УМК_АнализДанных

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.11 из 58

	автокорреляционная функция	напрямую, без влияния промежуточных между ними
		наблюдений.
52.	Спектральная плотность
	временного ряда	Сумма ряда p 1 2 r cos t , где r -
		t 1
		автокорреляционная функция.
53.	Серия	Последовательность подряд идущих плюсов или
		минусов.
54.	Критерий серий	Критерий, основанный на исследовании количества
		серий и их длин в последовательности.
55.	Метод скользящего среднего	Метод сглаживания временного ряда для умньшения
		влияния случайных факторов.
56.	Метод последовательных	Метод поиска степени многочлена, описывающего
	разностей	тренд.
57.	Белый шум	Временной ряд
			2	при 0
					, серия
		t ,M t 0,M t t	0
		0при 0
		импульсов, генерирующая случайные остатки
		анализируемого временного ряда
58.	Модель авторегрессии 1-го	Временной ряд, описываемый формулой
	порядка АР(1), Марковский	t t 1 t , где t - белый шум.
	процесс (AR(1) - models)
59.	Модель авторегрессии 2-го	Временной ряд, описываемый формулой
	порядка АР(2), модель Юла	t i t 1 2 t 2 t - белый шум
	(AR(2) – models)
60.	Модель скользящего среднего	Временной ряд, описываемый формулой
	1-го порядка СС(1) (МА(1) -	t t t 1 , где t - белый шум
	models)
61.	Условия стационарности	Условия на параметры модели, при которых временной
		ряд получается стационарным.
62.	Идентификация модели	Оценка параметров модели временного ряда – чисел
	временного ряда	, 1, 2 , , 1, 2... и 02
63.	Модель скользящего среднего	Временной ряд, описываемый формулой
	2-го порядка СС(2) (МА(2) -	t t 1 t 1 2 t 2 , где t - белый шум.
	models)
64.	Условия обратимости	Условия на параметры модели, при которых
		зависимость значения временного ряда от прошлых
		значений уменьшается с отдалением прошлого
65.	Модель Бокса-Дженкинса	Временной ряд, у которого тренд – алгебраический
	(АРПСС(p,q,k)) (ARIMA-	полином степени k 1 , а остаток – АРСС(p,q)
	models)
66.	Регрессионная модель с	Модель зависимости
	распределенными лагами	y t c0 0 x t 1x t 1 ... p x t p t , где

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.12 из 58

t - белый шум

67.

Лаговая структура Ш.Алмон

Регрессионная модель с распределенными лагами, в

которой параметры получаются по формуле

k

A A k A k2

... A km , где A , A , A ,...,A

-

0

1

2

m

0 1

2

m

неизвестные параметры.

68.

Лаговая структура Койка

Регрессионная модель с распределенными лагами, в

которой параметры убывают в геометрической

прогрессии:

y t c0 x t x t 1 2 x t p ... t , где

t - белый шум, -1< <1, но чаще всего 0< <1.

69.

Модель частичного

Модель, в которой предполагается, что уравнение

приспособления (частичной

определяется не фактическое y t , а желаемое y t

корректировки)

значение:

y t 0

1x t t , причем фактическое

приращение зависимой переменной y t y t 1

пропорционально разнице между ее желаемым

уровнем и значением в предыдущий период:

y t y t 1 y t y t 1 t , где t

-

случайный член.

70.

Модель Линтнера

Модель частичного приспособления, описывающая

выплату дивидендов.

71.

Модель адаптивных ожиданий

Модель, в которой корректируется ожидаемое

значение объясняющей переменной x t 1 (но

экспертно формируемое в момент t).

72.

Модель Кейгана

Модель, описывающая гиперинфляцию с помощью

модели адаптивных ожиданий.

73.

Предсказание(prediction)

Оценка значения зависимой переменной y

в момент

(безусловное прогнозирование)

T p , полученная на основе первых T наблюдений,

когда значения объясняющих переменных в этот

момент известны: x T p .

