МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

В. С. Ковтуненко

О. П. Грижук

С. І. Півненко

ПОСІБНИК

до виконання контрольних робіт

з вищої математики

для студентів економічних спеціальностей

освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр"

заочної форми навчання

Затверджено на засіданні

кафедри вищої математики,

протокол № 11 від 05.04.2012 р.,

та Методичною радою ЧДТУ,

протокол № 62 від 09.04.2012 р.

ЧЕРКАСИ 2012

УДК 517(07)

ББК 221

Автори-укладачі: Ковтуненко Віктор Степанович , к.ф.-м. н.,

Грижук Олександра Павлівна,

Півненко Світлана Іванівна

Рецензент Кондратьєва Оксана Марківна., к.п.н.

Ковтуненко В.С. Посібник до виконання контрольних робіт з вищої математики для студентів економічних спеціальностей освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр" заочної форми навчання / Автори-укл.: Ковтуненко В.С., Грижук О.П., Півненко С.І. – Черкаси: ЧДТУ, 2012. – 108 с.

Посібник містить основні теоретичні відомості з дисципліни «Вища математика» для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання, а також умови контрольних завдань з цієї дисципліни. Наведені зразки розв’язання типових задач. Матеріали допоможуть студентам заочної форми навчання опанувати цей курс і успішно виконати відповідні контрольні завдання.

УДК 517(07)

ББК 221

Навчальне видання

ПОСІБНИК

до виконання контрольних робіт з вищої математики

для студентів економічних спеціальностей

освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр"

заочної форми навчання

В авторській редакції

Коректура Костенко Т.В.

Комп'ютерне макетування Вознюк Т.І.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Формат 60х84 1/16. Папір офс. Гарн. Times New Roman. Друк оперативн.

Ум. друк. арк. 6,28. Обл.-вид. арк. 6,48. Вид. № 1311. Зам. № 12-0092

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Черкаський державний технологічний університет

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 896 від 16.04.2002 р.

Надруковано в редакційно-видавничому центрі ЧДТУ

б ульвар Шевченка, 460, м. Черкаси, 18006.

Зміст

Передмова………………………………………………………………….	5
§ 1. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії…………	6
1.1 Елементи лінійної алгебри……………………………………………	6
Зразки розв’язування задач.…………………………………………..	10
Контрольні запитання…………………………………………………	15
1.2 Елементи аналітичної геометрії. Вектори та дії над ними ………….	16
Зразки розв’язування задач.…………………………………………..	19
Контрольні запитання…………………………………………………	25
Задачі контрольної роботи №1……………………………………….	26
§ 2. Введення в математичний аналіз. Границя функції……………	33
Зразки розв’язування задач……………………………………………	34
Контрольні запитання………………………………………………...	39
§ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної………………	40
Зразки розв’язування задач……………………………………………	42
Контрольні запитання……………………………………………..…	50
Задачі контрольної роботи №2……………………………………...	51
§ 4. Диференціальне числення функцій багатьох змінних………	63
Зразки розв’язування задач……………………………………..……	64
Контрольні запитання…………………………………………………	71
§ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної………………….	72
5.1 Невизначений інтеграл………………………………………………	72
Зразки розв’язування задач……………………………………..……	73
5.2 Визначений інтеграл…………………………………………………	75
Зразки розв’язування задач……………………………………..…….	76
5.3 Використання визначеного інтеграла в економіці…………………	77
Зразки розв’язування задач…………………………………..………	78
5.4 Невласні інтеграли першого ряду ….………………………………	79
Зразки розв’язування задач……………………………………..…….	79
Контрольні запитання ……………………………………………….	80
Задачі контрольної роботи №3……………………………………….	81
§ 6. Диференціальні рівняння……………………………………………	89
6.1 Диференціальні рівняння І порядку…………………………………	90
Зразки розв’язування задач…………………………………..……….	90
6.2 Диференціальні рівняння ІІ порядку…………………………………	93
Зразки розв’язування задач…………………………………..………	93
Контрольні запитання……………………………………….……….	97
§ 7. Ряди………………………………………………………………………	98
Зразки розв’язування задач………………………………………….	99
Контрольні запитання ………………………………………………	103
Задачі контрольної роботи №4………………………………………	104
Література…………………………………………………………………	108

