Посібник ЧМ

ТЕМА 11. Скінченно-різницевий метод розв’язання крайової задачі

Лiтература: [2], пп. 4.1-4.4; [3], §§6.1-6.3; [4], §§3.7, 3.9; [5], п. 4.2.2; [6], гол. 9

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Розглянемо двохточкову крайову задачу для лінійного диференціальне рівняння другого порядку на відрізку [a; b]:

y p x y ' q x y f x ,															(82)
з двохточковими лінійними крайовими умовами:
0 y a 1 y a A,
0 y b 1 y b B,
	0								1				0,		(83)
	0						1						0,

де p(x), q(x) і f(x) – неперервні на відрізку [a; b].

Зведемо задачу до системи скінчено-різницевих рівнянь. Для цього розіб‘ємо основний відрізок [a; b] на n-рівних частин довжиною h (крок):

	h	b a	.
		n
				Точки	розбиття		мають
xi x0	ih, i 0,1, 2,..., n абсциси:
x0 a,	xn b.
Значення в точках xi шуканої функції y=y(x), та її похідних y					y x , y		y x
позначимо відповідно через:
yi y xi ,	yi y xi ,			yi y xi .
Введемо також позначення:
pi p xi ,	qi q xi ,			fi f xi .

Замінимо похідні симетричними скінченно-різницевими відношеннями:

	yi	yi 1 yi 1	;	yi
		2h

Для кінцевих точок вважаємо: x0 a, y(x0 ) y0 ,

xn b, y(xn ) yn ,

yi 1 2 yi yi 1			, i 1, 2, ..., n .				(84)
h2
	3y0	4 y1		y2	;
y (x0 )			2h
							(85)
	yn 2 4 yn 1 3yn
y (xn )						.
			2h

Підставляючи апроксимації похідних, отримаємо систему рівнянь для знаходження yi:

101

y

3y

4 y

y

2 A,

0

0

1

0

1

2h

yi 1 2 yi

yi 1

yi 1 yi 1

p

q y

i

f

i

для i 1, 2, ..., n 1 ,

(86)

h2

i

2h

i

yn 2 4 yn 1 3yn

y

n

B.

0

1

2h

Приводячи подібні, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (якщо похідні замінити правими різницевими відношеннями то отримаємо систему з тридіагональною матрицею коефіцієнтів):

3

2

1

0

y

0

y

y

2

A,

2h

1

h

1

1

2h

1

1

p

2

1

p

для i 1, 2, ..., n 1 ,

i

yi 1

qi

yi

i

yi 1

fi

(87)

h

2

2h

h2

h2

2h

1

2

3

1 yn 2

1 yn 1 0

1

yn

B.

2h

h

2h

Отримана система складається з n+1 рівняння з n+1 невідомою y0 , y1,..., yn , які є значеннями шуканої функції y=y(x) в точках x0 , x1,..., xn . Розв‘язавши систему, отримаємо таблицю значень шуканої функції y.

ЗАВДАННЯ

1. Знайти розв’язок крайової задачі методом скінчених різниць з кроком h=0,1.

1.

y

y

2 y x ,

16.

y

xy

2 y x 1,

x

y(0,9) 0,5y (0,9) 2,

y(0,7) 0,5,

1.

y(1,4)

2 y(1,2) 3y (1,2) 1,2.

2.

y

xy

y x 1,

17.

y 2 y

y

3,

x

y(0,5) 2 y (0,5) 1,

y(0,2) 2,

y (0,8) 1,2.

0,5y(0,7) y(0,7) 1.

3.

y 2 y xy x2 ,

18.

y y

2 y

x 0,4 ,

y(0,6) 0,7,

x

0,5y (0,9) 1.

y(1,1) 0,5y (1,1) 2,

y(0,9)

y (1,6)

4.

4.

y

19.

y

y

3y

x 1,

y

3y

x

x 1,

y(0,4) 2,

1,

y (1,2)

2 y (0,9) 0,7.

y(0,9)

2y(1,7) y (1,7) 0,5.

