Вариант 7

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xy2xy7x7y14. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множествообразует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(246)(135), B=(3645) и C=(13)(24)(56). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 14ⁿ13n168 делится на 169 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (215i)x(13i)y183i.

6. Решите уравнение z²(32i)z22i0.

7. . Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцополем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

Вариант 8

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xy2xy7x7y14. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множествообразует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(246)(135), B=(3645) и C=(13)(24)(56). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 14ⁿ13n168 делится на 169 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (215i)x(13i)y183i.

6. Решите уравнение z²(32i)z22i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцополем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

Вариант 9

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xy2xy9x9y36. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(245)(163), B=(3546) и C=(15)(23)(46). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 7ⁿ12n1 делится на 9 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (419i)x(152i)y914i.

6. Решите уравнение z²(52i)z14i0.

7. . Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцополем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.