- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
методами оберненої матриці, Крамера, Гаусса
Визначником (детермінантом) другого порядку називається число, яке обчислюється за формулою
. (1.1.1)
Приклад 1.1.1. Обчислити визначник .
Розв’язання. За формулою (1.1.1) маємо:
Визначником третього порядку називається число, яке визначається формулою
(1.1.2)
і обчислення якого можна ілюструвати за допомогою наступної схеми:
«+» «‑»
Рис. 1.1.1 ‑ Правило трикутника
Таким чином, у суму (1.1.2) зі своїм знаком входять добутки елементів, розташованих на головній діагоналі ()та на відповідних трикутниках (паралелі до головної діагоналі з’єднуються з протилежним кутом таблиці), а з протилежним знаком ‑ добутки елементів, розташованих на побічній діагоналі та на відповідних трикутниках (паралелі до побічної діагоналі з’єднуються з протилежним кутом).
Приклад 1.1.2. Обчислити визначник .
Розв’язання. За формулою (1.1.2) маємо:
.
Мінором елементаназивається визначник,який утворюється з даного викреслюванням i-го рядка і j-го стовпчика, на яких розташований елемент .Алгебраїчним доповненням елементаназивається мінор, помножений на. Отже,.
Приклад 1.1.3. Знайти для визначника з прикладу 1.1.2.
Розв’язання. .
Матрицею називається таблиця чисел. Матриця має розмірність (nm), де n – кількість рядків, m – кількість стовпчиків. Якщо , матриця називаєтьсяквадратною.
На головній діагоналі квадратної матриці розташовані елементи , для яких номер рядка та стовпчика співпадають. Якщо всі елементи нижче (вище) головної діагоналі квадратної матриці дорівнюють нулю, то матриця називаєтьсятрикутною.
Якщо визначник (позначення: ) квадратної матриціне дорівнює нулю, то матриця називаєтьсяневиродженою.
Транспонованою матрицею називається матриця, у якої рядки записані замість стовпчиків (стовпчики ‑ замість рядків).
Сумою двох матриць іоднакової розмірності називається матриця, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матрицьі.
Добутком матриці на числоk називається матриця, елементами якої є .
Добутком матриці розмірності (nk) на матрицю розмірності (km) називається матриця розмірності (nm), кожний елемент якої дорівнює скалярному добутку (див. формулу (1.2.4)) -го вектора‑рядка матриціна -й вектор‑стовпчик матриці.
Приклад 1.1.4. , .Знайти .
Розв’язання. Матриця розмірності, а матриця‑, отже буде мати розмірність (множитинане можна). .
Одиничною матрицею називається матриця, елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці, а всі інші ‑ нулю.
Оберненою матрицею до невиродженої матриці називається матриця, для якої виконується рівність
. (1.1.3)
Матрицю (розмірності 33) можна знайти за формулою
. (1.1.4)
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
. (1.1.5)
Позначимо ‑ матриця системи, ‑ стовпчик невідомих,‑ стовпчик вільних членів, тоді систему (1.1.5) можна записати в матричному виді:
. (1.1.6)
Якщо , торозв’язок системи (1.1.6) має вигляд:
, (1.1.7)
та може бути знайдений за методом оберненої матриці.
Якщо , тоза формулами Крамера розв’язком (1.1.5) є:
, (1.1.8)
де (,) ‑ матриця, одержана із матриці заміною стовпця із коефіцієнтів при невідомому (,) стовпчиком вільних членів.
Метод Гаусса розв’язання системи складається з двох кроків: спочатку система шляхом виключень невідомих приводиться еквівалентними перетвореннями до трикутного виду (тобто матриця отриманої системи є трикутною). Зазначимо, що
множення (або ділення) обох частин будь якого рівняння системи на число, що не дорівнює нулю;
додавання (або віднімання) рівнянь
є еквівалентними перетвореннями системи, тобто не змінюють її розв’язку. Зауважимо, що метод Гаусса є застосовним не лише для систем, матриця яких є квадратною.
Приклад 1.1.1. Розв’язати систему методом оберненої матриці.
Розв’язання. Матриця системи (із коефіцієнтів при невідомих) , її визначник. Значить, матрицямає обернену.
Для побудови запишемо спочатку алгебраїчні доповнення:
, , ,
, ,,, , .
Тоді за формулою (1.1.4) обернена матриця .
Значить, згідно формули (1.1.7)
.
Отже, .
Приклад 1.1.2. Розв’язати систему методом Крамера.
Розв’язання. Матриця системи (із коефіцієнтів при невідомих) , її визначник. Значить, систему можна розв’язати за методом Крамера.
Допоміжні визначники:
, ,.
Тоді за формулами Крамера .
Отже, .
Приклад 1.1.3. Розв’язати систему методом Гаусса.
Розв’язання. Розв’яжемо систему методом Гаусса. Перше рівняння запишемо без змін. З усіх інших рівнянь виключимо невідому . (Без змін можна записати будь-яке рівняння системи і обрати для виключення з усіх інших рівнянь будь-яку невідому, що входить в це рівняння з ненульовим коефіцієнтом). Якщо помножити перше рівняння на (-2) і додати до другого рівняння:, то після цього перетворення друге рівняння матиме вигляд:. Третє рівняння вже не містить. (Інакше ми б помножили перше та третє рівняння на такі числа, щоб додавання отриманих рівнянь призвело до зникнення). Отримали систему.
Тепер перше та друге рівняння запишемо без змін, а з третього рівняння виключимо невідому . Для цього помножимо друге рівняння на (-5) і додамо до третього рівняння:. Отримаємо третє рівняння вже без невідомої:. Таким чином, ми шляхом елементарних перетворень призвели систему до еквівалентного трикутного виду:.
З останнього рівняння, яке містить лише одну змінну, знаходимо , потім із передостаннього . Підставляючи знайдені значення в перше рівняння, маємо.
Отже, .
Зауважимо, що приклади 1.1.1 ‑ 1.1.3 відповідають завданню 1.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 281 ‑ 294], [2, с. 383 ‑ 389], [3, с. 23 – 35, 64 ‑ 81], [5], [6].