УМК_АнализДанных

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.21 из 58

Рис. 4.3.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

2. Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

n

yt y1 yt 1 y2

r		t 2			,
1		n	n

yt y1 2 yt 1 y2 2 t 2 t 2

где

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.22 из 58

			1	n				1	n
	y1			yt ,	y	2			yt 1.
			n 1 t 2					n 1 t 2

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и yt 1.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту

связи между уровнями yt и yt 2 и определяется по формуле:

n

yt y3 yt 2 y4

r

t 3

,

2

n

n

yt

y

3 2 yt 2

y

4 2

где

t 3

t 3

1

n

1

n

y

3

yt ,

y

4

yt 2.

n 2 t 3

n 2 t 3

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг

должен быть не больше n4.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1.Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2.По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется

коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

ФЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.23 из 58

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит

тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Моделирование тенденции временного ряда

Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени,

или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: yt a b t;

гипербола: yt a bt ;

экспоненциальный тренд: yt ea bt (или yt a bt );

степенная функция: yt a tb ;

полиномы различных степеней: yt a b1 t b2 t2 ... bm tm.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t 1, 2,..., n, а в качестве

зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt. Для нелинейных трендов

предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет

линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и yt 1 тесно коррелируют. В этом случае

коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.24 из 58

экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее

выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

Моделирование сезонных колебаний

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y T S E .

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S ) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Y T S E .

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S ) и случайной (E) компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1)Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2)Расчет значений сезонной компоненты S .

3)Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение

выровненных данных (T E) в аддитивной или (T E) в мультипликативной модели.

4)Аналитическое выравнивание уровней (T E) или (T E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5)Расчет полученных по модели значений (T E) или (T E ).

6)Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в

дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.25 из 58

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1.Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2.В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является

фактор времени tОт истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

n

t t 1 2

d t 2

n

t2

t 1

Т.е. величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях n существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона d и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка r1:

d 2 1 r1

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r1 1, то d 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r1 1 и,

следовательно, d 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r1 0 и d 2. Т.е.

0 d 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза H0 об отсутствии автокорреляции остатков.

Альтернативные гипотезы H1 и H1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение

E) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели m и уровня значимости .

По этим значениям числовой промежуток 0; 4 разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью 1 осуществляется следующим образом:

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.26 из 58

0 d dL – есть положительная автокорреляция остатков, H0 отклоняется, с

вероятностью P 1 принимается H1; dL d dU – зона неопределенности;

dU d 4 dU – нет оснований отклонять H0 , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

4 dU d 4 dL – зона неопределенности;

4 dL d 4 – есть отрицательная автокорреляция остатков, H0 отклоняется, с

вероятностью P 1 принимается H1*.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и

отклоняют гипотезу H0 .

Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

1.Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака.

2.Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

3.Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших

выборок.

3.Прогнозирование на основе моделей временных рядов

Одна из важнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда, как отмечено выше, состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд yt(t=1,2,…,n) и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент n+τ.

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения εt(t=1,2,…,n) представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным.

В данной главе мы полагаем, что возмущения εt(t=1,2,…,n) удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели.

Рассмотрим особенности разработки прогнозов стационарного процесса – временного ряда, описываемого обобщенной моделью авторегрессии – скользящего среднего порядка (k,m):

yt 1 yt 1 ... k yt k t 1 t 1 2 t 2 ... m t m ,

yt 1 yt 1 ... k yt k t 1 t 1 2 t 2 ... m t m ,

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.27 из 58

где yt в общем случае представляет собой центрированную переменную с математическим

ожиданием .

Таким образом, данную модель можно переписать в несколько измененном виде:

yt 1(yt 1 ) ...

k (yt k

) t

1 t 1 ...

m t m,

(1.4)

и после очевидных упрощений – в следующем виде:

yt (1 1 ...

k ) 1 yt 1 ...

k yt k 1 t 1 ...

m t m ,

(1.5)

Предположим, что оценки математического ожидания ошибок и оценок коэффициентов модели были получены на основе временного ряда у1, у2,..., уT.

Тема №4. Динамические эконометрические модели.

В эконометрике к числу динамических относятся не все модели, построенные по временным рядам данных. Термин «динамический» в данном случае характеризует каждый момент времени t в отдельности, а не весь период, для которого строится модель. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему времени, так и к предыдущим моментам времени, т .е. если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени. Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей.

К моделям первого типа относится модели авторегрессии и модели с распределенным лагом, в которых значения переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель.

