УМК_АнализДанных

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.41 из 58

b

0,8273 11,44

1,6151;

b

2

0,1141 11,44

2,2505 .

1

5,86

0,58

Значение a определим из соотношения

a

b1

b2

86,8 1,6151 54,9 2,2505 33,5 73,52276

y

x1

x2

Для характеристики относительной силы влияния

x1 и x2

на y рассчитаем

средние

коэффициенты эластичности

yx

b

x

i

:

Э

i

i

y

1,62

54,9

1,0246%;

yx

2,25

33,5

0,8684%.

Э

yx

Э

2

1

86,8

86,8

С увеличением средней заработной платы x1

на 1 % от её среднего уровня душевой доход

y возрастает на

1,02 %

от своего

среднего

уровня;

при повышении среднего

возраста

безработного x2

на 1 % среднедушевой доход снижается на 0,87 % от своего среднего уровня.

Очевидно, что

сила

влияния средней заработной платы x1 на среднедушевой доход y

оказалось большей,

чем сила влияния среднего возраста безработного x2. К аналогичным

видам о силе связи приходим при сравнении модулей значений 1 и 2 :

1

0,8273

2

0,1141

.

2. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитываются по рекуррентной формуле:

ryx1x2

ryx2x1

rx1x2y

					ryx		ryx				rx x
						1			2			1 2
					(1 r		2yx		)(1 r2x x								)
							2						1 2
					ryx		ryx			rx x
					2				1			1 2
					(1 r	2 yx		)(1 r				2x x	2		)
							1					1
					rx x	2	ryx			ryx
					1				1			2
					(1 r	2 yx		)(1 r				2 yx		)
							1					2

	0,8405 0,2101 0,116	2	0,8404
	1 0,21012 1 0,116

0,2101 0,8405 0,116		0,2092
1 0,84052 1 0,1162
0,116 0,8405 0,2101

1 0,84052 1 0,21012 0,1144

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к

выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx x 0,116) коэффициенты парной и частной
корреляции отличаются незначительно:					1 2
rx x		0,116;	ryx 0,8405;	ryx	0,2101;
1 2			1	2
rx x	2	y 0,1144;	ryx x 0,8404;	ryx x	0,8404.
1			1 2	1 2

Расчёт линейного коэффициента множественной корреляции:

Ryx1x2 ryx1 1 ryx2 2

0,8405 0,8273 0,2101 0,1141 0,7193 0,8481.

Зависимость y от x1 и x2 характеризуется как тесная, в которой 72 % вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 28 % от общей вариации а y .

3. Общий критерий Фишера проверяет гипотезу 0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R2 0):

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.42 из 58

R2yx x

n m

0,7193

27

F

1

2

34,6 .

факт

1 R2yx x

m 1

0,2807

2

1 2

Сравнивая

Fфакт 34,6>Fтабл 3,4

( 0,05 ),

приходим

к выводу о

необходимости

отклонить гипотезу 0. С

вероятностью 1 0,95 делаем заключение о статистической

значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи Ryx x ,

которые сформировались

под неслучайным воздействием факторов x1

и x2.

1 2

Ryx2

x

ryx2

n m 1

0,84812 0,21022

27

Fx

1 2

2

64,9

1 Ryx2 x

1

факт

1

0,2807

1

1 2

Ryx2

x

ryx2

n m 1

0,84812 0,84052

27

Fx

1 2

1

1,234

1 Ryx2 x

2

факт

1

0,2807

1

1 2

Fx

>Fтабл,

Fтабл 4,21;

0,05 ;

Так как

приходим к выводу о

целесообразности включения в модель

1

факт

фактора

x

после x

2

. Гипотезу

0

о несущественности прироста R2

за счет включения

1

y

дополнительного фактора x1 отклоняем.

Низкое значение Fx2факт 1,234 свидетельствует о статистической незначимости прироста

r2

за

счет

включения

в

модель

фактора

x

2

после

фактора

x .

Следовательно,

yx1

1

подтверждается нулевая гипотеза 0

о нецелесообразности включения в модель фактора x2

(средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать её, включая дополнительный фактор x2.

Задача 2.

Зависимость спроса на свинину x1 от цены на неё x2 и от цены на говядину представлена уравнением:

lg x1 0,1274 0,2143 lg x2 2,8254 lg x3.