74.

Прогноз (forecast) -

Оценка значения зависимой переменной y

в момент

T p , полученная на основе первых T наблюдений,

когда значения объясняющих переменных x T p

в

этот момент времени неизвестны.

75.

Относительная ошибка

Величина

yˆ T p y T p

, где yˆ T p

-

прогноза (RFE)

y T p

прогноз; yˆ T p yˆ T p y T

- предсказываемый

прирост;

y T p y T p y T

- действительный

прирост.

76.

Тест Чоу

Проверка гипотеза о неудачности предсказания с

помощью статистики Фишера

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.13 из 58

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Тема № 1. Модель множественной регрессии.

1. Множественная регрессия. Анализ вариации зависимой переменной.

Обобщением линейной регрессионной модели с одной объясняющей переменной является линейная регрессионная модель с k объясняющими переменными (модель множественной регрессии):

y 0 1x1 ... k xk ,

где 0, 1,..., k - параметры модели, а - случайный член.

Случайный член удовлетворяет тем же предпосылкам, что и в модели с парной регрессией. Предполагается, что объясняющие переменные некоррелированы друг с другом.

На основе n наблюдений оценивается выборочное уравнение регрессии: yˆ b0 b1x1 ... bk xk ,

где b0,b1,...,bk - оценки параметров 0, 1,..., k .

Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. В соответствии с МНК минимизируется сумма квадратов остатков:

ei2 (yi yˆy)2 min .

Необходимым условием её минимума является равенство нулю всех её частных производных по b0,b1,...,bk .

В результате приходим к системе из (k 1) линейного уравнения с (k 1) неизвестным, называемой системой нормальных уравнений. Её решение в явном виде обычно записывается в матричной форме, иначе оно становится слишком громоздким.

Оценки параметров модели и их теоретические дисперсии в матричной форме определяются выражениями:

b (XT X) 1XTY , D(bj ) (XT X) jj1 2 ,

где b - вектор с компонентами b0,b1,...,bk ; X - матрица значений объясняющих переменных;

Y - вектор значений зависимой переменной; 2 - дисперсия случайного члена.

Несмещенной оценкой 2 является величина S2 (остаточная дисперсия):

	S2	1	ei2 .
		n m

Величина S называется стандартной ошибкой регрессии.

Заменяя в теоретических дисперсиях неизвестную дисперсию 2 на её оценку S2 и извлекая квадратный корень, получим стандартные ошибки оценок коэффициентов регрессии:

Sbj S(XT X) jj1 .

Если предпосылки относительно случайного члена выполняются, оценки параметров множественной регрессии являются несмещенными, состоятельными и эффективными.

При использовании компьютерных программ коэффициенты регрессии b0,b1,...,bk и их стандартные отклонения вычисляются одновременно.

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.14 из 58

Пусть в уравнении регрессии содержатся k объясняющих переменных. Допустим, что можно разложить дисперсию зависимой переменной на объясненную и необъясненную составляющие:

var(y) var(yˆ) var(e).

Используя определение выборочной дисперсии, это уравнение можно представить в виде:

(yi y)2 (yˆi y)2 ei2 .

Обозначим:

TSS (yi y)2 - общий разброс зависимой переменной;

ESS (yˆi y)2 - разброс, объясненный регрессией;

USS ei2 - - разброс, не объясненный регрессией.

Тогда

TSS ESS USS .

(n 1) (m 1) (n m)

(В скобках указано число степеней свободы, соответствующее каждому члену уравнения).

Коэффициент детерминации есть доля объясненной части разброса зависимой переменной, т.е.

R2 ESS 1 USS .

TSS TSS

Величина R2 является мерой объясняющего качества уравнения регрессии по сравнению с горизонтально линией yˆ y .

2. Множественный и частный коэффициент корреляции.