102

5.	y	y	3y 2x2 ,
	2
				0,6,
	y(1) 2y (1)
			1.
	y(1,5)

6.

y 2xy y 0,4 ,

2 y(0,3) y (0,3) 1,

2.

y (0,8)

7.

y

2 y

3y 2 ,

x

1,5,

y (0,8)

y (1,3) 3.

2y(1,3)

8.

y 2x2 y y x ,

2 y(0,5) y (0,5) 1,

3.

y(1,0)

9.

y

y

0,4 y 2x ,

x

y(0,6) 0,3y (0,6) 0,6,

1,7.

y (1,1)

10.

y

y

xy 2 ,

3

1,5,

y (0,8)

0,5y (1,3) 1.

3y(1,3)

11.

y 2 y

y

1

,

x

x

0,5y(0,9) y (0,9) 1,5,

0,8.

y(1,4)

12.

y 0,5 y 0,5xy 2x ,

y (1) 0,5,

y (1,5) 2.

2y(1,5)

13.

2

y

2 y

1,5xy x ,

1,

y (0,8)

2 y (1,3) 1.

y(1,3)

14.

y 0,6xy 2 y 1,

y(1,3) 0,6,

2 y(1,8) 0,8y (1,8) 3.

15.y 0,5x2 y 2 y x2 ,

y(1,4) 0,7 y (1,4) 2,

y(1,9) 0,8.

20.	y 1,5 y xy 0,5 ,
	2y(1,3) y (1,3) 1,
					3.
	y(1,8)
21.	y 0,5xy y 2 ,
	y(0,4) 1,2,
					2 y (0,9) 1,4.
	y(0,9)
22.	y 3xy 2 y 1,5 ,
	y (0,7) 0,5,
	0,5y(1,2) y (1,2) 2.
23.	y 2xy 2 y 0,6 ,
	y(2) 1,
	0,4 y(2,5) y (2,5) 1.
24.	y		y		0,8 y x ,
			2x
	y(1,7) 1,2 y (1,7) 2,
	y (2,2) 1.
25.	y 0,8 y xy 1,4 ,
	y(1,8) 0,5,
	2 y(2,3) y (2,3) 1,7.
26.	y	y				2 y		x	,
	4					x		2

1,5y(1,3) y (1,3) 0,6,2y(1,8) 0,3.

27.y 2xy 1,5 x ,

1,4 y(1,1) 0,5y (1,1) 2,y (1,6) 2,5.

28.y x2y 0,5 y 2x ,

								1,5,
	0,4y(0,2) y (0,2)
				0,4.
	y (0,7)
29.	y	y		y	2	,
		2x			x
	y (0,4) 1,3,
	0,5y(0,9)1,2 y (0,9) 1.
30.	y xy 2xy 0,8 ,
							1,
	y(1,2) 0,5y (1,2)
				2.
	y (1,7)
	103

104

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКІВ

1.Знайти розв’язок крайової задачі методом скінчених різниць з кроком h=0,1:

y xy 0,5 xy 1 ,

y(2) 2y (2) 1,y(2,5) 2,15.

Введемо позначення:

	P(x) x	Q(x)	0.5	F(x) 1
			x
	a 2	b 2.5
	0 1	1 2		A 1
	0 1	1 0		B 2.15

Розбивши відрізок 2; 2,5 на частини з кроком h 0,1. Отримаємо шість вузлових точок:

h 0.1	n 5
i 0 n	xi a i h

					2
				2.1
		x		2.2
				2.3
				2.4
			2.5
Обчислимо значення функцій у вузлах:
i 0 n			p		P x			q	i	Q x			f	i	F x
				i			i				i				i
	2					0.25					1
	2.1						0.238					1
p 2.2
					q		0.227					1
2.3						0.217				f	1
							0.208					1
	2.4
2.5
							0.2				1

Замінимо крайову задачу системою скінченно-різницевих рівнянь. Сформуємо матрицю коефіцієнтів та вектор вільних членів. Перше та останнє рівняння відповідають крайовим умовам, а інші – диференціальному рівнянню:

105

		0				3			1				2		1							1			1								0										0											0
						2 h							h									2 h
			1				p		1							2				1						p	1
											q																						0										0											0
							2 h					1														2 h
			h 2													h 2				h 2
																p																				p 2
					0						1						2			q2					2				1														0											0
											h 2					2 h										h 2				h 2						2 h
C
																										p																			p
																			1								3									2			1									3
					0										0															q																								0
																										2 h					3														2 h
																					2																2				2
																				h																h				h
																																				p 4																				p
					0										0							0							1											q4					2						1							4
																															2					2 h											2					2				2 h
																														h															h						h
																																1											2											3
					0										0							0
																																					1									1					0									1
																															2 h												h												2 h

	A
	f 1
	f
d		2
	f
		3
	f	4
	B

			29	40	10	0	0	0					1
			89.5	200.238	110.5	0	0	0					1
					200.227
	C		0	89		111	0	0		d			1
			0	0	88.5	200.217	111.5	0					1
			0	0	0	88	200.208	112					1
			0	0	0	0	0	1					2.15

Знайдемо розв’язок системи за допомогою функції Mathcad Find:

Given

C y		d	y Find (y)		2.206
						2.157
				y		2.131
						2.124
						2.131
						2.15

Побудуємо графік отриманого розв’язку:

106

00

y 0

000

	Відповідь:
		x	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5
		y(x)	2.206	2.157	2.131	2.124	2.131	2.15

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Сформулюйте двохточкову крайову задачу для звичайного диференціального рівняння другого порядку.

2.Надайте геометричну інтерпретацію поставленої крайової задачі.

3.Сформулюйте двохточкову крайову задачу для лінійного диференціального рівняння другого порядку.

4.Якими скінченно-різницевими відношеннями замінюються значення похідних в точках?

5.Сутність методу скінчених різниць.

6.Яким методом можна розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею коефіцієнтів?

107

ТЕМА 12. Розв‘язування задачі Діріхле методом сіток

Лiтература: [2], пп. 5.1-5.3; [3], §§8.1-8.4; [4], §§4.1-4.2; [5], пп. 5.1-5.3; [6], гол. 10

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними:

	L[u] u a	u	b	u	cu F (x, y) ,				(88)
		x
				y
де - оператор Лапласа для двох змінних						2		2	; a a(x, y) , b b(x, y) ,
						x 2		y 2
c c(x, y) ,	F F (x, y) – неперервні функції. Таке рівняння буде еліптичного ти-

пу.
Нехай задана деяка область К, що обмежується кон-
туром Г (рис.14).	На контурі	Г задана	функція
(P) (x, y) .	Потрібно	знайти	функцію
u(P) u(x, y) , яка всередині К задовольняє рівнянню
(88), а на границі приймає задані значення (P) :
L[u(P)] F(P), P K
			(89)	Рис.14
u(P) (P), P .

Задача (89) називається задачею Діріхле.

Метод сіток. На області К, в якій шукається функція, будують сіткову область Кh, яка складається з однакових вічок і наближає задану область К (рис. 15).

Рис. 15

Задане диференціальне рівняння замінюють у вузлах побудованої сітки відповідними скінчено-різницевими рівняннями. За граничних умов знаходяться значення шуканого розв‘язку в граничних вузлах області Кh.

Щоб знайти розв‘язок скінчено-різницевого рівняння, потрібно знайти розв‘язок алгебраїчних рівнянь з великою кількістю невідомих. Це буде значення шуканої функції у вузлах сітки.

Вибір сіткової області залежить від конкретної задачі, але в усіх випадках контур Гh сіткової області Кh потрібно обирати так, щоб він якнайкраще апрок-

108

Вузли (xi, yj) сітки Sh або належать області К, або віддалені від її границі Г на відстань меншу за h. Точки (вузли) сітки Sh називають сусідніми, якщо вони віддалені одна від одної в напрямку осі Ох або Оу на відстань h. Вузол Ah сітки Sh називають внутрішнім, якщо він належить області К, а всі чотири сусідні з ним вузли – множині Sh; в протилежному випадку він називається граничним (Bh, Сh). Граничний вузол називається вузлом першого роду (Bh), якщо він має сусідній внутрішній вузол, в протилежному випадку – називається граничним вузлом

другого роду (Сh).

