- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
8.3. Неперервні випадкові величини
Неперервною називається випадкова величина, що може приймати будь-які значення з деякого проміжку. Інтегральна функція неперервної випадкової величиниє неперервною функцією. Неперервні випадкові величини можна задавати також за допомогою диференціальної функції.Диференціальною функцією або щільністю розподілу (щільністю ймовірностей) називається похідна від інтегральної функції:
(8.3.1)
Властивості диференціальної функції розподілу:
, (8.3.2)
, (8.3.3)
, (8.3.4)
(8.3.5)
(зв'язок між диференціальною й інтегральною функціями).
Математичним сподіванням неперервної випадкової величини називається невласний інтеграл
, (8.3.6)
де – диференціальна функція. Якщо випадкова величина, то.
Дисперсію неперервної випадкової величини можна обчислити за формулою:
, (8.3.7)
причому якщо , то.
Приклад 8.3.1. Інтегральну функцію розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини задано формулою:
Знайти: а) коефіцієнт с, б) диференціальну функцію , в),,, г) ймовірність попадання випадкової величини в інтервал ; д) побудувати графіки функційі.
Розв’язання. а), б) Знайдемо диференціальну функцію за формулою (8.3.1):
Коефіцієнт с визначаємо з умови (8.3.3), тобто , значить,, отже інтегральна і диференціальна функції набувають вигляду:,.
в) Знайдемо математичне сподівання випадкової величини та випадкової величиниза формулою (8.3.6):
.
Тоді дисперсія за формулою (8.2.9) , середнє квадратичне відхилення за (8.2.14):.
г) ймовірність попадання випадкової величини в інтервал знайдемо за допомогою інтегральної функції й формули (8.2.4):
.
Цю ж ймовірність можна обчислити за допомогою диференціальної функції й формули (8.3.4): .
д) графіки диференціальної й інтегральної функції мають вигляд:
Рис. 8.3.1 – Графік диференціальної функції
Рис. 8.3.2 – Графік інтегральної функції розподілу
Література: [1, с. 526 ‑ 529], [4, с. 529 – 559], [16], [18], [20].
8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
Біноміальним називається розподіл імовірностей дискретної випадкової величини за формулою Бернуллі. Для такої випадкової величини
, , . (8.4.1)
Приклад 8.4.1 Знайти математичне сподівання й дисперсію випадкової величини – числа людей, які можуть звернутися до консультанта (з приклада 8.2.1)
Розв’язання. Безпосередній підрахунок числових характеристик цієї випадкової величини, що є біноміально розподіленою, було виконано у прикладі 8.2.1 З іншого боку, ,, і тому згідно (8.4.1):, .
Розподілом Пуассона називається розподіл імовірностей дискретної випадкової величини за формулою Пуассона. Для такої випадкової величини
, (де). (8.4.2)
Закон Пуассона називають також законом рідких подій, він апроксимує біноміальний розподіл при досить великих і малих.
Приклад 8.4.2. Прилад містить 2500 мікроелементів, які працюють незалежно друг від друга. Імовірність того, що мікроелемент вийде з ладу під час роботи приладу, дорівнює 0,003. Знайти математичне сподівання, дисперсію й середнє квадратичне відхилення випадкової величини – числа мікроелементів, які вийдуть із ладу під час роботи приладу.
Розв’язання. Випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром. Обчислимо її числові характеристики: згідно (8.4.2), і за формулою (8.2.14).
Література: [4, с. 563 – 564], [16], [18], [20].