- •Неопределенный интеграл. Основные понятия
- •Свойства неопределенного интеграла
- •2. Методы интегрирования Простейшие методы интегрирования
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен.
а) Интегралы вида и(5.1)
сводятся к табличным 13-16 после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.
Пример. Найти интеграл .
=
=
=. #
б) Интегралы вида и. (5.2)
При интегрировании таких функций сначала в числителе создаётся дифференциал квадратного трехчлена: . Числитель преобразуется следующим образом:
.
После этого данный интеграл по свойству 5 раздела 6.2. разбивается на два: , первый из которых берётся по
формуле 2 таблицы 6.3, а второй – интеграл (5.1), рассмотренный раньше. Аналогично берётся и второй интеграл из (5.2)
Пример. Найти интеграл .
.
в) Интегралы вида . (5.3)
Эти интегралы приводятся к интегралам (5.2) подстановкой .
Пример. Найти интеграл .
.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения
.
Интеграл берется с помощью подстановки , где– наименьший общий знаменатель дробей.
Пример. Найти интеграл .
Сделаем подстановку .
.
.
Интеграл рационализуется с помощью тригонометрических подстановок
- подстановка ;
- подстановка ;
- подстановка .
Пример. Найти интеграл .
Сделаем подстановку .
.
Варианты ИДЗ №5
«НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
Вариант 1
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) ; в) .
Вариант 2
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 3
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 4
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 5
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а); б)в) .
Вариант 6
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 7
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 8
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 9
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 10
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 11
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а ); б) в) .
Вариант 12
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
) а) ; б) в) .
Вариант 13
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 14
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 15
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 16
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 17
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 18
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 19
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 20
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а); б)в) .
Вариант 21
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 22
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 23
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 24
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 25
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а) ; б) в) .
Вариант 26
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Найти неопределенный интеграл.
3. Найти неопределенный интеграл.
4. Найти неопределенный интеграл.
5. Найти неопределенный интеграл.
6. Найти неопределенные интегралы:
а ); б) в) .