Теснота линейной взаимосвязи одной переменной Xi с совокупностью других (p 1)

переменных X j , рассматриваемой в целом, измеряется с помощью коэффициента множественной корреляции i;1,2,...,p , который является обобщением парного коэффициента корреляции ij . Выборочный коэффициент выборочной корреляции Ri;1,2,...,p , являющийся оценкой i;1,2,...,p , может быть вычислен по формуле

	Ri;1,2,...,p	1	qp	,
			qii

где qp - определитель матрицы выборочных коэффициентов корреляции

		1	r12	...	r1p
qp		r21	1	...	r2p	;
		.............................
		rp1	rp2	...	1

qii - алгебраическое дополнение элемента rii той же матрицы (равного 1).

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.15 из 58

Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах 0 R 1. Величина R2,

называемая выборочным множественным коэффициентом детерминации, показывает, какую долю вариации исследуемой переменной объясняет вариация остальных переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции между переменными Xi и X j при

фиксированных значениях остальных p 2	переменных называется выражение:
r				qij			,
ij;1,2,..., p				qiiqjj
где qij и qjj - алгебраические дополнения элементов rij					и rjj матрицы qp .
Частный коэффициент корреляции rij;1,2,...,p, так же как и парный коэффициент
корреляции r , может принимать значения от -1 до 1.
3. Проверка качества уравнения регрессии
Проверить значимость уравнения регрессии –					значит установить, соответствует ли

математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

В математической статистике дисперсионный анализ рассмотрен как самостоятельный инструмент (метод) статистического анализа.

В модели множественной регрессии общая вариация Q – сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней может быть разложена на две составляющие:

Q QR

Qe ,

где QR , Qe – соответственно сумма квадратов отклонений,

обусловленная регрессией, и

остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов.

Получим удобные формулы для сумм

квадратов Q

, QR

и Qe , не

требующие

вычисления значений yˆi , обусловленных регрессией, и остатков ei . Имеем следующее:

n

2

n

n

yi

2

2

i 1

2

Q yi

y

(2.19)

yi

n

y Y Y ny

i 1

i 1

y

1

n

y

(ибо

y

2

y

2

y

2

... y

2

y

...y

y

2

i

1

2

n

1

2

n

i 1

...

yn

Сучетом (2.8) имеем

ФЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.16 из 58

n

Qe

2

(2.20)

yi y

Y Y

2b X Y b X Xb

Y Y b X Y

i 1

(ибо в силу (2.9) b X Xb b X Y )

Наконец,

2

2

.

(2.21)

Q QR Qe Y Y ny

(Y Y b X Y) b X Y ny

Уравнение множества регрессии значимо ( иначе - гипотеза

H0 о равенстве нулю

параметров регрессионной

модели,

т.е.

H0 :

1

2

... p 0,

отвергается),

если

(учитывая при m=p+1 )

QR n p 1

F

F

,

(2.22)

Qe p

;p;n p 1

где F ;p;n p 1 - табличное значение

F-критерия

Фишера-Снедекора,

а QR и

Qe

определяются по формулам (2.17) и (2.16).

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

F	S	R		R2		n m 1		,
				1 R2		m
	S

где R2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации;

m – число параметров при переменных х (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов);

n – число наблюдений.

Если известен коэффициент детерминации R2 , то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

				R2 n p	1
		F				F ;k1;k2	,
				1 R2 p
где k1 p,	k2 n p 1,		ибо в уравнении множественной регрессии вместе со
свободным членом оценивается m		p 1 параметров.

Тема 2: Вопросы практического использования моделей множественной регрессии

1.Гетероскедастичность.

При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии случайных отклонении может вызвать определенное недоумение в силу того, что при каждом i-м наблюдении имеется единственное значение Si. Откуда же появляется разброс? Дело в том, что при рассмотрении выборочных данных мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной и соответственно с определенными случайными отклонениями I = 1, 2,…n. Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.17 из 58

значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что несмотря на то что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую – при других.