Требуется:

1.Представить данное уравнение в естественной форме.

2.Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что t -критерий для параметра b2 при x2 составил 0,827, а для параметра b3 при x3 - 1,015.

Решение:

1. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путем потенцирования обеих частей уравнения:

x1 100,1274 x20,2143 x32,8254;

x 1,3409		1	x2,8254 .
1	x	0,2143	3
		2

Значения коэффициентов регрессии b1 и b2 в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата x1 от x2 и x3 :

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.43 из 58

Эx x 0,2143%;	Эx x 2,8254 %.
1 2	1 3

Спрос на свинину x1 сильнее связан с ценой на говядину – он увеличивается в среднем на 2,83 % при росте цен на 1 %. С ценой на свинину спрос на неё связан обратной зависимостью:

сростом цен на 1 % потребление снижается в среднем на 0,21 %.

3.Табличное значение t -критерия для 0,05 обычно лежит в интервале 2-3 – в

зависимости от степенной свободы. В данном примере tb2 0,827 , tb3 1,015 . Это весьма

небольшие значения t -критерия, которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о статистической надежности всего уравнения, поэтому применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Тема 2: Вопросы практического использования моделей

множественной регрессии

1.В таблице представлены ряды данных по продовольственным ресурсам (производству (x1) и

импорту ( x2 )) и личному потреблению картофеля (У) (млн.тонн) за 8 лет

годы	x1	x2	y
1990	30.8	1.1	15.7
1991	34.3	1.2	16.7
1992	38.3	0.4	17.5
1993	37.7	0.2	18.8
1994	33.8	0.1	18
1995	39.9	0.1	18.3
1996	38.7	0.1	18.5
1997	37	0.2	19.1
1998	31.4	0.33	18

Рассчитать вариации и попарные ковариации для этих рядов.

Решение

№

алгоритм

Сооветствие ситуации предложенному

алгоритму

1

Определение числа наблюдений n

n=9

2

Расчет выборочных средних для

x

1

=35,77

рядов

{y},{ x1}и { x2 }

по

x

2

=0,41

формуле:

x

x1 x2 ... xn

y

=17,87

n

3

Расчет вариации для рядов

Var( x1)=9,68

{y},{ x1}и { x2 } по формуле:

Var( x2 )=0,16

Var(х)=1/n [(х1-

x

)2 +(х2-

Var(y)=1,02

x

)2 +…+(хn-

x

)2 ]

4

Расчет выборочных ковариаций

Cov( x1,x2 )=-0,72

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.44 из 58

cov( x1,y), cov( x2 ,y) , cov(x1, x2 )

по формуле:

Cov (х,у)=1/n[( x1- x )( y1- y )+…+( xn -x )( yn - y ).

Cov( x1,y)=1,96

Cov( x2 ,y)=-0,36

2.По регрессии для картофеля рассчитать статистику ДарбинаУотсона.

Решение:

№			алгоритм				Конкретное соответствие данной
п/п							ситуации предложенному алгоритму
1		Расчет остатков в наблюдениях					ek
		ek по формуле:					-0.53
		ek = yk	yk				0.46
		к-номер наблюдения					-0.52
							0.43
							-0.34
							-0.39
							-0.12
							0.77
							0.25
2		Расчет квадратов разностей					(ek -ek 1 )2
		соседних остатков (ek -ek 1 )2					0.004
							0.003
							0.008
							0.005
							0.002
							0.020
							0.331
							0.281
3		Расчет статистики Дарбина –
		Уотсона DW по формуле:
			n
		DW	ek ek 1 2				DW=0,35
			k 2
			n
			ek2
			k 1
3.рассчитать выборочную автокорреляцию для τ=1,2.
					Решение
		алгоритм				Конкретное соответствие данной ситуации
п/п						предложенному алгоритму
	Определение выборочной						ˆ 0 = ˆ2 =0,38
	дисперсии ˆ		из примера				ˆ 1 =0,28
	на выполнение задания №3
Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.45 из 58

				ˆ 2 =0,15
	Расчет выборочной			r (1)=0,73
	автокорреляции для τ=1,2. по			r (2)=0,39
	формуле:
	rˆ	ˆ
		0

Тема 3: Временные ряды.