Передмова

Важливим фактором успішного засвоєння курсу вищої математики у вищому навчальному закладі є підвищення ефективності самостійної роботи студентів. Мета даного посібника – навчити студентів здійснювати самостійну пізнавальну діяльність при виконанні контрольних робіт.

Видання охоплює матеріал програми першого та другого семестрів дисципліни «Вища математика», призначене для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання. Посібник складається з семи параграфів, в яких викладені такі питання:

• елементи лінійної алгебри;

• елементи аналітичної геометрії;

• введення в математичний аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної;

• диференціальне числення функцій багатьох змінних;

• інтегральне числення функції однієї змінної;

• диференціальні рівняння;

• ряди.

Кожний параграф містить посилання на відповідну навчальну літературу з вказівками сторінок, короткі теоретичні відомості довідкового характеру – формулювання основних понять і теорем, приклади розв’язування основних типових задач, 20 варіантів завдань контрольної роботи.

Посібник рекомендований для студентів заочної форми навчання, а також його можуть використовувати як довідник студенти денної форми навчання.

Дане видання допоможе у процесі навчання та оцінювання знань студентів економічних спеціальностей за кредитно модульною системою.

§1. Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії

1. Елементи лінійної алгебри

Література: [1] – с. 7-34; [5] – с. 8-38; 61-76; 89-102.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

що містить рядків та стовпців.

Якщо , то матриця називається квадратною, а число , що дорівнює , – її порядком. У загальному випадку матриця називається прямокутною (розмірів ). Числа , що утворюють матрицю, називаються її елементами.

У запису перший індекс означає номер рядка, а другий індекс – номер стовпця.

Матриця, що складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем.

Матриця, що складається з одного рядка називається матрицею-рядком.

Для квадратної матриці вводиться поняття головної і побічної діагоналей.

Головною називається діагональ, яку утворюють елементи , побічною – діагональ, яку утворюють елементи .

Одинична матриця -го порядку має вигляд

.

Сумою двох матриць А і В однакових розмірів , називається матриця С тих самих розмірів , елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А і В, тобто

.

Добутком матриці розмірів на число називається матриця тих самих розмірів, елементи якої отримуються із відповідних елементів матриці А множенням на число , тобто

.

Добутком матриці розмірів і матриці розмірів називається матриця розмірів , елемент , якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів -го рядка матриці та елементів -го стовпця матриці , тобто

Вирази

називаються відповідно визначниками (детермінантами) другого і третього порядків.

Мінором елемента називається визначник, порядок якого на одиницю менший порядку даного визначника, утворений з даного визначника викреслюванням -го рядка та -го стовпця, на перетині яких стоїть данний елемент . Мінор елемента позначають .

Алгебраїчним доповненням елемента визначника -го порядку називається його мінор, взятий зі знаком , тобто

(1.1)

Нехай дана матриця А -го порядку.

Матриця називається оберненою до матриці , якщо

(1.2)

де – одинична матриця -го порядку.

Якщо , то обернена матриця існує і має вигляд

(1.3)

де – алгебраїчне доповнення елемента матриці , – визначник матриці .

Мінором -го порядку матриці розмірів називається визначник -го порядку, утворений з елементів матриці , що залишились після викреслювання в ній рядків і стовпців .

Рангом матриці називається найвищий з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Крім безпосереднього обчислення мінорів, ранг матриці можна знайти простішим методом, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над нею виконувати елементарні перетворення:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий, відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число;

г) відкинути нульовий рядок (стовпець).