Алгебраические системы( 2 семестр,озо, спец. М). Варианты 1-10 Вариант 1

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xyxy8x8y56. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел <R,+>? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. . Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(123)(456), B=(12634) и C=(13)(2564). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 7ⁿ30n1 делится на 36 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (16i)x(611i)y517i.

6. Решите уравнение z²(55i)z612i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцо полем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,b,cZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

Вариант 2

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xyxy7x7y42. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(124)(356), B=(15236) и C=(14)(2536). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 6ⁿ20n1 делится на 25 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (95i)x(72i)y127i.

6. Решите уравнение z²(4i)z3i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцо полем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

Вариант 3

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xyxy6x6y30. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(126)(354), B=(14526) и C=(15)(2364). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 5ⁿ12n1 делится на 16 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами:(813i)x(511i)y38i.

6. Решите уравнение z²(32i)z24i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцо полем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.