В таблице представлены данные по личным потребительским расходам на местный транспорт (млрд.долл.) с 1966 по 1983гг. (США)

годы	расходы
1966	3,3
1967	3,2
1968	3,3
1969	3,5
1970	3,4
1971	3,4
1972	3,4
1973	3,4
1974	3,5
1975	3,5
1976	3,6
1977	3,6
1978	3,7
1979	3,8
1980	3,5
1981	3,2
1982	3,2
1983	3,1

С помощью критерия, основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда.

Решение

№	алгоритм			Конкретное соответствие
п/п		данной ситуации предложенному
				алгоритму
1	Определение числа наблюдения					N=18
	N
2	Ранжирование временного ряда			X i : 3,1; 3,2; 3,2; 3,2; 3,3;
		3,3;	3,4;	3,4;	3,4;	3,4;	3,5;	3,5;	3,5;

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.46 из 58

3,5; 3,6; 3,6; 3,7; 3,8

3 Расчет медианы по формуле:

Xmed(18) =3,4

Xmed(N)	X N 1 , если N-нечетно;
						2
		1
Xmed(N)					X		N			X N					, если N-четно.
	2											1
							2			2
Xmed(18)			1		X(9)				X	(10)
	2

4	Вместо исходного ряда создается ряд из					---++++++++---
	плюсов и минусов согласно правилу:
	«+», если x i	>	Xmed(N)
	« - », если x i	<	Xmed(N)
	Члены x i =		Xmed(N) не
	учитываются
5	Определение общего числа серий v(18).					V(18)=3
6	Определение протяженности самой					τ(18)=8
	длинной серии τ(18).
7	Проверка неравенств:					3<5
	V(N) > [1/2 (N+2-1,96				)	8>4
				N 1
	]
	τ(N)< [1,43 ln(N+1)], где [ ]-целая
	часть числа.
8	Вывод:					Гипотеза о неизменности среднего
	Если хотя бы одно из неравенств п.7					значения отвергается с
	нарушено, то гипотеза о неизменности					вероятностью ошибки от 0,05 до
	среднего значения отвергается с					0,0975.
	вероятностью ошибки от 0,05 до 0,0975.
	Если оба неравенства выполняются, то
	гипотеза о неизменности среднего
	значения признается правильной с
	вероятностью ошибки от 0,05 до 0,0975.

2.В таблице представлены данные по личным потребительским расходам на местный транспорт (млрд.долл.) с 1966 по 1983гг. (США)

годы расходы

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.47 из 58

1966	3,3
1967	3,2
1968	3,3
1969	3,5
1970	3,4
1971	3,4
1972	3,4
1973	3,4
1974	3,5
1975	3,5
1976	3,6
1977	3,6
1978	3,7
1979	3,8
1980	3,5
1981	3,2
1982	3,2
1983	3,1

С помощью критерия, основанного на критерии восходящих и нисходящих серий, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда.

Решение

			алгоритм			Конкретное		соответствие
п/п						данной	ситуации	предложенному
						алгоритму
		Определение			числа	N=18
	наблюдения N
		Вместо	исходного		ряда
	создается ряд из плюсов и минусов
	согласно правилу:
		«+», если х(i+1)>x(i)				- ++ - ++++- - -
		«-», если х(i+1)<x(i)
		Если несколько		одинаковых
	членов	ряда	идет		подряд,
	учитывается только один
		Определение общего числа				v(18)=5
		серий v(18)
		Определение протяженности				τ(18)=4
	самой длинной серии τ(18)
	0 (18).	Определение		величины		0	(18)=5
		Если N ≤26, то 0		(N)=5, если

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.48 из 58

	26<N≤153, то 0 (N)=6
	Проверка неравенств:			4<8
		V(N) > [1/3(2N-1)-		4<5
	1,96		]
		16N 29/90
		Τ(N)< 0 (N), где [ ] –целая
	часть числа
	Вывод:			Гипотеза о неизменности среднего
	Если хотя одно из неравенств п.6			значения отвергается с вероятностью
	нарушено, то гипотеза о			ошибки от 0,05 до 0,0975
	неизменности среднего значения
	отвергается с вероятностью ошибки
	от 0,05 до 0,0975. Если оба
	неравенства выполняются, то
	гипотеза о неизменности среднего
	значения признается правильной с
	вероятностью ошибки от 0,05 до
	0,0975.

