1.1. Жалған кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі

Күрделі жүйелерді имитациялық модельдеу әдісімен зерттегенде, кездейсоқ окиғалар, кездейсоқ шамалар және басқа әртүрлі кездейсоқ процестер кең қолданылады. Осы кездейсоқ заңдылықтарды компыотермен имитациялаудың әдістері [0;1] кесінді аралығында бірқалыпты үлестірім заңдылығы бар кездейсоқ сандардың тізбегін модельдеуге және осы тізбекті функционалдық турлендіруге негізделген. Бастапқы, немесе базалық кездейсоқ сандардың тізбегі ретінде, [0;1] кесінді аралығында бірқалыпты үлестірілген, ζ кездейсоқ шамасының (_Zj) нақтыламаларының тізбегін таңдап алу, келесі екі факторға негізделеді:

1). Бірқалыпты үлестірімді кездейсоқ сандарды модельдеу проблемасы ғалымдардың, компьютер дамуының алғашқы күндерінен бастап, назарын аударды да, олар кездейсоқ сандарды имитациялаудың көптеген тиімді әдістерін жасады.

2). Бірқалыпты үлестірім кездейсоқ заңдылықтардың ең қарапайымы болғандықтан оны оңай математикалық түрлендіруге болады.

Кездейсоқ £, шамасы [а,ь] аралығында бірқалыпты үлестірім заңына бағынады деп есептеу үшін, оның үлестірім тығыздық функциясы [а,ь] аралығында түрақты оң мөлшерге, ал одан тысқары жерде нөлге тең үздіксіз функциямен сипатталуы керек:

Сонда £, кездейсоқ шамасының тағы бір сипаттамасы болатын үлестірім функциясының түрі төмендегідей болады:

Математикалық үміті, дисперсиясы және орта шаршы ауытқуы сәйкесінше, мынаған тең:

£ шамасы [0;1] аралығында бірқалыпты үлестірімді жекеленген жағдайда, жоғарыда келтірілген сипаттамалар мынадай болады:

[0;1] аралығында бірқалыпты үлестірімді £ шамасының әртүрлі кездейсоқ заңдылықтарды модельдеудегі маңызды ролін ескере отырьш, оны компыотермен имитациялау әдістерінің бірнешеуін қарастырайық. Бүл әдістердің барлығы рекуррентті қатынастарға негізделген және тек қана жалған кездейсоқ сандарды тудырады.

Анықтама. Жалган кездейсоқ сандар деп, кездейсоқ шаманың математикалық өрнектерінің көмегімен, дәлірек айтқанда рекурренттік қатынастар арқылы алынған z наңтыламаларын айтады.

Жалған кездейсоқ сандардың ықтималдық қасиеттерінің нағыз кездейсоқ сандардың қасиеттерінен айырмашылығы болатыны айқын. Сондықтан, бұл сандарды модельдеу әдістерін жасағанда оларға қатаң талаптар койылады. Жақсы әдістердің көмегімен алынған кездейсоқ сандар тізбегі бірқалыпты үлестірімді, статистикалық тәуелсіз және қайталанбайтын сандардан тұруы тиіс. Сонымен қатар, бұл әдістер тез жұмыс істеуі және компьютер зердесінің аз көлемін пайдалануы керек. Көрсетілген талаптар орындалған жағдайда ғана жалған кездейсоқ сандардың нағыз кездейсоқ сандардан ерекшелігін ескермеуге болады.

Жалған кездейсоқ сандарды моделдеудің іс жүзінде қодданылатьш әдістерінің көбі, 1-ретті рекурренттік қатынастарға негізделген мына формуламен байланысты:

Мүндағы - берілген шама. Бірақ бұл формулаға біраз талаптар қойылады. Шынымен, (1.1) рекурренттік катынасы арқылы есептелген {z, Ф(z)} координатты нүктелер (1,1. сур.) тіктөртбұрыш жазықтығында бірқалыпты жатпай, тек қана Ф(z) қисығының үстіне орналасады. Сондықтан, кез-келген функцияны (1.1) формуласына қоя салып, жақсы нәтижеге жете алмаймыз. Демек, жалған кездейсоқ сандарының "жақсы" тізбегін, графигі шаршы жазықтығын тығыз толтыратын функция ғана тудыра алады. Мысал ретінде мына функцияны келтіруге болады. (1.2. сурет):

Мұндағы D – бөлшектің ажыратылу операциясы, ал g үлкен can [2]. Көрсетілген шарт "жақсы" жалған кездейсоқ сандар тізбегін тудыру үшін (1.1) формула қажетті, бірақ жеткіліксіз. Шынында, алғашқы кезде Ф(г) функциясының түрі күрделі және қиын түсіндірілетіндей етіп тандалған, мысалы:

Мүндағы Ц - бүтін бөлігін табу операциясы.

Бірақ (1.1) формуласындағы функцияның түрін таңдаудың нақтылы теориясы болмағандықтан бұл формула көбінесе қолайсыз кездейсоқ сандардың тізбегін туғызып жүрді. Мысалы, мұндай функцияның көмегімен алынған кезекті caн, ойламаған жерден, кейде нольге тең болуы мүмкін. Ал, бұлай болған жағдайда, келесі сандардың бәрі де нольге теңесетіні ақиқат. Осы принциппен туғызылған тізбектердің қайталану периоды да көбінесе кішігірім санмен сипатталатын еді. Сондыктан жиырмасьншы ғасырдың қырқыншы жылдарының аяғынан бастап ғалымдар Ф(z) функциясының түрін таңдауда сандар теориясы аппаратын қолдана бастады. Бұл аппарат жалған кездейсоқ тізбектерінің қайталану периодының ұзындығын алдын-ала білу мүмкіндігін берді және жаңаша алынған кездейсоқ сандардың қажетті сапаға ие болуын қамтамасыз етті.

Жалған кездейсоқ сандарды модельдеудің кең таралған белгілі бірнеше әдістерін карастырайық. Және алдағы уақытта "жалған кездейсоқ сандар" деудің орнына "кездейсоқ сандар" терминін қолданамыз, себебі, төменде келтірілетін қолданбалы алгоритмдер жеткілікті статистикалық қасиеттері бар тізбектерді модельдейді.