Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

01 случайные события / 11_полная вероятность Бейес

.doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
65.02 Кб
Скачать

§9. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Ч1. Формула полной вероятности.

Чтобы разобраться в смысле этих понятий рассмотрим следующий пример.

Имеется три коробки с цветными шарами.

Из наугад взятой коробки случайгым образом берут 1 шар.

Найти вероятность того, что он окажется красным.

Если внимательно вдуматься в содержание опыта, то можно увидеть, что он состоит из двух этапов, на каждом из которых имеет место случайность.

На первом этапе происходит выбор коробки. Результатом этого этапа может быть появление одного из событий

Н 1выбор коробки №1

Н 2 выбор коробки №2

Н 3выбор коробки №3

Мы перебрали все возможные варианты (полная группа). Кроме того, эти варианты попарно несовместны. Эти события и есть гипотезы .

Только после того, как произойдет одно из этих событий, начинается второй этап опыта – доставание шара. На этом этапе и может появится или не появиться событие Апоявление красного шара.

Вот и получается, что для того чтобы появился красный шар ( событие А ) нужно чтобы сначала состоялся выбор одной из коробок ( событие H i ). Без этого А не появится.

Схематически этот двухэтапный опыт можно проиллюстрировать следующим образом:

Если записать эту ситуацию в событиях, то

З

( 29)

аписывая вероятности обеих частей равенства, как раз и получим формулу .

Для подчсчетов по этой формуле нам нужны вероятности гипотез и условные вероятности события А. И те и другие в этой задаче подсчитаем по классическому определению:

Подставляя все эти заготовленные числа в формулу полной вероятности, получим:

Ч2. Формула Бейеса.

Позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие А уже произошло

В знаменателе этой дроби стоит все та же формула полной вероятности. В числителе только одно слагаемое из этой формулы – то, которое соответствует рассматриваемой гипотезе.

( 30 )

Рассмотрим тот же пример, что и в начале параграфа, но немного изменим формулировку.

Имеется три коробки с цветными шарами.

Из наугад взятой коробки случайным образом достали 1 шар и он оказался красным.

Найти вероятность того, что доставали его из второй коробки.

Первое, на что нужно обратить внимание, это то, что событие уже произошло. Значит это задача на формулу Бейеса. То событие, которое уже произошло, и есть событие А.

Итак, событие Апоявление красного шара.

То событие, вероятность которого нужно найти, – это одна из гипотез. Итак, гипотезы:

Н 1выбор коробки №1

Н 2 выбор коробки №2

Н 3выбор коробки №3

Здесь нужно отметить следующее. Как уже сказано, достали красный шар. Но в третьей коробке красных шаров не было вообще, и поэтому третья гипотеза вроде бы и не нужна. Но если ее не включить в список гипотез, не будет полной группы событий.

Замечание: При формулировке гипотез, подсчете вероятностей гипотез и условных вероятностей события А ставим себя в ситуацию до опыта, когда мы еще не знаем, что событие А уже произошло.

П

родолжим решение. Для расчетов по формуле Бейеса нам нужны, точно так же как и в формуле полной вероятности, вероятности гипотез и условные вероятности события
А по каждой гипотезе. Подсчитываем их:

Тот факт, что в третье коробке не было красных шаров, нашел отражение в нулевой условной вероятности.

Подставляем все эти числа в формулу Бейеса:

.