32. Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и:где - угол между векторами а и b; если a=0, либо b=0, то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора b на направление вектора b. Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

 Скалярное произведение в координатах:

Если то

Угол между векторами 

33. Направляющие косинусы вектора

Углы, образуемые вектором a с координатными осями Ox, Oy и Oz

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора a

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула

т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

Если  т. е. если а - единичный вектор, обозначаемый обыкновенно , то его проекции на координатные оси вычисляются по формулам

т. е. проекции единичного вектора

на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула

34. Векторное произведение

Векторное произведение векторов a и b - вектор, обозначаемый или  для которого:

1. (- угол между векторами a и b, )

2. 

Свойства векторного произведения:

Если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Векторное произведение в координатах

Если  то

Или

35. Сме́шанное произведе́ние векторов, — скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов b и с:

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами a, b, c

Свойства

1) Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

2) Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a, b, с

3) Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a, b,c взятому со знаком "минус":

 частности,

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами a, b,c; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

36. Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами (х₀;у₀;z₀)  перпендикулярно нормальному вектору плоскости с координатами (А,В,С)

 

 A (x-x₀) + B (y-y₀) + C (z-z₀)=0

37.

Неполные уравнения плоскости.

   Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнениеAx + By + Cz + D = 0 называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.