§4.3. Импульс балансы теңдеуі. Қозғалыс (импульс балансы) теңдеуін жазуғанда осы шаманың сақталу принципін қолданатын жүйені таңдау керек. Импульстың сақталу заңының жазылуы

Жүйеге импульстың енуі + жүйеге әсер ететін барлық беттік күштердің қосындысы + жүйеге әсер ететін барлық көлемдік күштердің қосындысы = жүйе импульсінің өсу жылдамдығы. (4.19)

Өрнектелуі: дене массасының оның үдеуіне көбейтіндісі денеге әсер ететін барлық күштер қосындысына тең, яғни

Сұйықтың элементар көлеміне гравитациялық күш, -нормаль кернеудің үш компонентасы және жанама кернеудің алты компонентасы әсер етеді. Жанама кернеудің компоненттерінің индексы шартын ескере отырып,бағытында- осылардың біреуінің әсер ететінін табамыз. Бастапқы екі шамаауданына, ал кейінгі екі шамаауданына әсер етеді.

Осыған ұқсас

Басқа кернеулер үшін аламыз

Енді осіне әсер ететін күштер балансын құруға болады:

(4.20)

Бұл теңдеуді параллелепипед көлеміне бөліп, теңдедуді аламыз

(4.21)

Осылайша декарттық координаталар жүйесінде жазылған жәнебағыттары үшін импульс балансы теңдеуін табамыз:

(4.22)

§4.4. Навье – Стокс теңдеуі.

(4.21) және (4.22) теңдеулері гравитациялық массалық күш әсерінде орналасқан кез келген сұйықтар үшін орынды. Ньютондық сұйықтар қозғалыс теңдеуін алу үшін (4.16), (4.17) теңдеулерін қолдану керек.

(4.16)

кернеу мен жылдамдық деформациясы арасындағы қатынасты нормаль кернеу үшін (4.16) –теңдеу түрінде көрсетуге болады. Ол кезде жанама кернеу жылжу деформациясы жылдамдығына пропорционал (бұрыштық деформация):

(4.17)

(4.16) және (4.17) ньютондық сұйықтың анықтауыш теңдеулері деп аталады. Осыларды (4.21) және (4.22) жүйесіндегі нормаль және жанама кернеу үшін қойып, төмендегіні аламыз

(4.24)

Бұл жүйе айнымалы тұтқырлықты сығылатын сұйықтың қозғалыс теңдеуін көрсетеді. Сұйықтар динамикасы есебін шешкенде оны үзіліссіздік теңдеуімен толықтыру керек.

Сығылатын сұйықта белгісіздер тек қысым мен жылдамдық емес, сонымен қатар тығыздық, тұтқырлық сияқты физикалық қасиеттері. Ал тұйық теңдеулер жүйесі үшін тағы да екі қатынасты: термодинамикалық күй теңдеуін және тұтқырлықтың температурамен байланысын енгізу керек. Егер ағын температурасының өзгерісі көп болмаса, онда сұйықтың орташа температурасын анықтайтын тұрақты тұтқырлық жорамалы орындалады. Бұл жағдайда сығылатын сұйық үшін (4.24) жүйенің бірінші теңдеуінен аламыз

осылай басқаша жазып, тұрақты тұтқырлықты сығылатын сұйық үшін декарттық координатада жазылған Навье-Стокс теңдеуін алуға болады:

(4.25)

Лаплас - дифференциалдық операторын енгізіп және (3.7) өрнегімен сәйкес үдеуді есептеп, (4.25)-теңдеуі векторлық формада мына түрге ие екендігін табамыз

(4.26)

Сығылмайтын сұйық үшін өйткені (4.26) жеңілденеді:

(4.27)

(4.27)-теңдеу Стокс теңдеуі деп аталады.

Тұтқыр емес сұйық үшін (4.27)-теңдеудіқа бөліп Эйлер қозғалыс теңдеуін аламыз

. (4.28)

Вертикаль бағытта саналатын нүкте биіктігін десек, ауырлық күші үдеуі компоненттерін төмендегідей:

немесе

Егер декарттық координаталар жүйесі осьтері пенсәйкес болатындай орналасса, ондаболады. «-» болатын себебі ауырлық күші-кері мәндері жағына бағытталған.

(3.6)- теңдеуімен сәйкесінше үдеу компоненттерін қойып, декарттық координатада сығылмайтын сұйық үшін Навье-Стокс теңдеуін жазамыз:

(4.29)

Көрсетілген теңдеулер жүйесіне кіретін белгісіз шамалар кинематикалық және физикалық шекаралық шарттарды қанағаттандыруы керек. Кинематикалық шарттар – жылдамдықтар кез келген қатты бетте немесе қабырғада осы қабырғаның жылдамдығына тең болады деген сөз (нольге тең немесе қабырға қозғалыссыз). Физикалық шарттар – кез келген нақты сұйықтың қасиеті салдарынан қатты бетке «жабысуы». Осының нәтижесінде қабырғада жылдамдықтың жанама компоненты үшін жабысу шарты болады.

Дербес туындылы екінші текті сызықсыз дифференциалдық теңдеулер болатын Навье-Стокс теңдеуінің жалпы шешімі әлі кезге дейін табылмаған. Алайда әртүрлі жеңілдетулермен дербес шешімдерін алуға болады.

Металлургиялық пештерде, факельдік жылыту әдістерінде газдар қозғалысы құйынды сипатқа ие, сондықтан Навье-Стокс теңдеуін құйынды ағын сипатын ескеретіндей түрлендіру керек. Осы тұрғыдан (4.29) жүйенің бірінші теңдеуінің сол жағын қарастырамыз

құйынды жылдамдық векторы компоненті. Осы өрнектің оң жағындағы екінші қосылғыш жылдамдық векторы модулы туындысын көрсетеді, ал соңғы жылдамдық роторы векторлық туындысыныңосіне проекциясын және ағын жылдамдығы векторын, яғни

Векторлық формада

Осы өрнекті (4.26) теңдеуіне қойып, табамыз

(4.31)

Навье-Стокс теңдеуі үшін аламыз

(4.32)

Бұл Навье-Стокс теңдеуінің Громека-Лэмба формасында жазылуы.