Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02_случайные величины / 04_функция распределения

.doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
2.01 Mб
Скачать

§4. Функция распределения F(x)

(иногда ее называют еще интегральная функция распределения )

Для дискретной случайной величины все ее значения можно указать персонально. У непрерывной случайной величины таких значений бесконечно много (на любом интервале бесконечно много точек). Записать каждое из них, а тем более выписать вероятность для каждого в отдельности невозможно. Поэтому для задания закона распределения приходится поступать иначе.

Выделяют на оси ОХ интервал и задают вероятность попадания в этот интервал.

Функция распределения делает это следующим образом. На оси ОХ выбирается точка x, которая всю числовую ось делит на две области: справа и слева от этой точки x. Берут область слева от этой точки и задают вероятность попадания в эту область.

О8 : Функцией распределения называется функция F( ), которая для каждого значения аргумента равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем аргумент

(попадает в область, лежащую слева от аргумента).

( 28 )

Х

Х

Чтобы понять смысл этого определения, выяснить свойства функции распределения, рассмотрим сначала следующий пример.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

x i

2

5

7

11

p i

0,2

0,4

0,1

0,3

Построить значения функции распределения в заданных точках.

Д

ля того, чтобы легче было объяснить смысл подсчетов, изобразим точки на числовой оси (не обязательно в масштабе)

Функция распределения в точке (-3) – это вероятность того, что случайная величина X окажется слева от точки (-3):

Но слева от точки (-3) у той случайной величины, которую мы сейчас рассматриваем, возможных значений нет. Значит событие (X<-3) невозможное и вероятность его равна нулю.

Это вероятность попадания в область, лежащую слева от точки .

Попасть в область слева от точки () случайная величина может, если примет значение 2.

Э то вероятность попадания в область, лежащую слева от точки 6.

Событие (X<6) может произойти двумя способами: попадание в точку 2 или попадание в точку 5. Т.е., это сумма двух событий.

Это вероятность попадания в область, лежащую слева от точки 14.

Какое бы значение ни приняла эта случайная величина, все они меньше 14. Т.е., событие (X<14) происходит всегда, оно достоверное.

Чтобы подсчитать вероятность попадания в область, лежащую слева от точки x нужно собрать вероятности всех возможных значений, которые остаются слева от x .

Таким образом, по мере того как аргумент x возрастает, перемещается вправо по оси Ох, функция распределения собирает, накапливает вероятности.

Свойства функции распределения:

  1. область определения: x R

(вероятность можно подсчитывать для любого x )

  1. область значений: 0 F ( x ) 1

(значения функции – это вероятность, она меняется от 0 до 1 )

F (–∞) = 0 ( P(X -∞) = P(V) = 0 )

F (+∞) = 1 ( P(X +∞) = P(U) = 1 )

  1. F(x) – неубывающая функция: x1 < x2 F(x1) F(x2)

(если x растет, область слева от него расширяется, и вероятность попадания в нее меньше стать не может)

  1. Наконец, главная формула, которая необходима для прогнозирования поведения случайной величины

Чтобы подсчитать вероятность попадания в заданный интервал, нужно собрать все вероятности, лежащие на этом интервале. Функция распределения собирает, накапливает вероятности. Поэтому нужно взять количество вероятности, накопленное к точке x2 и вычесть вероятность, накопленную к точке x1 .

Доказательство формулы:

Событие (попадание в большую область)

можно записать как сумму двух несовместных событий

(попадание в меньшую область) + (попадание в интервал x1 X < x2 )

( X < x2 ) = ( X < x1 ) + ( x1 X < x2 )

P( X < x2 ) = P( X < x1 ) + P( x1 X < x2 )

F( x2 ) = F( x1 ) + P( x1 X < x2 )

Отсюда и получается формула (20)

Замечание: Функция распределения F(x)универсальный способ задания закона распределения. Он пригоден и для дискретных и для непрерывных случайных величин.

С ростом аргумента x идет накопление вероятности. Для дискретных случайных величин рост F(x) происходит скачком, при переходе через очередное возможное значение x i . Для непрерывной случайной величины. F(x) и вероятность накапливает непрерывно.

Вся вероятность равна 1. Она поделена между всеми возможными значениями случайной величины. Но на любом интервале таких возможных значений бесконечно много. Если единицу поделить на всех, то каждому из них в отдельности достанется бесконечно малая вероятность.

Доказательство формулы:

Запишем вероятность попадания в интервал,

а затем сожмем этот интервал в одну точку.

Отсюда и получается формула (20)

Примеры использования этих формул, показывающие, как работать с функцией распределения, смотри дальше, в отдельном параграфе в конце этого раздела.