Вариант 4

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xyxy5x5y20. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(235)(164), B=(13564) и C=(16)(2354). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 9ⁿ8n63 делится на 64 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (94i)x(149i)y523i.

6. Решите уравнение z²(52i)z16i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцо полем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

Вариант 5

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xyxy4x4y12. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(245)(136), B=(16345) и C=(26)(1435). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 10ⁿ9n80 делится на 81 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (37i)x(510i)y1015i.

6. Решите уравнение z²(43i)z17i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцо полем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

Вариант 6

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xy2xy3x3y3. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(234)(165), B=(2653) и C=(12)(34)(56). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 12ⁿ11n120 делится на 121 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами:

6. (16i)x(1715i)y116i.

7. Решите уравнение z²(55i)z613i0.

8. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем?

9. Будет ли кольцо полем?

10. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.