Пространственная корреляция возмущений (Гетероскедастичность остатков).

Методы случайных выборок, приобретающие все большее значение в эмпирических исследованиях, связаны с обработкой больших объёмов пространственных данных. При работе с набором таких данных могут проявляться пространственные связи в виде пространственных корреляций, возмущений Они нарушают предпосылку классической регрессионной модели и отрицательно сказываются на 1-МНК оценщике. Эти последствия отсутствуют если пространственная корреляция возмущений является равновеликой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Возмущение в регрессионном уравнении проявляют равновеликую пространственную корреляцию, если:

1. для t=1,2,…,T-условие гомоскедастичности.

2. где

Выполнение предпосылки с равновеликой пространственной корреляции приводит к обобщённой модели с ковариационной матрицей:

При этом обычные 1-МНК оценки , рассчитанные на основе исходной матрицы данных, идентичны оценкам Эйткена .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Гетероскедастичность возмущений имеет место, если существует хотя бы один

Пути устранения отрицательных последствий при гетероскедастичности возмущений такие же как и при автокорреляции:

1. Стремится к свободной от гетероскедастичности спецификации модели:

2. Провести оценивание по методу Эйткена.

При диагностике на гетероскедастичность используются различные статистические тесты. Наиболее распространённым и простым является тест Гольдфельда- Квандта.

При тесте Г-Ф нулевая гипотеза имеет вид:

для t=(1,2,…,T)

Альтернативная:

Существует по меньшей мере один

В первом варианте теста Г-Ф на гетероскедастичность возмущений делят все T наблюдений на две группы, так, что в первую входят наблюдений с предположительно меньшей дисперсией, вторую группу образуют наблюдений с предположительно большей дисперсией. Тем самым матрица будет разделена на два блока:

в каждом из которых проводят оценку по 1-МНК. В качестве тест статистики используют величину:

где представляет собой вектор остатков регрессии в блоке оцененный 1-МНК. Тест статистика имеет распределение с T₂-K и T₁-K степенями свободы.

Нулевая гипотеза отклоняется, если:

Тест Г-Ф может быть применён если и матрицы X₂ обладают полным рангом.

Чувствительность теста Г-Ф может быть повышена , если при разделении на группы исключить m средних наблюдений (второй вариант теста).

При T=30 рекомендуется исключать 8 строк, при T=60-16 строк.

Исходная матрица данных при гетероскедастичность может быть преобразована следующим образом:

При этих вычислениях используется матрица преобразования:

поэтому вспомогательная модель для периода t будет следующая:

Для определения диагональных элементов матрицы применяют два способа:

1. Определение без статистической оценки:

2. Определение по принципу «гетероскедастичность между гомоскедастичными группами».

Оценки 1-МНК преобразованной относительно гетероскедастичности матрицы данных идентичны оценкам Эйткена.

Автокорреляция остатков

В экономических исследованиях достаточно часто возникают случаи, когда дисперсия остатков постоянна, но наблюдается их ковариация.Это явление называется автокорреляцией остатков.

При обработке временных рядов в силу адитивности векторов возмущений весьма реальным является предположение о том, что эти возмущения связаны между собой во времени, т.е. имеет место автокорреляция.Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться также корреляция последовательных значений остатков.В этом случае нарушается гипотеза М (е, е^т ) = σ_u ² *E.

Но, при гетероскедастичности изменяется дисперсия остатков при отсутствии их корреляции,а приавтокорреляции существует ковариация остатков при неизменной дисперсии.

. В простейшем случае имеет место авторерессионный процесс первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Возмущение U_t подчиняется авторегрессионому процессу первого порядка, если выполняются следующие условия:

[5.6]

При автокорреляции остатков, как и при гетероскедастичности, диспер

сия остатков будет равна: М (е, е^т ) = σ_u ² *Ω.

Но матрица Ω имеет другой вид и ковариационная матрица в этом случае имеет вид:

В этой матрице параметр рхарактеризует ковариацию каждого следую-

щего значения остатков с предыдущим.Например, если для остатков запи-

сать авторегрессионную модель первого порядка:

U_t = p u _{t – 1} + ε_t ,

то рхарактеризует силу связи остатков в периодtот их уровня в периодt-1.

Если проигнорировать наличие автокорреляции и для оценивания пара-

метров модели применить 1-МНК, то возможны следующие последствия:

1. Оценки параметров модели могут быть несмещенними, но неэффективными,т.е. выборочные дисперсии вектора оценок могут быть неоправданно большими;

2. Статистические критерии tиF- статистики, полученные для классичесской линейной модели, не могут быть использованны, так как их использование не учитывает наличия ковариации остатков;

3. Неэффективность оценок параметров эконометрической модели как правило, приводят к неэффективным прогнозам, т.е. прогнозные зна

чения будут иметь большую выборочную дисперсию.

Для проверки наличия автокорреляции остатков рассмотрим два метода:

1. Критерий Дарбина-Уотсона;

2. критерий фон Неймана.

П.6. d-тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции возмущений (d-тест Д-У)

При d-тесте Д-У нулевой гипотезы предполагается классическая модель нормальной регрессии (регрессоры не стохастические). Как альтернативную гипотезу в более широком смысле d-тест использует условия существования авторегрессии первого порядка. При этом проверяется пара гипотез о параметре ρ, а не предпосылка о наличии авторегрессии, которая считается аксиомой.

d- статистика Д-У вычисляется по формуле:

[5.8]

где погрешность уравнения в период t. Для ее нахождения осуществляется оценка 1-МНК исследуемого уравнения. Для определения областей принятия решений при d-тесте на автокорреляцию возмущений применяем правило:

Если величина d-статистики приближается к значению 2, то автокорреляция отсутствует. Чем больше расчётная величина d-статистики стремится к нулю, тем сильнее проявляются признаки положительной автокорреляции. Чем больше d-статистика приближается к четырем, тем сильнее признаки отрицательной автокорреляции.

При применении критерия Дарбина-Уотсона можно также фактические значения критерия сравнивать с табличными для числа наблюдений n и числа независимых переменных m при выбранном уровне значимости α.

Если d_факт. < d_n, то остатки имеют автокорреляцию.

Если d_факт. > d_в, то принимается гипотеза о отсутствии автокорреляции.

При отрицательной автокорреляции остатков,расчетное значение критерия отнимается от верхнего предела,т.е. от 4, а затем сравнивается с табличным значением,так как и в рассмотренном выше случае.

При проведении одностороннего теста необходимо использовать и , а при проведении двухстороннего теста и где, -нижнее табличное значение,d_n -нижнее табличное значение, -верхнее табличное значение d. При проведении d-теста рекомендуется выбирать уровень значимости α по возможности большим, а также, чтобы уменьшить вероятность ошибочного решения, присоединять область неопределённых результатов к области отклонения.

Можно, также, провести d-тест по 6-шаговой схеме:

Шаг 1: Подобрать к данной нулевой гипотезе Но : p = 0 подходящую альтернативную гипотезу:

1 Н _А : р ≠ 0

2 Н _А : р > 0

3 Н _А : р < 0

Шаг 2: Выбрать высокий уровень значимости α

Шаг 3: Найти в таблице верхнее и нижнее значение d-критерия и рассчитать с ними соответствующие области и принятия решений( см. табл.).

Шаг 4: Рассчитать величину d- статистик по формуле [5.8]

Шаг 5: Принять решение.

Шаг 6: Интерпретировать результаты теста. При сомнениях исходить из того, что имеет место автокорреляция возмущений.