Модели второго типа учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата, или одного из факторов момент времени t. При исследовании эконометрических процессов, нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущей момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t-1, t-2,…, t-l. Например, на выручку от реализации или прибыль компании текущего периода могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные компанией в предшествующие моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными.

Разработка экономической политики как на макро-, так и на микроуровне требует решение обратного типа задач, т .е. задач определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов или как может измениться объем ВРП, произведенного в периоде (t+1), под воздействием увеличения денежной массы в периоде t ?

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.28 из 58

Экономическое моделирование охарактеризованных выше процессов осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида

является примером модели с распределенным лагом.

Построение моделей с распределенным лагом имеет свою специфику.

Во-первых, оценка параметров моделей c распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов.

Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры.

В-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегресеии существует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.

3.3 Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом.

Рaссмотpим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменнной у в течение следующих моментов времени. Коэффициент регрессии при переменной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на l ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором. B момент (t + 1) совокупное воздействие факторной

пёременной на результат составит ( ) усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой () и т. д. Полученные тaким образом суммы назывaют промежуточными мультипликаторами. C учетом конечной величины лaга можно сказaть, что изменение переменной в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на () абсолютных единиц. Введем следующее обозначение:

Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

					Издание:
			Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
			университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.29 из 58

Назовем полученные величины относительными коэффициентaми модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого j

B этом случае относительные коэффициенты являются весами для соответствующих коэффициентов . Кaждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t + j).

Зная величины , с помощью стандартных формул можно определить еще две вaжные характеристики модели множествен-ной регрессии: величину среднего лага и медианного лага. Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг —

это величина лага, для которого

Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

3.5.Методы построения моделей с распределенным лагом.

3.5.1.Метод Койка

Враспределении Койка предполагается, что коэффициенты (известные как «веса») при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

где 0 < < 1 характеризует скорость убывания коэффициентов увеличением лага (с удалением от момента анализа). Такое предположение достаточно логично, если считать, что влияние прошлых значений объясняющих переменных на текущее значение зависимой переменной будет тем меньше, чем дальше по времени эти показатели имели место.

В данном случае уравнение преобразуется в уравнение

yt = + b0·xt +b0· xt-1 +b0· 2 xt-2 …+ b0· k xt-k + …+ t, (11.6)

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое

			Издание:
	Евразийский национальный	Учебно-методический комплекс дисциплины	четвертое
	университет им. Л.Н. Гумилева		Стр.30 из 58

Параметры данного уравнения , b0, можно определять различными способами. Например, достаточно популярен следующий метод. Параметру присваиваются последовательно все значения из интервала (0, 1) с произвольным фиксированным шагом (например, 0,01; 0,001; 0,0001). Для каждого рассчитывается

zt = xt +· xt-1 + 2 xt-2 …+ + p xt-p. (11.7)

Значение р определяется из условия, что при дальнейшем добавлении лаговых значений х величина изменения zt менее любого ранее заданного числа.

Далее оценивается уравнение регрессии

yt = + b0·zt + t,

(11.8)

Из всех возможных значений выбирается то, при котором коэффициент детерминации R2 для уравнения (11.8) будет наибольшим. Найденные при этом параметры ,0, и подставляются в (11.6). Возможности современных компьютеров позволяют провести указанные расчеты за приемлемое время.

Однако более распространенной является схема вычислений на основе преобразования

Койка.

Вычитая из уравнения (11.6) такое же уравнение, но умноженное на и вычисленное для предыдущего периода времени t-1, получим

yt-1 = + b0 xt-1 + b0· 2 xt-2	+…+ t-1,	(11.9)
и далее получим следующее уравнение:

yt- yt-1 = - + b0· xt + (b0· xt-1 - b0· xt-1 ) +…+( t - t-1),

отсюда

yt= (1- ) + b0·xt + yt-1+vt,

(11.10)

где vt = t - t-1 — скользящая средняя между t и t-1.

Преобразование по данному методу уравнения (11.3) в уравнение (11.10) называется преобразованием Койка.

Отметим, что с помощью указанного преобразования уравнение с бесконечным числом лагов (с убывающими по степенному закону коэффициентами) преобразовано в авторегрессионное уравнение (11.10), для которого требуется оценить лишь три коэффициента: , b0, . Это, кроме всего прочего, снимает одну из острых проблем моделей с лагами — проблему мультиколлинеарности.

Модель (11.10) позволяет анализировать краткосрочные и долгосрочные свойства переменных. В краткосрочном периоде можно значение yt-i рассматривать как фиксированное и краткосрочный мультипликатор считать равным b0. Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если предположить, что в долгосрочном периоде xt стремится к некоторому своему равновесному

Ф ЕНУ 703-08-14. Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание четвертое