Однако на практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайных отклонений г{ при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определенных наблюдениях и малыми – при других, но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому важно понимать суть этого явления и его последствия.

2.Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные.
Ещеоднойсерьезнойпроблемойприпостроениимоделей	множественной	линейной

регрессии по МНК является мультиколлинеарность – линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющихпеременных. Причем, еслиобъясняющиепеременныесвязаны строгой функциональной зависимостью,тоговорятосовершенной мультиколлинеарности. Напрактикеможно столкнутьсяс очень высокой (или близкой к ней) мультиколлинеарностью– сильной корреляционной зависимостью междуобъясняющимипеременными.

Мультиколлинеарностьможетбытьпроблемойлишьвслучаемножественнойрегрессии.

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику.

В регрессионных моделях с временными рядами используется три основных вида фиктивных переменных:

1)Переменные-индикаторы принадлежности наблюдения к определенному периоду — для моделирования скачкообразных структурных сдвигов.

2)Сезонные переменные — для моделирования сезонности. Сезонные переменные принимают разные значения в зависимости от того, какому месяцу или кварталу года или какому дню недели соответствует наблюдение.

3)Линейный временной тренд — для моделирования постепенных плавных структурных сдвигов. Эта фиктивная переменная показывает, какой промежуток времени прошел от некоторого “нулевого” момента времени до того момента, к которому относится данное наблюдение (координаты данного наблюдения на временной шкале).

Использование фиктивных переменных имеет следующие преимущества:

1)Интервалы между наблюдениями не обязательно должны быть одинаковыми. В выборке могут быть пропущенные наблюдения.

2)Коэффициенты при фиктивных переменных легко интерпретировать, они наглядно представляют структуру динамического процесса.

3)Для оценивания модели не приходится выходить за рамки классического метода наименьших квадратов.

ФЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.18 из 58

Тема 3: Временные ряды.

1.Временные ряды.

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать yt (t=1,2,…,n), где п — число уровней.

В табл. 1.1 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл. ед), т. е. временной ряд спроса yt.

Т а б л и ц а 1.1

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос, yt	213	171	291	309	317	362	351	361

Вкачестве примера на рисунке 1.1 временной ряд yt изображен графически.

Вобщем виде при исследовании экономического временного ряда yt выделяются несколько составляющих:

yt=ut+vt+ct+εt (t = 1,2,..., п),

(1.3)

где ut — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную («вековую») тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления и т.

п.);

vt — сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, иногда месяца, недели и т. д., например, объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года);

ct — циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических «ям», циклов солнечной активности и т. п.);

εt — случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Рисунок 1.1

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.19 из 58

Следует обратить внимание на то, что в отличие от εt первые три составляющие

(компоненты) ut , vt, ct являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Отметим основные э т а п ы анализа временных рядов:

•графическое представление и описание поведения временного ряда;

•выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

•сглаживание и фильтрация (удаление низкоили высокочастотных составляющих временного ряда);

•исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

•прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного

ряда;

•исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Среди наиболее распространенных методов анализа временных рядов выделим

корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Если выборка y1, y2,…, yi,…, yn рассматривается как одна из реализаций случайной величины Y, временной ряд y1, y2…, yi,…, yn рассматривается как одна из реализаций (траекторий) случайного процесса1 Y(t). Вместе с тем следует иметь в виду принципиальные отличия временного рада yt (t=1,2,...,п) от последовательности наблюдений y1, y2,…,yn, образующих случайную выборку. Во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

Случайным процессом (или случайной функцией) Y(t) неслучайного аргумента называется функция, которая при любом значении / является случайной величиной.

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

1)данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;

2)данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов

времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1)факторы, формирующие тенденцию ряда;

2)факторы, формирующие циклические колебания ряда;

3)случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности. Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию,

характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.20 из 58

формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 4.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Рис. 4.1.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 4.2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Рис. 4.2.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 4.3.

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое