1.2 Жалпы түсініктер

Сандар теориясының негізгі объектісі ретінде 1,2,3,...., натурал сандары, 0 саны және барлық теріс -1,-2,-3,..., сандары алынады. Бұл сандардың барлығы бүтін сандардың жиынын құрайды. Бүтін сандар жиынын деп белгілейді. Яғни,

Мұндағы, -бүтін оң сандар, - бүтін теріс сандар.

Бүтін сандар жиынының екі не одан да көп элементтеріне қосу, азайту және көбейту амалдарын қолданғанда шығатын элемент те сол жиынның элементі болады. Осы үш амалға қатысты алғанда тұйық болатын, яғни амал қолданғандағы шыққан элемент те сол жиынында жататын, сандар жиынын сақина деп атау қабылданған. Бұдан былайғы жерде өзіміз қарастыратын сақинаны бүтін сандар сақинасы деп атайтын боламыз. Бүтін сандарды қосу, азайту көбейту амалдары, бүтін санның модулі және оның қасиеттері белгілі деп есептеп, бүтін сандар сақинасының элементтерінің бөлінгіштік қасиеттерін қарастырамыз.

1-анықтама. Бүтін жәнесандары үшінболатын бүтінс саны табылса, онда а саны -ға бөлінеді деп атайды.

Егер саны-ға бөлінсе, онаарқылы белгілейді.

Бүтін сандар жиыны -те бұл қатынас төмендегі қасиеттерді қанағаттандырады:

1. Бөлінгіштік қатынасы рефлексивтік, яғни кез келген үшін.

2. Бөлінгіштік қатынасы транзитивті, яғни жәнеболса, онда.

3. Егер болса, ондажәнеяғни бөлінгіштік қатынасы бөлінгіш пен бөлгіштің таңбаларын ауыстырғанда да сақталады.

4. Егер жәнеболса, онда

5. Егер және , болса онда .

6. Егер жәнеболса, онда, мұндағы,жәнекез келген бүтін сандар.

7. Егер болып, алсаны-ға бөлінбесе, ондасаны да с-ға бөлінбейді.

8. Ноль саны кез келген а санына бөлінеді. Себебі,

9. Кез келген сан 1 санына бөлінеді. Себебі,

10. Егер а:b болса, онда .

11. Егер жәнеболса, онда не

Ескерту. 4 және 5 тұжырымға кері тұжырым дұрыс емес: бірнеше

санның қосындысының бөлінгіштігінен, қосылғыштар бөлінгіштігі, ал көбейтіндінің бөлінгіштігінен көбейткіштердің бөлінгіштігі шықпайды.

Мысалы, саны 8-ге бөлінеді, бірақ 27-де, 13-те 8-ге бөлінбейді.саны 12-ге бөлінеді, бірақ не 6, не 8 саны 12-ге бөлінбейді.

1.2 Қалдықпен бөлу

2-анықтама. Егер q және r бүтін сандары табылып

(1)

теңдігі орындалса, онда а саны b-ға қалдықпен бөлінеді деп аталады. Мұндағы q-бөлінді, ал r-қалдық деп аталады.

1-теорема. Кез келген бүтін саныбүтін санына қалдықпен бөлінеді және бұл бөлу жалғыз түрде өрнектеледі.

Дәлелдеуі. Әуелі қалдықпен бөлудің бар екенін дәлелдейік. Ол үшін екі жағдайды қарастырамыз.

1. кез келген бүтін сан, ал болсын.

-ға еселі барлық бүтін сандарды, өсу ретімен орналастырып, қарастырайық: санының-дан аспайтын ең үлкен еселігіболсын. ОндадемекяғниТеңсіздіктің барлық жағынан-ді шегерсектеңсіздігін аламыз.деп белгілесек, онда келесі теңдікті аламыз:.

2. -бүтін, ал болсын.

болғандықтан , онда 1-ші жағдай бойынша а саны –санына қалдықпен бөлінеді, демек бүтін q және r сандары табылыпнемесеорындалады. Кез келген бүтін а жәнесандары үшін (1) теңдіктің орындалатынын дәлелдедік.

Енді қалдықпен бөлудің, яғни (1) теңдіктің, жалғыз түрде анықталатынын дәлелдейік.

санын -ға бөлгендегі анықталатын (1) өрнек жалғыз емес дейік. Яғнижәнесандары табылып, төмендегі теңдіктер орындалады:

және Бұл теңдіктерденнемесе шығады.

және теңсіздіктерінен,, алжәнетеңсіздіктерінен,теңсіздіктерін аламыз. Яғни,, бұдан. Егердесек, ондажәне. Бұндай теңсіздік мүмкін емес. Ендешеалболғандықтан

Демек, болғандықтан (1) түрдегі өрнек жалғыз.