Тема 4. “Динамические эконометрические модели”

Задача 1.

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на товар

А.

Показатель			1985	1986	1987	1988	1989	1990
			г.	г.	г.	г.	г.	г.
Расходы на			30	35	39	44	50	53
товар	А,
руб.
Доход	на		100	103	105	109	115	118
одного
члена
семьи, % к
1985 г.
Требуется		:

1.Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2.Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на товар А в зависимости от дохода.

3.Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов.

4.Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

5.Построить линейную модель спроса на товар А, включив в неё фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

Решение:

ФЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.49 из 58

1. Обозначим расходы на товар через y , а доходы одного члена семьи – через x. Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам: yt yt yt 1, xt xt xt 1.

Расчёты можно оформить в виде таблицы:

yt	yt	xt	xt
30	-	100	-
35	5	103	3
39	4	105	2
44	5	109	4
50	6	115	6
53	3	118	3

Значения y не имеют чётко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду x: абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.

2. Так как ряды динамики имеют общую тенденцию к росту, то для построения регрессионной модели спроса на товар А в зависимости от дохода необходимо устранить тенденцию. С этой целью может строиться по первым разностям, т.е. y f ( x), если ряды динамики характеризуется линейной тенденцией.

Другой возможный путь учёта тенденции при построении моделей – найти по каждому ряду уравнение тренда:

		ˆ		f (t)	и	ˆ			f (t)
и отклонения от него:	yt					xt
			ˆ							ˆ
dy		yt				dx			xt
				yt ;						xt .

Далее модель строится по отклонениям от тренда: dy f (dx) .

При построении эконометрических моделей чаще используется другой путь учета тенденции – включение в модель фактора времени. Иными словами, модель строится по исходным данным, но в неё в качестве самостоятельного фактора включается время, т.е. yˆt f (x,t).

3. Модель имеет вид: yˆ a b x.

Для определения параметров a и b применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

y n a b x

y x a x b 2x

Применительно к нашим данным имеем:

23 5 a 18 b

88 18 a 74 b

Решая систему, получим: a 2,565 и	b 0,565, откуда модель имеет вид:
ˆ		2,565			0,565		x.
y
4. Коэффициент регрессии b 0,565	руб.		Он означает, что с ростом прироста душевого

дохода на 1 % -ный пункт расходы на товар А увеличивается со средним ускорением, равным

0,565 руб.

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.50 из 58

5. Модель имеет вид: y					a		b		x				c		t .
				ˆ
Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:
						y n a b x c t
											yx a							x b						x2 c					xt
											yt a						t b						xt c					t2
Расчёты оформим в виде таблицы:
t	y		x	Yx		yt							xt						x2					t2
1	30		100	3000		30						100				10000								1
2	35		103	3605		70						206				10609								4
3	39		105	4095		117						315				11025								9
4	44		109	4796		176						436				11881								16
5	50		115	5750		250						575				13225								25
6	53		118	6254		318						708				13924								36
21	251		650	2750		961						2340				70664								91
				0
Система уравнений примет вид:
						251 6 a 650 b 21 c
						27500 650 a 70664 b 2340 c
						961 21 a 2340 b 91 c
Решая её, получим:				a 5,42 ,			b 0,322									и			c 3,516.
Уравнение регрессии имеет вид:									y 5,42 0,322 x 3,516 t .
Параметр		b 0,322		фиксирует силу связи															y и				x. Его величина означает, что с ростом

дохода на одного члена семьи на 1 % -ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар А возрастают в среднем на 0,322 руб. Параметр c 3,516 характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Тема 1. “Модель множественной регрессии”

ЗАДАНИЯ:

1. Изучается зависимость по 25 предприятиям концерна потребления материалов y (т) от энерговооруженности труда x1 (квт.ч. на одного рабочего) и объёма произведённой продукции x2 (тыс.ед.).

			Таблица 11
Признак	Среднее	Среднее	Линейный коэффициент
	значение	квадратическое	парной корреляции
		отклонение
y	12	2	r(x1,x2)=0,43

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое