Посібник ЧМ

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКІВ

1.Методами прямокутників, трапецій та Симпсона обчислити значення інтеграла з точністю 10 4 . Значення n обрати з умови задоволення точності розрахунків.

2		1
			dx
	3x2	4x 2
2

Формули лівих і правих прямокутників

Задана точність 10 3 . Обчислимо значення n для її забезпечення за формулою:

n (b a)2 f ( ). 2

Знайдемо значення ξ - точку, в якій перша похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

f (x)		1
		3x2 4x 2
f1(x) d f (x)							6 x 4
							2
		dx				2
						3 x	4 x 2
	0.001		a 2				b 0

Як бачимо, функція має два екстремуми.

X1 1

X1 Maximize(f1 X1) 0.939 - перший екстремум f1(X1) 2.067

X2 0.3

X2 Minimize(f1 X2) 0.395 - другий екстремум f1(X2) 2.067

Значення функції в них однакове за модулем. Тому оберемо: Q f1(X1) і знайдемо n:

	(b	a)	2
n					Q	4133.514
		2

Заокруглимо до цілого: n=4200. Знайдемо значення інтеграла за формулами лівих та правих прямокутників та обчислимо і порівняємо похибку:

N 4200

	b			b a
	I	f (x) dx 1.5459	h			0.00048
	a			N

91

i 0 N

X a i h	Y f X
i	i	i

N 1
I_left h	Yi 1.5459
	i 0
			N
I_right h Yi					1.546
			i 1
_left		I I_left			7.939 10 5
_right			I I_right				7.934	10 5

Отримані похибки менше заданої.

Формула середніх прямокутників

Задана точність 10 3 . Обчислимо значення n для її забезпечення за формулою:

	n	(b a)3	f ( ) .
		24

Знайдемо значення ξ - точку, в якій друга похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

2						2 (6 x 4)			2							6
f2(x)	d		f (x)
	dx2					2		4 x	3						2				2
						3 x			2					3 x		4 x 2
																												5
																												1.667
									2			1.75					1.5		1.25			1		0.75		0.5		0.25		0
																												1.667
					f2(x)																							5
																												8.333
																												11.667
																												15

x

Як бачимо, найбільшого за модулем значення функція набуває в точці:

X1 1

X1 Minimize(f2 X1) 0.667

f2(X1) 13.5

Q f2(X1) і знайдемо n.

92

		(b a)	3
n					Q	67.082
		24

Заокруглимо до цілого: n=70. Знайдемо значення інтеграла за формулою середніх прямокутників та обчислимо і порівняємо похибку:

		(b a)	3
n					Q	67.082
		24

N 70

h

b

a

0.02857

N

i 0 (N 1)

X a i h

h

Y f X

i

2

i

i

N 1

I_middle h Yi

1.546

_middle

I I_middle

4.157 10 5

i 0

Формула трапецій

Задана точність 10 3 . Обчислимо значення n для її забезпечення за формулою:

n	(b a)3
	12	f ( ) .

Значення точки ξ, в якій друга похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення відоме з попереднього методу.Тому:

		(b a)	3
n					Q	94.868
		12

Заокруглимо до цілого: n=100. Знайдемо значення інтеграла за формулою трапецій та обчислимо і порівняємо похибку:

N 100

h

b a

0.02

N

i 0 N

X a i h

Y f X

i

i

i

Y

Y

N 1

I_trapeze h

0

N

Yi

1.5459

_trapeze

I I_trapeze

4.074 10 5

2

i 1

Формула Симсона

Задана точність 10 3 . Обчислимо значення n для її забезпечення за формулою:

n 4 (b a)5 f IV ( ) .

180

Знайдемо значення ξ - точку, в якій четверта похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

93

f4(x)

d4

f (x)

216

144 (6 x 4)2

24 (6 x 4)4

6 (6 x 4)

(72 x 48)

dx4

2

3

2

4

2

4 x

5

2

4

3 x

4 x 2

3 x

4 x 2

3 x

2

3 x

4 x 2

X1 0.7

X1 Maximize(f4 X1) 0.667

f4(X1) 729

Q f4(X1)

	4
			(b a)	5
n						Q	18.974
			180

Заокруглимо до цілого: n=20. Знайдемо значення інтеграла за формулою Симпсона та обчислимо і порівняємо похибку:

N 20

h

b

a

0.1

N

i 0 N

X a i h

Y f X

i

i

i

i 1 3 19

j 2 4 18

S1 Yi

7.74

S2 Yj

7.376

i

j

I_Simpson

h

Y0 YN 4 S1 2 S2

1.5459

3

_Simpson

I I_Simpson

3.717

10 6

Бачимо, що формула Симпсона є самою ефективною, висока точність розрахунків забезпечується при невеликих значеннях n.

94

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Коли застосовується чисельне інтегрування?

2.Що називається механічною квадратурою?

3.У чому міститься прийом механічної квадратури?

4.Який загальний геометричний зміст чисельних методів обчислення визначених однократних інтегралів?

5.Зміст методів прямокутників, їхня похибка.

6.Зміст методу трапецій, його похибка.

7.Зміст методу Симпсона, його похибка.

8.Як обчислити інтеграл із заданою точністю?

95

ТЕМА 10. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку

Лiтература: [2], пп. 3.1-3.6; [3], §§5.1-5.6; [4], §§3.1-3.5; [5], п. 4.1; [6], гол. 9

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Задача Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку формулюється так: знайти функцію

y y(x) ,	(73)
що є розв’язком диференційного рівняння
y f (x, y)	(74)
і задовольняє початковій умові
y0 y(x0 ) .	(75)
Чисельні методи розв’язування задачі Коші подають розв’язок у вигляді
таблиці чисел, тобто знаходять значення функції (73) в	окремих точках xi
(i=0,1,2,…).

Найпростішим методом розв’язування задачі Коші (73)-(75) є метод Ейлера. Його ідея полягає в заміні інтегральної кривої (73), що проходить через точку M0 (x0 , y0 ) ламаною лінією M0M1M2... з вершинами Mi (xi , yi ) (рис. 13), які

визначаються за ітераційними формулами:

	xi x0 ih ,		(76)
	yi 1 yi hf (x, y) ,	(i=0,1,2,…).

Рис.13

Недоліком метода Ейлера є його низька точність, яка пропорційна величині h. Тобто, щоб уточнити результат на один десятковий знак, необхідно зменшити крок в десять разів. Крім того метод часто буває нестійким (малі локальні помилки призводять до значного збільшення глобальної). Тому його застосовують для орієнтовних розрахунків.

Більш точним є вдосконалений метод “предиктор-коректор” (інша назва - ме-

96

тод Ейлера-Коші), за яким спочатку визначають “грубе” наближення розв’язку:

~	yi hf (xi , yi ) ,				(77)
yi 1
звідки знаходять направлення інтегральної кривої:
~	~				(78)
fi 1	f (xi 1, yi 1) .
Потім вважають:	~
yi 1	yi h	fi fi 1		, (i=0,1,2,…).	(79)
	2

Похибка методу “предиктор-коректор” має порядок h2 .

В обчислювальній практиці найбільш часто використовують метод Рунге-

Кутти, який має точність пропорційну h4 . Приведемо його розрахункові формули:

xi 1 xi h,

y

y

k1 2k2 2k3 k4

,

i 1

i

6

k1 hf (xi , yi ),

k

2

hf (x

h

, y

k1

),

i

2

i

2

k

3

hf (x

h

, y

i

k2

),

i

2

2

k4 hf (xi h, yi

k3 ), (i=0,1,2,…,n).

(80)

Всі розглянуті методи є однокроковими, в яких, щоб знайти наближений

розв’язок у точці хi+1, досить знайти розв`язок в точці хk. В багатокрокових ме-

тодах для знаходження розв’язку в наступній точці потрібна інформація більш ніж про одну з попередніх точок.

Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Адамса четвертого порядку точності. Метод Адамса відноситься до багатокрокових методів:

y

y

h

55 f

59 f

37 f

9 f

,

(81)

i

i 1

i 2

i 3

i 1

i

24

де fi f (xi , yi ). Даний метод для початку розрахунків вимагає розв’язку в пе-

рших чотирьох точках. В точці х0 розв’язок у0 відомий з початкової умови, а в інших точках х1, х2, х3, х4 розв’язок y1,y2, y3, y4 можна отримати за методом Рун- ге-Кутти (80).

ЗАВДАННЯ

1.Знайти наближений розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного

рівняння першого порядку на заданому проміжку [x0; b] методами Ейлера, “предиктор – коректор”, Рунге-Кутти, Адамса.

