2.3 Көбейткіштерге жіктеу формулаларын қолдану

7. 2020 цифрдан тұратын 1000 . . . 001 санының 1001 санына бөлінетінін дәлелдеңіз.

Шешуі. Берілген санды келесідей түрлендірейік:

673 тақ сан болғандықтан берілген сан 1001 санына бөлінеді.

8. қосындысының 7-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.

Шешуі. Берілген қосындыны арқылы белгілеп, оны келесі түрінде жазайық

Оң жақтағы әр жақшадағы қосындыны Ньютон биномы бойынша жіктесек онда, болатындықтан, әр жіктеудегі соңғы қосылғыштан басқа қосылғыштардың 7-ге бөлінетіндігін көреміз. Яғни,Ендіқосындысының 7-ге бөлінетіндігін көрсетсек жеткілікті.

болатындықтан, соңғы қосындының санынына бөлінетіндігін көреміз. Сонымен, берілген сан 7-ге бөлінеді.

9. Кез келген натурал үшінқосындысының 9-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.

Шешуі. Берілген қосындыны түрінде жазайық.

Ньютон биномы бойынша жіктесек, онда қосындысы 9-ға қалдықсыз бөлінсе, онда берілген қосындының да 9-ға бөлінетінін көру қиын емес.қосындысын келесідей түрлендірейік:

.

Ал қосындысы 9-ға бөлінетіндіктен,қосындысы да 9-ға бөлінеді. Демек, берілген қосынды 9-ға бөлінеді.

10. Егер тақ сан болсақосындысының 40-қа бөлінетінін дәлелдеңіз.

Шешуі. Берілген қосындыны келесідей түрлендірейік:

.

Ал тақ сан болғандаайырымы 20-ға бөлінетінін ескерсек, онда бірінші және екінші қосылғыш 40-қа бөлінетіндіктен, олардың қосындысы да 40-қа бөлінеді.

11. қосындысының 66-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.

Шешуі. Берілген қосындыны келесідей түрлендірейік:

.

Бірінші жақшадағы қосынды санына бөлінетіндігі айқын. Екінші жақшадағы айырымды формула бойынша түрлендірсек, келесі өрнекті аламыз:

.

Бұл көбейтіндінің жәнесандарына бөлінетіндігін көреміз. Сондықтан, ол 66-ға да бөлінеді.

12. санынын 343-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.

Шешуі. Беріген айырымды көбейткіштерге жіктейік. Сонда, болады. болғандықтан, қосындысының 49-ға бөлінетінін көрсетсек жеткілікті. Ол үшін әрбір қосылғыштыНьютон биномы формуласымен жіктейік. Сонда, әр жіктеудегі соңғы қосылғыш 1-ден өзге қосылғыштардың 7-ге бөлінетінін көреміз. Ал, 1-лердің саны 49 болғандықтан, қосындысы 49-ға бөлінеді.

2.4 Қалдықпен бөлу

13. -ге бөлінетін, ал-ға бөлгенде 3 қалдық қалатын ең кіші натурал

санын анықтаңыз.

Шешуі. десек, ондаБұл теңдіктітүрінде жаза аламыз.жәнесандары өзара жай сандар болғандықтан

Осыдан, Яғни,.

14. тақ сан және 3-ке бөлінеді. санын 6-ға бөлгендегі қалдықты анықтаңыз.

Шешуі. Есеп шарты бойынша және.санын 6-ға бөлгендегі қалдықболсын. ОндаЖоғарыдағы теңдіктерденболады. ОсыданТеңдіктің оң жағындағы өрнек 3-ке бөлінетіндіктен сол жағындағы өрнек те 3-ке бөлінуі керек. 6-ға бөлгендегі қалдық 1, 2, 3, 4, 5 болатындықтан

15. санын 3-ке бөлгендегі қалдық 1-ге, ал 4-ке бөлгендегі қалдық 3-ке тең.санын 6-ға және 12-ге бөлгендегі қалдықты анықтаңыз.

Шешуі. Есеп шарты бойынша және. Онданемесе. 2 мен 3 өзара жай сандар болғандықтанжұп сан.болса, онда жоғарыдағы теңдіктерденнемесеболады. Ондажәненемесе. Демек, 6-ға бөлгенде 1 қалдық, ал 12-ге бөлгенде 7 қалдық қалады.

16. (3.29)

17. Цифрларының қосындысы 5-ке бөлінетін 1-мен 1999 сандарының аралығында қанша бүтін сан бар?

Шешуі. Төрт орынды сандарды түрінде өрнектейік.қосындысын 5-ке бөлгендегі қалдық келесі сандардың бірі болуы мүмкін: 0, 1, 2, 3, 4. Осы қалдықтарға сәкес,-ны санның цифрларының қосындысы 5-ке бөлінетіндей етіп анықтайық.

Қалдықтың мәні	0	1	2	3	4
с-ның мәні	0 немесе 5	4 немесе 9	3 немесе 8	2 немесе 7	1 немесе 6

Демек, әр қалдыққа қатысты, есеп шартын қанағаттандыратындай -ның мәндері екеу.

1-мен 1999 сандарының аралығында бір таңбалы 5 саны ғана есеп шартын қанағаттандырады. Екі таңбалы сандарды деп белгілесек, мұндағы1-ден 9-ға дейінгі тоғыз цифрлардың бірі. Яғни, цифрларының қосындысы 5-ке бөлінетін екі орынды сандардың саны .

Үш орынды сандарды деп белгілесек, мұндағы-ның қабылдайтын мәндері 1-ден 9-ға дейінгі тоғыз цифрлар болса,-ның қабылдайтын мәндері 0-ден 9-ға дейінгі он цифр. Яғни, үшорынды сандардың ішіндегі сан есеп шартын қанағаттандырады. Осы сияқты, төрторынды сандар болса, мен -ның әрқайсысының қабылдайтын мәндері 0-ден 9-ға дейінгі он цифр болатындықтан, төрт орынды санның цифрларының қосындысы 5-ке бөлінеді.

Сонымен, 1-мен 1999 сандарының аралығында цифрларының қосындысы 5-ке бөлінетін сан бар.