^*) В період весняних польових робіт господарство планує на площі 400 га виконати закриття вологи в два сліди з 6 по 8 квітня та посів ярих зернових з 13 по 17 квітня, маючи 2 трактора марки ХТЗ та 5 тракторів марки

ЮМЗ-6АЛ, 40+К борін марки БЗСС-1,0 та 7+Р сівалок зернових марки СЗ-3,6. Техніко-економічні показники використання агрегатів наведені в таблиці:

Види робіт	Склад агрегатів	Кількість машин в агрегаті	Виробіток на 1 агрегат за виділений період робіт, га	Експлуатаційні витрати на 1 агрегат за виділений період робіт, грн.
1.Закриття вологи	ХТЗ+БЗСС-1,0	21	250	620
	ЮМЗ-6АЛ+ БЗСС-1,0	15	150	470
2. Посів ярих зернових	ХТЗ+ СЗ-3,6	3	150	990
	ЮМЗ-6АЛ+ СЗ-3,6	1	80	790

^*) Задача розв'язується як цілочислова.

Приведені до одного року затрати на придбання додаткової техніки дорівнюють, грн.: трактора марки ХТЗ – 20000+1000хР, трактора марки ЮМЗ-6АЛ – 15000+1000хР, борони марки БЗСС-1,0 - 700+10хК та сівалки зернової марки

СЗ-3,6 – 2000+10хК.

Визначити оптимальну кількість одиниць придбання додаткової сільськогосподарської техніки та необхідну кількість агрегатів за періодами для обов’язкового виконання запланових механізованих робіт в задані агротехнічні терміни при мінімальних затратах на придбання додаткової техніки та експлуатацію агрегатів.

Задача 7.1.2. Для забезпечення стада корів кормами господарство може виділити не більше 290 + К га ріллі, причому площа ячменю повинна бути не менше 70 га, кукурудзи на силос не менше 50 га, однорічних трав на зелений корм не менше 100 га, багаторічних трави на сіно не менше 40 га. Посівна площа кормових буряків повинна дорівнювати 30 га. Поголів’я корів може коливатися в межах від 200+Р до 300+К голів. Вихід кормів з 1 га дорівнює, ц к.од.: ячмінь - 50, кормові буряки – 70, кукурудза на силос – 60, однорічні трави на зелений корм – 30, багаторічні трави на сіно - 40. Річна потреба в кормах однієї корови з середньорічною продуктивністю 30 ц молока дорівнює 40 ц к. од., а з середньорічною продуктивністю 36 ц молока - 50 ц к. од.

Визначити оптимальні площі вирощування сільськогосподарських культур та поголів’я корів для виробництва максимальної кількості молока. Розрахувати середньорічну продуктивність одніє корови.

Задача 7.1.3. Для забезпечення тварин концентрованими кормами господарство планує використати ріллі не більше 380 +К га та трудових ресурсів не більше 20000 + 10хР люд.-год.

Техніко-економічні показники вирощування сільськогосподарських культур наведені в таблиці:

Показник	Озима пшениця	Кукурудза на зерно	Ячмінь	Горох
1. Затрати праці, люд.-год. на 1 га	30	60	50	50
2. Вихід кормів з 1 га, ц к. од.	45	65	55	35
3. Вихід перетравного протеїну з 1 га, ц	2,6	4,8	3,9	5,2

Перетравного протеїну в кормах повинно бути не менше 1800 ц, а площі кукурудзи та ячменю повинні бути не менші як по 80 га.

Визначити оптимальні посівні площі вирощування зернофуражних культур для отримання максимуму концентрованих кормів (ц к. од.).

Задача 7.1.4. Для вирощування картоплі, томатів та капусти фермер може використати не більше 8+0,1хК га ріллі та 28000+100хР люд.-год. трудових ресурсів. Для отримання урожайності картоплі 200 ц з 1 га потрібно витратити 320 люд.-год., а для урожайності 220 ц з 1 га - 350 люд.-год.. Для отримання урожайності томатів 300 ц з 1 га потрібно витратити 1200 люд.-год., а для урожайності 400 ц з 1 га - 1500 люд.-год.. Нарешті, для отримання урожайності капусти 350 ц з 1 га потрібно витратити 600 люд.-год., а для урожайності 380 ц з 1 га - 660 люд.-год.

Площа картоплі не повинна перевищувати 5 га, томатів 4 га та капусти 3 га. Визначити оптимальні площі вирощування картоплі і овочів та обсяги прибавки врожаю кожної культури для отримання максимальної виручки від реалізації продукції, якщо ціна реалізації 1 ц картоплі дорівнює 400 грн., томатів – 500 грн. та капусти – 300 грн.