симував контур Г заданої області К. Сітка може складатися з квадратних, прямокутних, трикутних та інших вічок.

Розглянемо використання методу сіток для побудови розв‘язку задачі Діріхле:

		2	u			2	u	0, (x, y) K
	x2				y 2				(90)
u(x, y) (x, y), (x, y)

(x, y) – задана функція (неперервна). К обмежена замкненим кусково-гладким контуром Г. Сітку оберемо квадратну з кроком h (рис. 16):

Sh : xi x0 ih; yi y0 ih;(i, j 0, 1, 2,...) .

Рис. 16 Внутрішні вузли та граничні вузли першого роду називаються розрахунко-

вими точками; граничні вузли другого роду не входять в обчислення і можуть бути вилучені з сітки Sh.

Сітку Sh завжди обираємо зв‘язною, тобто будь-які дві розрахункові точки можна з‘єднати ланцюжком вузлів. Крім того сітка Sh утворює багатокутну область Kh з границею Гh, яка примикає до границі Г області К як можливо ближче.

Значення функції в точках (xi , yi ) позначимо через uij u(xi , yi ) . Замінимо диференційне рівняння (90) для кожної внутрішньої точки (xi , yi ) скінченорізницевим рівнянням:

A : u

1

(u

u

u

u

)

(91)

ij

i, j 1

h

4

i 1, j

i 1, j

i, j 1

де (x

, y

) – розрахункові точки.

i 1

i 1

В граничних вузлах першого роду

Bh: u(Bh ) u(B) (B) ,

(92)

де B – найближча до Bh точка границі Г.

Система (91) є лінійною системою, причому кількість невідомих (кількість внутрішніх вузлів) дорівнює кількості рівнянь. Розв‘язавши систему (91), отри-

109

де uij

маємо наближене значення шуканої функції у вузлах сіткової області Кh. Процес Лібмана. Якщо кількість вузлів сітки велика, то безпосередній

розв‘язок системи (91) є ускладненим. Крім того значення функції u в граничних вузлах сітки Sh обирається грубо. Ці обставини примушують звернутися до ітераційних методів з одночасним виправленням граничних значень.

Процес усереднення Лібмана:

u(k )	1	(u(k 1)	u(k 1)	u(k 1)	u(k 1) ),k 1,2,....
ij	4	i 1, j	i 1, j	i, j 1	i, j 1

(x) – послідовне k-те наближення для внутрішніх вузлів (xi,yj) сітки Sh; uij(0) – початкове наближення.

Значення функції в граничних вузлах u(Аh) корегуємо за формулами лінійної інтерполяції:

u(0) ( Ah ) u( A) ( A),

u(k ) ( Ah ) u( A) u(k ) (B) u( A) , k 1,2,...

h

де А – найближче до Аh точка границі Г, B - найближчий до Аh внутрішній вузол сітки Sh,

– віддалення вузла Ah від точки А (рис. 17).

> 0, якщо Ah К;< 0, якщо Ah К.

Якщо Ah = А => = 0, то u(k ) Ah u A A .

Рис. 17

Для обрання uij(0) задачу Діріхле розв‘язують грубо за допомогою крупної сітки, а потім ці значення використовують для дрібнішої сітки. На практиці для проведення розрахунків заготовляють шаблони (рис.18). Спочатку область розв‘язків покривають сіткою: внутрішні вузли відмічають білими кругами, а граничні, в яких відомі значення функції, – чорними (рис. 18, а).

а	б	в
	Рис.18

Для побудови обчислювального шаблону будуємо другу сітку, лінії якої проходять посередині між лініями першої, причому вузли першої сітки (внутрішні і граничні) потрапляють в центри клітин другої сітки. Клітини другої сітки, в центрах яких знаходяться незмінні граничні значення, обведемо (рис. 18, б). Внутрішні клітини будуть заповнюватись ітераційним процесом. Для них пот-

110