97

		y f (x, y)																		x0	y(x0 ) y0	b
1.	y											xy								0.0	1.0	1.0
								x2 y2
2.		y x y2																		0.0	0.0	0.3
3.		y x2 y2																		0.0	0.27	1.0
4.	y x2								xy y2											0.0	0.1	1.0
5.	y x2								xy y2											0.0	0.0	1.0
6.		y xy e y																		0.0	0.0	0.1
7.	y x sin															y
																				0.0	1.0	2.0
															3
8.	y 2x cos y																			0.0	0.0	0.1
9.		y xy3 y																		0.0	1.0	1.0
10.		y										1								1.0	0.0	2.0
									y2 x
11.									1
			y			2 xy														0.0	1.0	1.0
12.		y xy2 1																		0.0	0.0	1.0
13.	y (2 y)x																			1.0	1.0	2.0
14.	y ln(x y)																			0.0	1.5	1.0
15.	y cos x y																			-1.0	0.0	0.0
16.	y 2 y 3ex																			0.3	1.42	0.6
17.		y y2											x2							1.0	1.0	2.0
18.	y xy( y2 1)																			0.0	0.5	1.0
19.		y							2 y x											1.0	2.0	2.0
													y
20.		y x3 y																		1.0	-1.0	2.0
21.	y 2xy x2																			0.0	0.0	0.5
22.		y ex y2																		0.0	0.0	0.4
23.		y x3 y2																		0.0	0.0	0.5
24.	y y2ex 2 y																			0.0	1.0	1.0
25.													y
				y					x											1.0	1.0	4.0
26.		y x2										y2								0.0	0.0	1.0
27.									y									2
	y		x 1 y																	0.0	1.0	1.0
28.	y									2x y										2.0	0.75	3.0
29.			y x e y																	1.0	1.0	2.0
30.	y 2x y 2x																			0.0	1.0	3.0

98

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКІВ

1.Знайти наближений розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівнян-

ня першого порядку на заданому проміжку [x0; b] методами Ейлера, “предиктор – коректор”, Рунге-Кутти, Адамса:

y 2x y2 ,

x0=0, y0=1, b=0,5.

Задамо сітку по x:

x0 0

i 0 9

h 0.05

xi 1 xi h

x( 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5)

Метод Ейлера

f (x y) 2x y2 yE0 1

yEi 1 yEi h f xi yEi

yET ( 1 1.1 1.212 1.339 1.484 1.652 1.848 2.08 2.361 2.705 3.139)

Метод «предиктор-коректор»

yPK0 1

i 0 9

yPKi 1 yPKi h2 f xi yPKi f xi 1 yPKi h f xi yPKi

yPKT ( 1 1.106 1.227 1.365 1.525 1.714 1.94 2.216 2.563 3.013 3.622)

yR0 1

yRi 1

yRT ( 1

Метод Рунге-Кутти

z yRi

k1 h f xi yRi

k2 h f	x	h		yR			k1
	i	2			i		2
k3 h f	x	h		yR			k2
	i	2			i		2

k4 h f xi h yRi k3

z z 16 (k1 2 k2 2 k3 k4)

1.106 1.227 1.365 1.526 1.716 1.943 2.222 2.572 3.03 3.653)

Метод Адамса

Розв’язок в перших чотирьох точках візьмемо з методу Рунге-Кутти:

i 0 3

yAi yRi yAT ( 1 1.106 1.227 1.365)

Далі застосуємо формулу Адамса:

i 3 9

yAi 1 yAi 24h 55 f xi yAi 59 f xi 1 yAi 1 37 f xi 2 yAi 2 9 f xi 3 yAi 3

99

yAT ( 1 1.106 1.227 1.365 1.526 1.715 1.942 2.22 2.568 3.021 3.635)

Розв’яжемо тепер рівняння за допомогою функції Mathcad Odesolve:

Given

d y(z) 2z y(z)2 dz

y(0) 1

y Odesolve(z 0.5)

Побудуймо графіки отриманих розв’язків. Бачимо, що вони співпали, крім графіку, що відповідає розрахункам за методом Ейлера.

	4
	3.5
y(z)
yE	3
yPK
	2.5
yR
yA	2
	1.5
	1	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
					z x

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Сформулюйте задачу Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку.

2.Геометрична інтерпретація задачі Коші.

3.Сутність методу Ейлера, його точність.

4.Сутність модифікації метода Ейлера у методі “предиктор-коректор”.

5.Геометрична сутність метода Рунге-Кутти.

6.Які ще методи розв’язання задачі Коші Вам відомі?

100